量子力学习题 第一章绪论 1、计算下列情况的de- broglie波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为0.025v的慢中子n=167·10-2克) 被铀吸收; (2)能量为5Me的a粒子穿过原子μa=6,64.10-24克: (3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等, 问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3、利用de- broglie关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能量 可能值
量 子 力 学 习 题 第一章 绪论 1、计算下列情况的 de − Broglie 波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为 0.025eV 的慢中子 ( 克) 24 1 67 10− = . n ；被铀吸收； （2）能量为 5MeV的a 粒子穿过原子 a = 6.6410−24克 ； （3）飞行速度为 100 米/秒，质量为 40 克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用 de − Broglie 关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值
第二章波函数与波动力学 1、设q()=Ae2(a为常数) (1)求归一化常数 (2)X=2,px= 2、求q1=e和φ2=er的几率流密度。 r 3、若q=A(+Be-)求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的结 论?(其中k为实数) 4、一维运动的粒子处于 -λx xe X>0 0 X0,求归一化系数A和粒子动量的几率分布函数 5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 v×u=0 其中υ=j/p 6、一维自由运动粒子,在t=0时,波函数为 δ X, 第三章一维定态问题 、粒子处于位场
1 第二章 波函数与波动力学 1、设 (x) Ae (a为常数) a x 2 2 2 1 − = （1）求归一化常数 （2） x ?,p ?. = x = 2、求 ikr ikr e r e r − = = 1 1 1 和 2 的几率流密度。 3、若 A(e Be ), kx −kx = + 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中 k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ( ) = − 0 0 0 x Axe x x x 的状态，其中 0, 求归一化系数 A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 = 0 其中 = j/ 6、一维自由运动粒子，在 t = 0 时，波函数为 (x,0) = (x) 求： (x,t) = ? 2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场
X≥0 中,求:E>V时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场 X<0 0≤x≤a 运动 (1)求粒子的能级和对应的波函数; (2)若粒子处于φn(x)态,证明:x=a/2, 6 n Ce+ De" x 3、若在ⅹ轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为 如=S1+S2D B=S,A+S,d 这即“出射”波和“入射”波之间的关系, 证明:S21+S S1S12+S21S22=0 这表明S是么正矩阵
2 ( 0) 0 0 0 0 0 = V V x x V 中，求：E＞ V0 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 = 0 0 0 0 x x a x V(x) 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于 (x) n 态，证明： x = a / 2, ( ) . n a x x − = − 2 2 2 2 6 1 12 3、若在 x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 B S A S D C S A S D 21 22 11 12 = + = + 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明： 0 1 1 11 12 21 22 2 22 2 21 2 12 2 11 + = + = + = S S S S S S S S 这表明 S 是么正矩阵
4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 x a 5、求粒子在下列位场中运动的能级 X≤0 Lio X X>0 6、粒子以动能E入射,受到双δ势垒作用 6(x)+8(x-a)] 求反射几率和透射几率,以及发生完全透射的条件。 E 7、质量为m的粒子处于一维谐振子势场V1(x)的基态 I(x) (1)若弹性系数k突然变为2k,即势场变为 2(X) kx 随即测量粒子的能量,求发现粒子处于新势场V2基态几率; (2)势场Ⅴ突然变成V2后,不进行测量,经过一段时间r后,势场又恢复成Ⅴ1, 问r取什么值时,粒子仍恢复到原来v1场的基态
3 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 ( ) = V x a x a x V X 0 0 0 0 5、求粒子在下列位场中运动的能级 ( ) = 0 2 1 0 2 2 x x x V X 6、粒子以动能 E 入射，受到双 势垒作用 ( ) V V (x) (x a) x = 0 + − 求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。 7、质量为 m 的粒子处于一维谐振子势场 ( ) 1 V x 的基态， 0 2 1 2 V1 = kx k (x) （1）若弹性系数 k 突然变为 2k ，即势场变为 2 V2(X) = kx 随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场 V2 基态几率； （2）势场 V1 突然变成 V2 后，不进行测量，经过一段时间 后，势场又恢复成 V1， 问 取什么值时，粒子仍恢复到原来 V1 场的基态
8、设一维谐振子处于基态,求它的△x2,△p3,并验证测不准关系。 第四章量子力学中的力学量 若H1 口2+P2+P)+
4 8、设一维谐振子处于基态，求它的 2 2 px x , ，并验证测不准关系。 第四章 量子力学中的力学量 1、 若 ( ) H px + py + pz + V(x,y,z) = 2 2 2 2 1
证明:[H,Px]=i 2、设[qp]=请(q)是q的可微函数,证明 (1)a,pf(q)=2ihpf, 方 (2) p, pf(q)=.p'f 3、证明 LA, B, C+B, C,A+IC,lA, B=o 4、如果,A,B是厄密算符 (1)证明(+B,的是尼密算符, (2)求出AB是厄密算符的条件。 5、证明: [+[[,A]+[[.[ 6、如果A,B与它们的对易子A,都对易,证明 A+B+ e.e =e 提示,考虑()=2.cB.c(+,证明=2,然后积分) 7、设是一小量,算符A和A_1存在,求证 (A-2B)-=A-+2A-BA-+2A-+2A-BA-BA-+ 如uni是能量En的本征函数(i为简并指标),证明 ∫um(p3+p、x)ad=0
5 证明： , x V [H,P ] i x = , p [H,x] i x = − 2、设 q,p= i,f(q)是q 的可微函数，证明 （1） q,p f(q) 2ihpf , 2 = （2） p f ; i p,p f(q) = 2 2 3、证明 + + B]] 0 ˆ A, ˆ C,[ ˆ A]] [ ˆ C, ˆ B,[ ˆ C]] [ ˆ B, ˆ A,[ ˆ [ 4、如果， A B ˆ , ˆ 是厄密算符 （1）证明 ( ) B ˆ A, ˆ B ,i A ˆ ˆ n + 是厄密算符； （2）求出 A ˆ B ˆ 是厄密算符的条件。 5、证明： − = + + + L ˆ ,L ˆ ,L ˆ ,A ˆ + ! A, ˆ L, ˆ L, ˆ ! A ˆ L, A ˆ Ae ˆ e L Lˆ 3 1 2 1 6、如果 A,B 与它们的对易子 B ˆ A, ˆ 都对易，证明 B ˆ A, A ˆ B ˆ A B ˆ e e e 2 1 + + = （提示，考虑 ( ) f( ) e e e , A ˆ B ˆ − A ˆ +B ˆ = 证明 A,Bf d df = 然后积分） 7、设 是一小量，算符 −1 A ˆ 和A ˆ 存在，求证 (A ˆ − B ˆ ) −1 = A ˆ −1 + A ˆ −1B ˆ A ˆ −1 + 2A ˆ −1 + 2A ˆ −1B ˆ A ˆ −1B ˆ A ˆ −1 + 8、如 uni 是能量 En 的本征函数（ i为简并指标 ），证明 ( + ) = uni xpx pxx unjdx 0
从而证明:订umP1xrs方 9、一维谐振子处在基态 a-a l/2 求:(1)势能的平均值A=-m2X2; (2)动能的平均值T=P/2m; (3)动量的几率分布函数 n 其中a V h 10、若I+=Lx土讧,证明 (1)Lz,Ll=土L士 12,+1=[02,L|=0 Im =C1Ylm+ L Y=CY (3)L 十 1l、设粒子处于Y1m(,q)状态,利用上题结果求△lx,A 12、利用力学量的平均值随时间的变化,求证一维自由运动的△X2随时间的变 化为: x-(x)+2[G+x-+r (注:自由粒子Px,Px与时间无关)
6 从而证明： = unipxxunjd ij i 2 9、一维谐振子处在基态 ( ) 2 1 2 2 2 a x / / e a x − = 求： （1）势能的平均值 A m X ; 2 2 2 1 = （2）动能的平均值 T P / m; x 2 2 = （3）动量的几率分布函数 其中 = m a 10、若 L = Lx iLy ,证明 (1) = L ˆ L ] ˆ L , ˆ [ z 0 2 2 [L ˆ ,L ˆ + ] = [L ˆ ,L ˆ − ] = (2) + 1 +1 L Ylm = C Ylm ˆ − 2 −1 L Ylm = C Ylm ˆ (3) ( ) − = + + + −L− L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ ˆ x y 2 2 2 1 11、设粒子处于 Y ( , ) lm 状态，利用上题结果求 2 2 x y l ,l 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的 2 X 随时间的变 化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 2 2 1 X X XP p X x p P t x t t X X x + + − = + （注：自由粒子 2 x Px P , 与时间无关）
第五章变量可分离型的波动方程 1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势
7 第五章 变量可分离型的波动方程 1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。 2、对于球方位势
r>0 r0,求粒子的能量本征值 设粒子在半径为a,高为h的园筒中运动,在筒内位能为0,筒壁和筒外位 能为无穷大,求粒子的能量本征值和本征函数 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动,原子实电场 近似地可用下面的电势表示 Z'e A 中()=+
8 ( ) 0 0 0 = V r V r r a 试给出有 n个l = 0 的束缚态条件。 3、设氢原子处于状态 ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ) − r, , R r Y , R r Y , 21 10 21 1 1 2 3 2 1 求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率 和这些力学量的平均量。 4、证明 r r ,r = + 1 2 1 2 ,r= 2 2 1 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域 (E− V = T0) 的几 率。 6、设 ( ) 0 2 2 V r = Br + A/ r ,其中A,B ，求粒子的能量本征值。 7、设粒子在半径为 a ，高为 h 的园筒中运动，在筒内位能为 0，筒壁和筒外位 能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。 8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场 近似地可用下面的电势表示： ( ) 2 r A r Z e r + =
其中,Z'e表示原子实的电荷,A>0,证明,电子在原子实电场中的能量为 2h 而S1为的函数,讨论81何时较小,求出81小时,En公式,并讨论能级的简并度 9、粒子作一维运动,其哈密顿量 +Ⅴ 的能级为EO),试用 Feynman- Hellmann定理,求 入P H=Ho+ 的能级En 10、设有两个一维势阱 v sv2( 若粒子在两势阱中都存在束缚能级,分别为E1n,E2n(n=1,2…) (1)证明E1nSE2 (提示:令V(入,x)=(-3NV1+V2 (2)若粒子的势场 Kbi x>b 中运动,试估计其束缚能总数的上、下限 ll、证明在规范变换下 p=q*φ 中*q
9 其中， Ze 表示原子实的电荷， A 0 ，证明，电子在原子实电场中的能量为 ( ) 2 2 4 2 1 2 l nl n e z E + = − 而 l 为 l 的函数，讨论 l 何时较小，求出 l 小时， Enl 公式，并讨论能级的简并度。 9、粒子作一维运动，其哈密顿量 (x) x V m p H = + 2 2 0 的能级为 ( ) En 0 ，试用 Feynmen − Hellmann 定理，求 m P H H x = 0 + 的能级 En 。 10、设有两个一维势阱 V (x) V (x) 1 2 若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为 ( 1 2) 1 2 E ,E n , n n = （1）证明 E1n E2n （提示：令 ( ) ( ) x 1 V1 V2 V , = − + （2）若粒子的势场 = KX x b Kb x b V(X) 2 2 2 1 2 1 中运动，试估计其束缚能总数的上、下限 11、证明在规范变换下 = ( ) − − = A ˆ c q P ˆ P ˆ j 2 1