《量子力学习题》复习题

·量子力学复习题· 、简答题 1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2.简并、简并度 3.用球坐标表示,粒子波函数表为v(,,q),写出粒子在立体角2中被测到的几率 用球坐标表示,粒子波函数表为v(r,),写出粒子在球壳(r,F+b)中被测到 的几率 5.一粒子的波函数为v()=u(x,y.=),写出粒子位于x~x+间的几率。 6.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7.写出三维无限深势阱 v(x, y, )=10, 0%x2a 中运动,写出其状态波函数和能级表达式。 9.粒子在一维δ势垒 >0) 中运动,波函数为v(x),写出(x)的跃变条件。 10.何谓几率流密度?写出几率流密度(F,1)的表达式 11.写出在表象中的泡利矩阵。 12.电子自旋假设的两个要点 13.一个力学量Q守恒的条件是什么(用式子表示)? (L2L.) :的共同本征函数是什么?相应的本征值又分别是什么? 15.写出电子自旋的二本征态和本征值。 16.给出如下对易关系: ly,P,=?1=,p」=?L,L」=? ,L,」=? 17证明:[L2,L]=0,【2,s=0,[2,,=0,其中 a=x、y y(r, h/2 y(r,s.= 18.完全描述电子运动的旋量波函数为 v(F,-h/2) 准确叙述|v(,12)2J4-/22 分别表示什么样的物理意义 19.二电子体系中,总自旋S=51+S2,写出(2,S )的归一化本征态(即自旋单 态与三重态)。 20.何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应? 21.给出一维谐振子升、降算符a、a的对易关系式;粒子数算符N与a、a的关系

• 量子力学复习题 • 一、简答题 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为  (r,,) ，写出粒子在立体角 d 中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 (r,,) ，写出粒子在球壳 ( r , r + dr ) 中被测到 的几率。 5. 一粒子的波函数为 (r) =(x, y,z)  ，写出粒子位于 x ~ x + dx 间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱           = , 其余区域 0 , 0 ,0 , 0 ( , , ) x a y b z c V x y z 中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为  的粒子在一维无限深方势阱         = x x a x a V x , 0, 2 0, 0 2 ( ) 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 粒子在一维  势垒 V(x) =  (x) (  0) 中运动，波函数为  (x) ，写出 (x) 的跃变条件。 10. 何谓几率流密度？写出几率流密度 j（r , t）   的表达式。 11. 写出在  z 表象中的泡利矩阵。 12. 电子自旋假设的两个要点。 13. 一个力学量 Q 守恒的条件是什么（用式子表示）？ 14. （L 2 ,Lz） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 15. 写出电子自旋 z s 的二本征态和本征值。 16. 给出如下对易关系：        ,  ?  ,  ?  ,  ? , ? , ? , ? 2 = = = = = = x x y z y y x y z L L s s y p z p L L   17. 证明： [ , ] 0, [ , ] 0, [ , ] 0 2 2 2 L L = s s = J s  L =     ，其中 x y z J s L     = 、 、 , = + 。 18. 完全描述电子运动的旋量波函数为         − = ( , / 2) ( , / 2) ( , )      r r r sz    ， 准确叙述 2 ( , / 2)   r 及 2 3 ( , / 2)  −  d r  r 分别表示什么样的物理意义。 19. 二电子体系中，总自旋 1 2 S s s    = + ，写出（ S S z , 2 ）的归一化本征态（即自旋单 态与三重态）。 20. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 给出一维谐振子升、降算符 a 、a + 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a 、a + 的关系；

哈密顿量H用N或4、表示的式子;N(亦即H)的归一化本征态 22.二粒子体系,仅限于角动量涉及的自由度,有哪两种表象?它们的力学量完全集分别 是什么?两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么? 23.使用定态微扰论时,对哈密顿量H有什么样的要求? 24.写出非简并态微扰论的波函数(一级近似)和能量(二级近似)计算公式c 25.何谓光的吸收?何谓光的受激辐射?何谓光的自发辐射? 26.给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在? 27.散射问题中,高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理? 28.对于阶梯形方势场 x a 如果(H2-V)有限,则定态波函数(x)连续否?其一阶导数W(x)连续否? 29量子力学中,体系的任意态(x)可用一组力学量完全集的共同本征态Wn(x)展开: v(x)=∑cvn(x) 写出展开式系数Cn的表达式。 30.5、L分别为电子的自旋和轨道角动量,J=S+L为电子的总角动量。证明: J,·L=0:[J,Ja}=0,a=x,y 31证明,D2,f(x)2_2hp H V(x) 32.一维运动中,哈密顿量 2m 求 (F,s:) v(F,h/2) 33.一个电子运动的旋量波函数为 v(F,-b/2) ,写出表示电子自旋向 上、位置在F处的几率密度表达式,以及表示电子自旋向下的几率的表达式。 二、计算证明题 1.计算下列对易式: d d 2.一电子局限在1014米的区域中运动。已知电子质量m=911×1031千克,试计算该电 子的基态能量(提示:可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算)。 3.设粒子处于一维无限深势阱 0.0a 中,求处于定态八(x)中的粒子位置x的平均值

哈密顿量 H 用 N 或 a 、a + 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。 22. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别 是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 23. 使用定态微扰论时，对哈密顿量 H 有什么样的要求？ 24. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 25. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？ 26. 给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？ 27. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？ 28. 对于阶梯形方势场      = V x a V x a V x , , ( ) 2 1 ， 如果（ V2 −V1 ）有限，则定态波函数  (x) 连续否？其一阶导数  (x) 连续否？ 29. 量子力学中，体系的任意态  (x) 可用一组力学量完全集的共同本征态 (x)  n 展开： =  n n n  (x) c  (x) ， 写出展开式系数 n c 的表达式。 30. s  、 L  分别为电子的自旋和轨道角动量， J s L    = + 为电子的总角动量。证明： [ J s L    ,  ]=0；[  J , J 2 ]=0， = x, y,z。 31. 证明：   x px x f i x f p f x   −   , ( ) = − 2  2 2 2 2 。 32. 一维运动中，哈密顿量 V(x) m p H +  =  ，求 x , H  = ? p , H  = ? 33. 一个电子运动的旋量波函数为 ( ) ( ) ( )         − = , 2 , 2 ,      r r r sz    ，写出表示电子自旋向 上、位置在 r  处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。 二、计算证明题 1. 计算下列对易式： (1) , = ?       d x d x （2） , ? 2  =      x d x d 2. 一电子局限在 10-14 米的区域中运动。已知电子质量 m = 9.11  10-31 千克，试计算该电 子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为 10-14 米的三维无限深势阱计算）。 3. 设粒子处于一维无限深势阱 ( )         = x x a x a V x , 0 或 0, 0 中，求处于定态 (x)  n 中的粒子位置 x 的平均值

Asin(x+a),x) 0 > a 的归一化常数A (x,D) a-a2x2/2-1 5.一个谐振子处于基态: 求势能2 的平均值 及动能T=P2/2m的平均值 6.设力学量A不显含时间t,证明在束缚定态下,0 7.证明:在的本征态下 0 8.证明:厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 9.对于氢原子基态,求电子处于经典禁区的几率(已知氢原子能级 E v100 =h2/ 基态波函数 为Bohr半 径,势能 0m)和|n)为L的二本征态,本征值分别为m和m。证明 (1)矩阵元 (,)和( x)m之间的关系为 1(,)=(m-n)() (2)在的任何本征态(比如 下,恒有 L.=L,=0 y(x) 11.氢原子处于基态 求: (1)势能C2/r的平均值 (2)最可几半径 12.一电子处于32m=B32(r)P2m(,中)态,测力学量L2,测值如何?测力学量L 可能得哪些测值?写出=的矩阵表示。 13.在表象中,求y的本征态 14.已知L、5分别为电子的轨道角动量和自旋角动量,J=L+为电子的总角动量 (2,,J的共同本征态为m。证明“/m是5·工的本征态,并就J=1+1/2b° j=1-1/2两种情况分别求出其相应的本征值 15.氢原子的波函数(t=0时刻)为

4. 求 ( ) ( )        +  =  x a x a x a a n A x n , sin ,   的归一化常数 A 。 5. 一个谐振子处于基态： ( , ) , / 2 / 2 1/ 2 2 2 x i t x t e      − − = 求势能 2 2 2 1 V = m x 的平均值 及动能 T p 2m 2 = 的平均值。 6. 设力学量 A 不显含时间 t ，证明在束缚定态下， = 0 d t d A 。 7. 证明：在 Lz 的本征态下， Lx = Ly = 0。 8. 证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 9. 对于氢原子基态 , 求电子处于经典禁区的几率 ( 已 知 氢 原 子 能 级         = −    = − a n e n e En   ,基态波函数 −       =          = e a e a r a    ,  为 Bohr 半 径, 势能 r e V  = − )。 10. m 和 n 为 Lz 的二本征态，本征值分别为 m 和n 。证明： （1）矩阵元 ( ) ( ) m n x m n L y 和 L 之间的关系为 ( ) ( ) ( ) m n x m n i L y = m − n L （2）在 L z 的任何本征态（比如 n ）下，恒有 L x = L y = 0。 11. 氢原子处于基态： r a e a x − = 3 1 ( )   ,求： （1）势能 e r 2 − 的平均值； （2）最可几半径。 12. 一电子处于  32 m = R3（2 r）Y2 m（ , ） 态，测力学量  L ，测值如何？ 测力学量 L z ， 可能得哪些测值？写出 L z 的矩阵表示。 13. 在  z 表象中,求  y 的本征态。 14. 已知 L  、 s  分别为电子的轨道角动量和自旋角动量， J L s    = + 为电子的总角动量。 ( ) z 2 L J , J    ， 的共同本征态为 mj l j 。证明 mj l j 是 s L    的本征态，并就 j = l +  和 j = l −  两种情况分别求出其相应的本征值。 15. 氢原子的波函数（ t = 0 时刻）为

vG,0)=2vno0)+3vnG)+3w21 求1时刻的平均能量,其中Vmn()为定态空间波函数。 16.一维运动粒子的状态是 Axe ≥0 x<0 (1)归一化常数A (2)粒子动量的几率分布 (3)粒子动量平均值。 17.粒子自旋处于S=M/2的本征态(0丿,试求和S的测不准关系 △s)2.(△s)2=? RoLY 18.氢原子处于状态 (1)求轨道角动量的二分量L=的平均值 (2)求自旋角动量的z分量S:的平均值 M (3)求总磁矩 2HH的二分量M2的平均值 y(r,6,q)=R21(r)Y10(6,)+-R21(r)H1(6,q) 19.氢原子处于状态 。试求 (1)能量算符H、角动量平方算符L2和角动量二分量L的可能取值 (2)上述三个量取各可能值的几率; (3)上述三个量的平均值。 20.一维无限深势阱(0<x<a)中的粒子,受到微扰H'用, 0<x<a/2 H'(x) 2(1-x/a),a/2<x<a 求基态能量的一级修正。 21.证明paui矩阵满足 22粒子在二维无限深方势阱(xy)中运动, 0<x<丌,0<y<x V(x,y) 其它区域 (1)试直接写出(不必求解)基态和第一激发态的能级和能量本征函数 (2)加上微扰 H'=1 cos x cos y

(r ) (r) (r) (r)     100 210 211 3 3 3 1 2 1  ,0 =  +  +  , 求 t 时刻的平均能量，其中 (r) nlm   为定态空间波函数。 16. 一维运动粒子的状态是 ( )         = − x Ax e x x x , ,   求： (1) 归一化常数 A ； (2) 粒子动量的几率分布； (3) 粒子动量平均值。 17. 粒子自旋处于 sz =  2 的本征态         = 0 1  ，试求 x s 和 y s 的测不准关系 ? 2 2 （ s x） （ s y） = 18. 氢原子处于状态 ( )         =             − = 2 1 21 10 21 11 2 3 2 1 ,    R Y R Y r sz  ， (1) 求轨道角动量的 z 分量 Lz 的平均值； (2) 求自旋角动量的 z 分量 z s 的平均值； (3) 求总磁矩 s e L e M      = − − 2 的 z 分量 Mz 的平均值。 19. 氢原子处于状态 ( ) ( , ) 2 3 ( ) ( , ) 2 1 ( , , )  r   = R21 r Y10   + R21 r Y1−1   。试求： （1）能量算符 H 、角动量平方算符 2 L 和角动量 z 分量 Lz 的可能取值； （2）上述三个量取各可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。 20. 一维无限深势阱（ 0  x  a ）中的粒子，受到微扰 H  用，    −      = x a a x a x a x a H x 2 (1 ), 2 2 , 0 2 ( )   求基态能量的一级修正。 21. 证明 pauli 矩阵满足 i  x y z = 。 22. 粒子在二维无限深方势阱 V (x, y) 中运动，         = , 其它区域 0 , 0 , 0 ( , ) x  y  V x y ， （1）试直接写出（不必求解）基态和第一激发态的能级和能量本征函数； （2）加上微扰 H =  cos x cos y

求第一激发态能量至λ级、基态能量至2级

求第一激发态能量至  级、基态能量至 2  级