清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第七章 量子力学的矩阵形式和表象变换（7.2）量子力学的矩阵形式

S72量子力学的矩阵形式 1.离散表象中的量子力学诸方程 坐标表象与离散表象的关系和对比如下表 坐标表象 离散表象 波函数(x,t) 列矢量() 复共轭波函数Y(x,1) 行矢量Y() 算符 F(x,-i0,) 矩阵F=(Fmn) 算符作用于态d(x,)= p(o=Fp(o F(x,-iha )p(x, t) (矩阵乘法) 态的内积j@:(x)(x)d (矩阵乘法) 因此,在离散表象中量子力学的诸方程的形式如下 (1)态的归一:平平=1,两态正交:Φ=0 (2)力学量的平均值(若已归一):F=+FP, (3)本征方程 Fy=ny (4)含时间的 Schrodinger方程 d 1h-=HP(o) 以上各式中的乘法均理解为矩阵(包括列、行矢量)乘法 2.离散表象中本征方程的解法 设 1 F1F12 那么本征方程就是 F, F22 F F 简写为 (F-Any=0 代表单位矩阵。这是一个齐次线性方程组,它有非零解的充要条件是 1F2 F21F2-元 或简记为 F-Al|=0. 这个方程称为长期(久期)方程。如果F是n×n矩阵,则它是关于的n次代数方程。根据“代数基

1 §7.2 量子力学的矩阵形式 1. 离散表象中的量子力学诸方程 坐标表象与离散表象的关系和对比如下表。 坐标表象 离散表象 态 波函数 (x,t) 复共轭波函数 (x,t)   列矢量 (t) 行矢量 (t) +  算符 ˆ ( , i ) F x − x 矩阵 ( ) F = Fmn 算符作用于态 (x,t) = ˆ ( , i ) ( , ) F x x t −  x  =  ( ) ( ) t F t （矩阵乘法） 态的内积 ( ) ( ) x x dx      + （矩阵乘法） 因此，在离散表象中量子力学的诸方程的形式如下： (1) 态的归一：   = 1 + ，两态正交：   = 0 + ， (2) 力学量的平均值（若  已归一）： F F+ =   ， (3) 本征方程： F = , (4) 含时间的 Schrödinger 方程： i ( ), d H t dt  =  以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、行矢量）乘法。 2. 离散表象中本征方程的解法 设 1 11 12 2 21 22 , , a F F  a F F F         = =             那么本征方程就是 11 12 1 1 21 22 2 2 , F F a a F F a a              =                   或 11 12 1 21 22 2 0, F F a F F a       −     − =             简写为 ( ) 0, F I − =   I 代表单位矩阵。这是一个齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是： 11 12 21 22 0, F F F F   − − = 或简记为 | | 0. F I − =  这个方程称为长期（久期）方程。如果 F ˆ 是 n n 矩阵，则它是关于  的 n 次代数方程。根据“代数基

本定理”,在复数域内,n次代数方程一定有n个根(k重根算k个根),这些根就是本征值。矩阵F的 Hermitian性保证了长期方程的根都是实数。把这些本征值记为{λ1,2,…,n}(假设没有重根),再代 回方程 F1-1F2 1 F21F2-41 就可以对各个本征值求出{a1,a2,…,an},但有一个整体的常数因子未定,再利用归一化条件把它定出 就完全得到了归一化的本征矢量。有重根出现的情况稍微复杂一些,因为这时{a12a2,…,an}当中可以 自由选择的分量数目更多一些,我们不再细说 例子:完成矩阵 0 的“对角化” 首先不难验证这个F是 Hermitian矩阵 0-i)(0 F F 为了求本征值,可以直接写下它的长期方程: 22-1=0 所以本征值是: A1=1,2 对于A1=1,本征方程成为 a2 所以 a2=1a1 就是说,它的本征矢量是 归一化条件是 wv1=a1P+|a1P=21a1P2=1, 所以 la,p 可以取 所以归一化的本征矢量是 yI 类似地,对于A2=-1,归一化的本征矢量是

2 本定理”，在复数域内， n 次代数方程一定有 n 个根（ k 重根算 k 个根），这些根就是本征值。矩阵 F ˆ 的 Hermitian 性保证了长期方程的根都是实数。把这些本征值记为 { , , , } 1 2  n （假设没有重根），再代 回方程 11 12 1 21 22 2 0, ( 1, 2, , ) i i F F a F F a i n       −     − = =             (i = 1,2,  , n) 就可以对各个本征值求出 { , , , } a1 a2  an ，但有一个整体的常数因子未定，再利用归一化条件把它定出， 就完全得到了归一化的本征矢量。有重根出现的情况稍微复杂一些，因为这时 { , , , } a1 a2  an 当中可以 自由选择的分量数目更多一些，我们不再细说。 例子：完成矩阵         − = i 0 0 i F 的“对角化”。 首先不难验证这个 F 是 Hermitian 矩阵： . i 0 0 i i 0 0 i F = F         − =         − = + + 为了求本征值，可以直接写下它的长期方程： 1 0, i i 2 = − = − − −    所以本征值是： 1, 1. 1 = 2 = − 对于 1 =1 ，本征方程成为 1 2 1 i 0, i 1 a a   − −      =   −   所以 i , a2 = a1 就是说，它的本征矢量是 , i 1 1 1          = a 归一化条件是： | | | | 2 | | 1, 2 1 2 1 2 1 1 = 1 + = = +   a ia a 所以 , 2 1 | | 2 a1 = 可以取 , 2 1 a1 = 所以归一化的本征矢量是： . i 1 2 1 1          = 类似地，对于 2 = −1 ，归一化的本征矢量是： . i 1 2 1 2         −  =

现在我们把v1和v,排成一个方矩阵,记为S: i/√2-i/ 那么它的 Hermitian共轭 √-i 1/2 i/2 我们发现 /-i/21/1/2 S √i/八i-/ 1, 事实上这就是v1和v2的正交归一性。所以S是幺正矩阵。进一步我们发现 0-i1212 StES= √2i/2 1/2-i/21/2-1/√2 1/2i2i/v2i/2 所以这个幺正变换恰好把矩阵F对角化了,对角元素正是它的本征值。这给了我们关于算符(矩阵)的 本征函数的意义更多理解。所以,求解本征方程的问题又被称为算符(矩阵)的对角化问题,换句话说, 这个步骤使我们找到了从某个矩阵的一般表象(在这个表象中矩阵不是对角的)变到它自身表象的那个 幺正变换。 作业:补充题:求矩阵 A 0 010 的本征值,归一化本征矢量和把它对角化的幺正变换

3 现在我们把 1 和 2 排成一个方矩阵，记为 S ： 1/ 2 1/ 2 , i / 2 i / 2 S   =       − 那么它的 Hermitian 共轭是： 1/ 2 i / 2 , 1/ 2 i / 2 S +   − =       我们发现： 1/ 2 i / 2 1/ 2 1/ 2 1 0 , 1/ 2 i / 2 i / 2 i / 2 0 1 S S I +    −   = = =         −      事实上这就是 1 和  2 的正交归一性。所以 S 是幺正矩阵。进一步我们发现， 1/ 2 i / 2 0 i 1/ 2 1/ 2 1/ 2 i / 2 i / 2 i / 2 i 0 S FS +     − −   =                 −         −         − = i / 2 i / 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 i / 2 1/ 2 i / 2 1 0 . 0 1   =     − 所以这个幺正变换恰好把矩阵 F 对角化了，对角元素正是它的本征值。这给了我们关于算符（矩阵）的 本征函数的意义更多理解。所以，求解本征方程的问题又被称为算符（矩阵）的对角化问题，换句话说， 这个步骤使我们找到了从某个矩阵的一般表象（在这个表象中矩阵不是对角的）变到它自身表象的那个 幺正变换。 作业：补充题：求矩阵 0 i 0 i 0 i 0 i 0 A   −   = −       的本征值，归一化本征矢量和把它对角化的幺正变换