§8.3角动量的合成 1.角动量合成的一般规则 我们在很多情况下会遇到角动量合成(即相加)的问题。在本节,我们只注意角动量合成的一般规 律,而不注意那些角动量的具体物理背景,所以我们将采用 Dirac符号 设J和J2是两个互相独立的角动量,这意思是,它们的分量分别满足角动量的对易关系,而它们 互相之间是对易的: 0,i,k J和J2的矢量和记为 了+2,ie.J= 则不难证明J仍然是角动量,即它的分量也满足角动量的对易关系。(所以角动量可以相加,却不可以 被常数乘!) 从未耦合(和J2未相加)的角度看来,这个体系的完备算符集是J2,-,12,J2,共同本征 态是|1,m,2,m2),Hbet空间的总维数是(2h+1(2/2+1);而角动量耦合以后,体系的完备算符 集变成了J2,,J2,J2(不难验证它们是两两对易的),共同本征态则记为,m,2),也就是说 J1J,mh,j2)=(+1)h21,m,2 J|j,m,1,2)=mjm,,2) J2|,m,元,2)=(1+1)h2,m,,) J2|,m,,2)=1(2+1)h2,m,2) 根据叠加原理,|m,方,2)一定是|1,m,2,m)的线性组合: jm,2)=∑C(,2,j m y, m 若采用 Dirac符号则 C(,2,m2m2,m)=(h,m;2m2,m元,) 这些组合系数称为 Clebsch- Gordan(CG)系数。实际上,从未耦合表象到耦合表象的变换是一个幺正变 换,而CG系数就是这个幺正变换的矩阵元。 我们的问题是:j,m和2m1;j2,m2有什么关系?组合系数C(1,/2,/;m1,m2,m)是什么? 以J2=J1-+J2作用于上述展开式得到 m,mh2)=∑(m+m2)C(,23六m,m2,m)1,m;2,m2 即是 ,m),mn;2,m2) 所以 (m-m-m2)C(1,j2,m1,m2,m)=0 这就是说,只有在 的时候才能有 C(i1,/2,jm1,m2,m)≠0 其次,在一个特殊的状态下未耦合的本征态和耦合的本征态是相同的,那就是“最大投影态” m =JI, m2 =J2 注意到
1 §8.3 角动量的合成 1. 角动量合成的一般规则 我们在很多情况下会遇到角动量合成（即相加）的问题。在本节，我们只注意角动量合成的一般规 律，而不注意那些角动量的具体物理背景，所以我们将采用 Dirac 符号。 设 1 ˆ J 和 2 ˆ J 是两个互相独立的角动量，这意思是，它们的分量分别满足角动量的对易关系，而它们 互相之间是对易的： 0, , , , . ˆ , ˆ 1 2 J J i k x y z i k = = 1 ˆ J 和 2 ˆ J 的矢量和记为 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , i.e. , , , x x x y y y z z z J J J J J J J J J J J J = + = + = + = + 则不难证明 J ˆ 仍然是角动量，即它的分量也满足角动量的对易关系。（所以角动量可以相加，却不可以 被常数乘！） 从未耦合（ 1 ˆ J 和 2 ˆ J 未相加）的角度看来，这个体系的完备算符集是 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ , , , z z J J J J ，共同本征 态是 1 1 2 2 j m j m , ; , ，Hilbert 空间的总维数是 1 2 (2 1)(2 1) j j + + ；而角动量耦合以后，体系的完备算符 集变成了 2 2 2 1 2 ˆ , , , z J J J J （不难验证它们是两两对易的），共同本征态则记为 1 2 j,m; j , j ，也就是说 2 2 1 2 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , , = + 1 2 1 2 ˆ , ; , , ; , , z J j m j j m j m j j = 2 2 1 1 2 1 1 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , , = + 2 2 2 1 2 2 2 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , . = + 根据叠加原理， 1 2 j,m; j , j 一定是 1 1 2 2 j m j m , ; , 的线性组合： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , , ; , ( , , ; , , ) , ; , , m m j m j j C j j j m m m j m j m = 若采用 Dirac 符号则 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 C j j j m m m j m j m j m j j ( , , ; , , ) , ; , , ; , . = 这些组合系数称为 Clebsch-Gordan (CG) 系数。实际上，从未耦合表象到耦合表象的变换是一个幺正变 换，而 CG 系数就是这个幺正变换的矩阵元。 我们的问题是： j,m 和 1 1 2 2 j m j m , ; , 有什么关系？组合系数 1 2 1 2 C j j j m m m ( , , ; , , ) 是什么？ 以 1 2 ˆ ˆ ˆ z z z J J J = + 作用于上述展开式得到 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , , ; , ( ) ( , , ; , , ) , ; , , m m m j m j j m m C j j j m m m j m j m = + 即是 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , ( ) ( , , ; , , ) , ; , 0, m m m m m C j j j m m m j m j m − − = 所以 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , , ; , , ) 0. m m m C j j j m m m − − = 这就是说，只有在 m m m = +1 2 的时候才能有 1 2 1 2 C j j j m m m ( , , ; , , ) 0. 其次，在一个特殊的状态下未耦合的本征态和耦合的本征态是相同的，那就是“最大投影态” m = j , m = j , m = j 1 1 2 2 . 注意到
+)=2+12+012-+012,+212 并把它作用于最大投影态|,示;22),我们发现 川2=(2+2+12+1+2)12) (A(n+1)+2(2+1)+2),2,2)=(n+2)+2+1),2,元2), 其中注意J+|j,少=0,所以对于这个态j=+j2。它显然是j的最大可能值,即 Jmax =/1+12 由于m1和m2的其它值总是以公差1递减,所以j的可能值也以公差1递减。那么j的最小值jm是多 大呢?我们可以通过 Hilbert空间的总维数的分析得出。从耦合以后的角度来看,总维数是 (y+1)=( 1)2-(m)2=(+j2+1)2-(jm 但 Hilbert空间的总维数并不依赖于采用什么完备算符集,所以 (1+j2+1)2-(jmn)2=(21+12j2+1), 由此得到 (jmnm)2=(1-j2) 所以我们的结论是: j=元+/2+2-1…|-2,或写为|-2≤j≤+2 以及 m1+m2 也就是说,只有当这些条件被满足的时候,CG,m,,m;应2,m2)才≠0。这个法则是量子力学中的重 要法则。在直观上,这是矢量相加的三角形法则的结果,因为三角形的三条边a,b,c必然满足关系 b-c|≤a≤b+ 所以上述关系又称为三角形关系 *2.CG系数的确定 CG系数的值的计算是一件比上面的推导复杂得多的事情,许多数学家(以及物理数学家)都曾经 为此做了大量的工作,我们就不仔细介绍了。我们在这里只是指出确定CG系数的基本原则。 按照m=m+m2的规则,我们可以写 j,m,h,2)=∑C(1,j2,/,m,m-m,m)|1m1 1,J2,m-m 所以需要求和的实际上只有一个量子数(在上式中取作m)。下面的任务就是让 21,mh,2)=(+1)h21,m,,2) 代入J2=小2+2+小172+1J2+212,把各项算符对1,m;2,m-m)的作用结果算出来 再比较等式两边的相同的态,就可以定出CG系数。但是这里还有一个相位约定的问题。通常采用的约 定是 (1)CG系数都是实的 (2)C(1,/2,m,m2,m 0 可以证明,有了这些要求,CG系数就被唯一地确定了。教材上有一些CG系数的公式可以参看。我们 在以后的章节里也要给出一些具体的例子 事实上,如果我们要偷懒的话,许多计算机程序库里都有现成的CG系数的计算程序(数值的或者 符号的)供我们调用。比起过去的“查表法”来,这可省事多了。 作业:习题9.5,9.6;97
2 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 , z z J J J J J J J J J J J = + = + + + + + − − + 并把它作用于最大投影态 1 1 2 2 j j j j , ; , ，我们发现 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ; , 2 , ; , ( 1) ( 1) 2 , ; , ( )( 1) , ; , , z z J j j j j J J J J J J J J j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j = + + + + + − − + = + + + + = + + + 其中注意 J j j , 0 + = ，所以对于这个态 1 2 j = j + j 。它显然是 j 的最大可能值，即 max 1 2 j = j + j . 由于 m1 和 m2 的其它值总是以公差 1 递减，所以 j 的可能值也以公差 1 递减。那么 j 的最小值 min j 是多 大呢？我们可以通过 Hilbert 空间的总维数的分析得出。从耦合以后的角度来看，总维数是 max min 2 2 2 2 max min 1 2 min (2 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ) , j j j j j j j j j = + = + − = + + − 但 Hilbert 空间的总维数并不依赖于采用什么完备算符集，所以 ( 1) ( ) (2 1)(2 1) 1 2 2 min 2 j1 + j2 + − j = j + j + , 由此得到 2 1 2 2 min ( j ) = ( j − j ) . 所以我们的结论是： 1 2 1 2 1 2 j j j j j j j = + + − − , 1, , , 或写为 1 2 1 2 j j j j j − + , 以及 1 2 m m m = + , 也就是说，只有当这些条件被满足的时候， 1 1 2 2 C j m j m j m ( , ; , ; , ) 才 0 。这个法则是量子力学中的重 要法则。在直观上，这是矢量相加的三角形法则的结果，因为三角形的三条边 abc , , 必然满足关系 b − c a b + c. 所以上述关系又称为三角形关系。 *2. CG 系数的确定 CG 系数的值的计算是一件比上面的推导复杂得多的事情，许多数学家（以及物理数学家）都曾经 为此做了大量的工作，我们就不仔细介绍了。我们在这里只是指出确定 CG 系数的基本原则。 按照 m m m = +1 2 的规则，我们可以写 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 , ; , ( , , ; , , ) , ; , , j m j j m j j C j j j m m m m j m j m m = − = − − 所以需要求和的实际上只有一个量子数（在上式中取作 m1 ）。下面的任务就是让 2 2 1 2 1 2 J j m j j j j j m j j , ; , ( 1) , ; , . = + 代入 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 z z J J J J J J J J J = + + + + + − − + ，把各项算符对 1 1 2 1 j m j m m , ; , − 的作用结果算出来， 再比较等式两边的相同的态，就可以定出 CG 系数。但是这里还有一个相位约定的问题。通常采用的约 定是 （1） CG 系数都是实的； （2） 1 1 2 1 1 2 1 2 , , ( , , ; , , ) 0 m j m j j m j C j j j m m m = = − = 。 可以证明，有了这些要求，CG 系数就被唯一地确定了。教材上有一些 CG 系数的公式可以参看。我们 在以后的章节里也要给出一些具体的例子。 事实上，如果我们要偷懒的话，许多计算机程序库里都有现成的 CG 系数的计算程序（数值的或者 符号的）供我们调用。比起过去的“查表法”来，这可省事多了。 作业：习题 9.5; 9.6; 9.7
