北京大学：《电磁学》电磁场的能量密度和能流密度

电磁场的能量密度和能流密度 电磁场能量 电磁场对电荷系统作功 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 介质的极化能和磁化能 (1)电磁场能量 电磁场是一种物质。 电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化, 它们都具有共同的运动量度—能量。 这里,我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中, 电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转 化,导出电磁场能量的表达式。 能量是按照一定的方式分布在电磁场内的,而且随着 电磁场的运动,能量将在空间中传播。引进: 电磁能密度(体积电磁能)w,表示电磁场单位体积内 的能量; 电磁能流密度矢量S,表示单位时间内流过与能量传 输方向(矢量S方向)垂直的单位横截面积的电磁能量 (2)电磁场对电荷系统作功 考虑空间某区域,设其体积为V,表面为A,自由电 荷密度为P,电流密度为j.以∫表示电磁场对电荷

电磁场的能量密度和能流密度 ⚫ 电磁场能量 ⚫ 电磁场对电荷系统作功 ⚫ 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ⚫ 介质的极化能和磁化能 ( 1 ) 电磁场能量 电磁场是一种物质。 电磁场运动与其他物质运动形式之间能够互相转化， 它们都具有共同的运动量度⎯⎯能量。 这里，我们通过电磁场与带电物体相互作用过程中， 电磁场能量和带电物体运动的机械能之间的相互转 化，导出电磁场能量的表达式。 能量是按照一定的方式分布在电磁场内的，而且随着 电磁场的运动，能量将在空间中传播。引进： 电磁能密度(体积电磁能) w，表示电磁场单位体积内 的能量； 电磁能流密度矢量 S，表示单位时间内流过与能量传 输方向(矢量 S 方向)垂直的单位横截面积的电磁能量 ( 2 ) 电磁场对电荷系统作功 考虑空间某区域，设其体积为 V，表面为 A，自由电 荷密度为e0，电流密度为 j0. 以 f 表示电磁场对电荷

的作用力密度,ν表示电荷的运动速度,则电磁场对 电荷系统所作功的功率为 IJSvdv, 体积V内电磁场能量的增加率为 d v 通过界面A流入V内的电磁能为 fS.do 能量守恒定律要求单位时间内通过界面A流入内的 能量,等于场对W内电荷作功的功率以及V内电磁场 能量的增加率之和,即 S:dA=∫∫vav+∫ Ow d t 4 (V) (1464) 利用奥高斯公式可得,式(1464的相应的微分形式是 V·S+ Ow ∫ 14.65) (3)电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ①由洛仑兹力公式可得 fv=(E+pw×B)v=E.(v=Ej0.(14.66) ②将麦克斯韦方程组中的式

的作用力密度，v 表示电荷的运动速度，则电磁场对 电荷系统所作功的功率为   ( ) d V f v V , 体积 V 内电磁场能量的增加率为     = ( ) ( ) d d d d V V V t w w V t , 通过界面 A 流入 V 内的电磁能为 −    ( ) d A S . 能量守恒定律要求单位时间内通过界面 A流入 V内的 能量，等于场对 V 内电荷作功的功率以及 V 内电磁场 能量的增加率之和，即      −  =  + ( ) ( ) ( ) d d d  V V V t w S A f v V . (14.64) 利用奥−高斯公式可得，式(14.64)的相应的微分形式是 S = − f v    + t w . (14.65) ( 3 ) 电磁能密度和电磁能流密度的表达式 ① 由洛仑兹力公式可得 0 f v = ( E+ vB)v = E(v) = E j . (14.66) ② 将麦克斯韦方程组中的式

D j=V×H (1422) t 代入上式,可得 E·j=E·(V×H-E aD (1467) ③利用矢量分析中的公式 V·(E×H)=H·(V×E)-E·(V×H), 及式VxE aB (14.20) 可将式(1467)化为 B D E·j=-V·(E×H)+H·( E t B 即-f·v=V(ExH)+H-+E aD ④将上式与能量守恒定律所要求的式 V·S+ ∫ (1465) 比较,即 V·S+=V·(E×H)+H.-+E 可得 S=EXH (1468)

t  =  − D j0 H (14.22) 代入上式，可得 t   =   −  D E j0 E ( H) E . (14.67) ③ 利用矢量分析中的公式 (EH) = H (E) − E(H) , 及式 t   = − B E ， (14.20) 可将式(14.67)化为 t t  −     = −  +  − D E B E j (E H) H ( ) 0 , 即 t t  +    −  =   +  D E B f v (E H) H . ④ 将上式与能量守恒定律所要求的式 S = − f v    + t w (14.65) 比较，即 =    + t w S t t  +      +  D E B (E H) H , 可得 S = E H , (14.68)

D E·一+H aB at t (1469这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量)S以 及能量密度变化率 aw/at的普遍表达式。 (4)介质的极化能和磁化能 在介质中,极化能和磁化能都归入电磁场能中一起考 虑,因此式(1468和式(1469)中的S和v分别代表介 质中总电磁能的能流密度和能量密度。由式(1469)可 以得到,介质中电磁场能量的改变量的普遍表达式为 6w=E·6D+H·8B 4.70 在线性介质的情况下, D=EoEE, B=Ho u H 上式可以积分得到电磁场能量密度的表达式为 W=(E·D+H·B) (14.71) 应该注意到,式(1471)仅适用于线性介质,在一般情 况下必须应用普遍的公式(1470)。 (5)平面电磁波 对于平面电磁波,电磁波的能流密度矢量S=E×H总 是沿着电磁波的传播方向k的电磁波中的E和H都 随时间迅速变化,在实际中重要的是S在一个周期内 的平均值,即平均能流密度S对于简谐平面电磁波

t t t w   +    =    B H D E . (14.69)这就是电磁场能流密度矢量(坡印廷矢量) S 以 及能量密度变化率w/t 的普遍表达式。 ( 4 ) 介质的极化能和磁化能 在介质中，极化能和磁化能都归入电磁场能中一起考 虑，因此式(14.68)和式(14.69)中的 S 和 w 分别代表介 质中总电磁能的能流密度和能量密度。由式(14.69)可 以得到，介质中电磁场能量的改变量的普遍表达式为 w = ED + H B. (14.70) 在线性介质的情况下， D = 0  E, B = 0  H ， 上式可以积分得到电磁 场能量密度的表达式为 ( ) 2 1 w = ED + H B . (14.71) 应该注意到，式(14.71)仅适用于线性介质，在一般情 况下必须应用普遍的公式(14.70)。 ( 5 ) 平面电磁波 对于平面电磁波，电磁波的能流密度矢量 S = E H 总 是沿着电磁波的传播方向 k 的。电磁波中的 E 和 H 都 随时间迅速变化，在实际中重要的是 S 在一个周期内 的平均值，即平均能流密度 S .对于简谐平面电磁波

平均能流密度为 S= Eo (14.72) 2 式中E0和所分别是E和H的振幅。因E和H0之间 存在着比例关系 故有分V以 rcO eo 或S∝Hb, (14.73) 即平面电磁波的平均能流密度正比于电场强度或磁 场强度振幅的平方。 二电磁场的动量 根据狭义相对论,能量和动量是密切联系着的,它们 形成一个四维矢量。于是,我们可以预期,电磁波除 具有能量外还带有一定的动量。 由于电磁波是以光速c传播的,所以利用狭义相对论 所给出的能量-动量关系式 E=cp (735) 以及式 E bB E 或V6160E=√41H0

平均能流密度为 0 0 2 1 S = E H , (14.72) 式中 E0和 H0分别是 E 和 H 的振幅。因 E0和 H0之间 存在着比例关系 r 0 E0 r0 H0   = , 故有 2 S  E0 或 2 S  H0 , (14.73) 即平面电磁波的平均能流密度正比于电场强度或磁 场强度振幅的平方。 二 电磁场的动量 根据狭义相对论，能量和动量是密切联系着的，它们 形成一个四维矢量。于是，我们可以预期，电磁波除 具有能量外还带有一定的动量。 由于电磁波是以光速 c 传播的，所以利用狭义相对论 所给出的能量−动量关系式 E = c p (7.35) 以及式 v B E = = =  1 0 0 B E , 或 r 0 E0 r0 H0   =

(14.59) 可以求出与真空中平面电磁波相联系的单位体积的 动量为 w 80 8= E×H 由于动量是矢量,其方向与电磁波的传播方向相同, 因此上式可以写成如下的矢量形式: E×H (14.74) 即电磁波动量密度的大小正比于能流密度,其方向沿 电磁波的传播方向。 由于电磁波带有动量,所以在它被物体表面反射或吸 收时,必定产生压强,称为辐射压强。光是一种电磁 波,它所产生的辐射压强称为光压。太阳光投射到与 其入射方向垂直的地球表面上的平均强度为 10=135kW/m2, 称为太阳常量。与地面大气压强105N/m2相比,太阳 光在镜面上产生的光压9×10-6N/m2是一般很难观 测到的非常小的压强。 在两个从尺度上看是截然相反的领域中,光压却起了 重要的作用: ①在原子物理学中,最著名的现象是光在电子上散

(14.59) 可以求出与真空中平面电磁波相联系的单位体积的 动量为 = = = EH 2 2 0 1 c c E c w g  . 由于动量是矢量，其方向与电磁波的传播方向相同， 因此上式可以写成如下的矢量形式： g E H S 2 2 1 1 c c =  = , (14.74) 即电磁波动量密度的大小正比于能流密度，其方向沿 电磁波的传播方向。 由于电磁波带有动量，所以在它被物体表面反射或吸 收时，必定产生压强，称为辐射压强。光是一种电磁 波，它所产生的辐射压强称为光压。太阳光投射到与 其入射方向垂直的地球表面上的平均强度为 2 I0 =1.35 kW/m ， 称为太阳常量。与地面大气压强 5 2 10 N/m 相比，太阳 光在镜面上产生的光压 6 2 9 10 N/m −  是一般很难观 测到的非常小的压强。 在两个从尺度上看是截然相反的领域中，光压却起了 重要的作用： ① 在原子物理学中，最著名的现象是光在电子上散

射时与电子交换动量的过程,即康普顿效应。 ②在天体物理学中,星体外层受到其核心部分的引 力,相当大一部分是靠核心部分的辐射所产生的光压 来平衡的。例如,彗星尾是由大量尘埃组成的,当彗 星运行到太阳附近时,由于这些尘埃微粒所受到的来 自太阳的光压比引力大,所以它被太阳光推向远离太 阳的方向而形成很长的彗星尾。彗星尾被太阳光照得 很亮,有时能被人用肉眼看到。在我国的民间,常按 其形象把彗星叫做扫帚星。 总之,电磁场不仅具有能量,而且具有动量。 三电磁场是物质的一种形态 能量和动量都是物质运动的量度,运动是物质的存在 形式,运动和物质是不可分割的。 电磁场具有能量和动量,它是物质的一种形态。 随着科学技术的发展,发现“场”和“实物”之间的 界限日益消失。对黑体辐射和光电效应等一系列现象 的研究发现,光也具有不连续的微观结构,或者说, 光在某些方面也具有微粒性;与此同时,从电子衍射 现象发现,一向被认为是实物微粒的电子同时也具有 波动性。特别是,1932年发现,一对正负电子结合后 可以转化为y射线,即静质量为零的y光子

射时与电子交换动量的过程，即康普顿效应。 ② 在天体物理学中，星体外层受到其核心部分的引 力，相当大一部分是靠核心部分的辐射所产生的光压 来平衡的。例如，彗星尾是由大量尘埃组成的，当彗 星运行到太阳附近时，由于这些尘埃微粒所受到的来 自太阳的光压比引力大，所以它被太阳光推向远离太 阳的方向而形成很长的彗星尾。彗星尾被太阳光照得 很亮，有时能被人用肉眼看到。在我国的民间，常按 其形象把彗星叫做扫帚星。 总之，电磁场不仅具有能量，而且具有动量。 三 电磁场是物质的一种形态 能量和动量都是物质运动的量度，运动是物质的存在 形式，运动和物质是不可分割的。 电磁场具有能量和动量，它是物质的一种形态。 随着科学技术的发展，发现“场”和“实物”之间的 界限日益消失。对黑体辐射和光电效应等一系列现象 的研究发现，光也具有不连续的微观结构，或者说， 光在某些方面也具有微粒性；与此同时，从电子衍射 现象发现，一向被认为是实物微粒的电子同时也具有 波动性。特别是，1932 年发现，一对正负电子结合后 可以转化为  射线，即静质量为零的  光子

这些事实表明,电磁场和实物一样,也是客观存在的 物质,只是电磁场和实物各具有一些不同的属性,而 这些属性还会在一定的条件下相互转化

这些事实表明，电磁场和实物一样，也是客观存在的 物质，只是电磁场和实物各具有一些不同的属性，而 这些属性还会在一定的条件下相互转化