清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第九章 电子自旋（9.1）电子自旋及其描述

第九章电子自旋 §91电子自旋及其描述 1.电子自旋的发现 碱金属原子特征光谱的双线结构,例如Na黄线的二重分裂。 反常 Zeeman效应 Stern-Gerlach实验:测量银原子的磁矩。经典理论的预言是-1MsM2s|M|,连续变化,而实 验的结果是: M=±MM 2 -.(Bohr磁子 结论:电子有磁矩,其投影是量子化的。推论:电子有自旋(内禀角动量),其投影也是量子化的 Uhlen beck-Goudsmit假设(1925):电子有自旋角动量,其投影只能取两个值 h 这又导致电子有自旋磁矩,其投影为 M.= 2mFM.(SI制) 写成矢量关系,自旋角动量算符记为S,自旋磁矩算符记为M3,则 2.电子自旋的描述 自旋有纯量子力学的起源,只能用矩阵描写。电子自旋的分量只有两个可能的测量值,所以算符 S,S,S都是2×2矩阵。对应到角动量的一般理论,电子自旋属于j=1/2,m=±1/2的情形。在S 对角的表象中,利用一般公式(见§8.2) (,m+1|J1,m)=5√+m+1)(-m)h (,m-1J1,m)=5√0一m+1)(+m) (,m+1Jy,m)=5√+m+1)-m)h m +m 可知Sx,S1,S2的矩阵是: (01 (0 h(10 从S,S,还可以产生S的升级算符(矩阵)和降级算符(矩阵) S=S,+iS,=h S=S-IS 引入 Pauli矩阵 则可记为 Paui矩阵的应用极为广泛,读者应该牢记

1 第九章 电子自旋 §9.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现 碱金属原子特征光谱的双线结构，例如 Na 黄线的二重分裂。 反常 Zeeman 效应。 Stern-Gerlach 实验：测量银原子的磁矩。经典理论的预言是 | | | | −   M M M z ，连续变化，而实 验的结果是： , . 2 z B B e e M M M m =  = (Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。 Uhlenbeck-Goudsmit 假设 (1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值： , 2  Sz =  这又导致电子有自旋磁矩，其投影为 . 2 z z B e e e e M S M m m = − = = (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为 S ˆ  ，自旋磁矩算符记为 Ms ˆ  ，则 . ˆ ˆ S m e M e s   = − 2. 电子自旋的描述 自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。电子自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符 Sx Sy Sz ˆ , ˆ , ˆ 都是 2  2 矩阵。对应到角动量的一般理论，电子自旋属于 j m = =  1/ 2, 1/ 2 的情形。在 S z ˆ 对角的表象中，利用一般公式（见§8.2） 1 , 1 , ( 1)( ) , 2 x j m J j m j m j m + = + + − 1 , 1 , ( 1)( ) , 2 x j m J j m j m j m − = − + + i , 1 , ( 1)( ) , 2 y j m J j m j m j m − + = + + − i , 1 , ( 1)( ) . 2 y j m J j m j m j m − = − + + 可知 Sx Sy Sz ˆ , ˆ , ˆ 的矩阵是： 0 1 0 i 1 0 ˆ ˆ ˆ , , . 2 2 2 1 0 i 0 0 1 x y z S S S       − = = =             − 从 ˆ ˆ , x y S S 还可以产生 ˆ z S 的升级算符（矩阵）和降级算符（矩阵）： 0 1 0 0 i , i . 0 0 1 0 x y x y S S S S S S + −     = + = = − =         引入 Pauli 矩阵 0 1 0 1 0 , , , 1 0 0 0 1 x y z i i          − = = =             − 则可记为 . 2 ˆ     S = Pauli 矩阵的应用极为广泛，读者应该牢记

3. Pauli矩阵的主要性质 Pauli矩阵的主要性质是 (1) Pauli矩阵是 Hermitian矩阵。 (2) 0o=-0o=1EkGk,(1,jk=1,2 其中E是三阶完全反对称单位张量,按分量逐个写出即是 01y=-00x=1o:,0===0:0y=10xO.0x=-0x0:=1o 所以Pa山i矩阵是彼此反对易的。由此不难验证S,,S,,S确实满足角动量算符的普遍对易关系 [S,S]=shEik SK G2=1, 其中Ⅰ是2×2单位矩阵。所以Pau矩阵又是幺正矩阵。以上二式合起来可以写为 0, o=d,+iEkOK 具有这类关系的代数系统称为 Clifford代数。 从上面这些关系出发还可以导出Paui矩阵的其它一些有用的关系,例如 (a·G)(b·G)=a·b+i(a×b)·G, 其中a,b是任何三维矢量(纯数或者算符)。 4.有自旋的电子波函数和算符 显然,S.的对应于本征值±/2的本征矢量分别是: s h B 现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。由叠加原理可知应有 中1(F,D (,1)=甲1(,)a+甲2(F,1)阝=(甲2() 这称为电子的二分量液函数,又称为二分量旋量。它的 Hermitian共轭波函数是 平(,1)=('(,n平2(F 如果里1(F,D)和2(7,D)不是成正比的函数,那么电子处于轨道和自旋的耦合态,或者用另一种术语说, 叫做轨道自由度和自旋自由度的“纠缠态”。 与此同时,现在的算符也成为2×2矩阵算符,其形式为: (GuG,-inV)G2(-ihV G21(,-ihv)G2(7,-ihv) 如果一个力学量实际上与自旋无关,例如电子的动量,那么它在自旋空间中就简单地是一个单位矩阵, 也就是说,它的矩阵算符是 ihv 0 p= 而电子自旋与它的轨道运动是互相独立的运动,所以自旋角动量算符S,S,S是常数矩阵而不包含对 于坐标的任何运算(见前)。与二者都有关的一个例子是“自旋轨道耦合”算符 L.S≡LxSx+LSy+L2S 其中L,,D2是与F,-i有关的算符(参见§82,而S,S,是常数矩阵,把它们代入就得到

2 3．Pauli 矩阵的主要性质 Pauli 矩阵的主要性质是： (1) Pauli 矩阵是 Hermitian 矩阵。 (2) i , ( , , 1, 2, 3, , , ) i j j i ijk k       = − = = = i j k x y z 其中 ijk  是三阶完全反对称单位张量，按分量逐个写出即是 i , i , i .                x y y x z y z z y x z x x z y = − = = − = = − = 所以 Pauli 矩阵是彼此反对易的。由此不难验证 Sx Sy Sz ˆ , ˆ , ˆ 确实满足角动量算符的普遍对易关系 ˆ ˆ ˆ [ , ] i . i j ijk k S S S =  (3) , 2 2 2 I  x = y = z = 其中 I 是 2  2 单位矩阵。所以 Pauli 矩阵又是幺正矩阵。以上二式合起来可以写为 +i .      i j ij ijk k = 具有这类关系的代数系统称为 Clifford 代数。 从上面这些关系出发还可以导出 Pauli 矩阵的其它一些有用的关系，例如 (4) ( )( ) i ( ) , a b a b a b   =  +      ˆ 其中 a b , 是任何三维矢量（纯数或者算符）。 4．有自旋的电子波函数和算符 显然， S z ˆ 的对应于本征值  /2 的本征矢量分别是： 1 for , , 2 0 z S    = +      0 for , . 2 1 z S    = −      现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。由叠加原理可知应有， 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) r t r t r t r t r t       =  +  =      这称为电子的二分量波函数，又称为二分量旋量。它的 Hermitian 共轭波函数是 ( , ) ( ( , ), ( , )) 1 2 r t r t r t +       =   . 如果 1  ( , ) r t 和 2  ( , ) r t 不是成正比的函数，那么电子处于轨道和自旋的耦合态，或者用另一种术语说， 叫做轨道自由度和自旋自由度的“纠缠态”。 与此同时，现在的算符也成为 2  2 矩阵算符，其形式为：         −  −  −  −  = ( , i ) ˆ ( , i ) ˆ ( , i ) ˆ ( , i ) ˆ ˆ 2 1 2 2 1 1 1 2         G r G r G r G r G . 如果一个力学量实际上与自旋无关，例如电子的动量，那么它在自旋空间中就简单地是一个单位矩阵， 也就是说，它的矩阵算符是         −  −  =    0 i i 0 ˆp . 而电子自旋与它的轨道运动是互相独立的运动，所以自旋角动量算符 Sx Sy Sz ˆ , ˆ , ˆ 是常数矩阵而不包含对 于坐标的任何运算（见前）。与二者都有关的一个例子是“自旋-轨道耦合”算符 L S LxSx LySy LzSz ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   + +   , 其中 Lx Ly Lz ˆ , ˆ , ˆ 是与 −   r, i 有关的算符（参见§8.2），而 Sx Sy Sz ˆ , ˆ , ˆ 是常数矩阵，把它们代入就得到

LL.-IL 对于这样的波函数和算符,原先给出的公式需要稍加修正。 (1)波函数的归一化是: ∫平平dF=(甲+2P)dF=1 (2)电子的空间几率密度是: p(F,)=y"甲=|H2+N2 (3)电子的两种自旋状态的几率是: 方 (4)算符的平均值是 G=「yGd3 其中的屮Gφ在一般情况下既包括对坐标函数的运算(例如微分和乘法)又包括矩阵运算 如果电子处于自旋和轨道不耦合(或者说不纠缠)的状态,那么它的波函数就简单地是 H(F,1)=H0(F,D b 其中Y是复函数,满足 ∫No2 而a,b是复常数,满足 aP2+|bP2=1 自然界的电子当然是带有自旋的,但是我们以前不考虑电子自旋也做过许多计算,在实质上,那等 于是假设了电子是处于自旋和轨道不耦合的状态,所以只有0(F,1)需要考虑,而自旋自由度不带来可 观察的影响 作业:习题8.2;83;,84;8.5

3         + − −  = x y z z x y L L L L L L L S ˆ ˆ i ˆ ˆ i ˆ ˆ 2  ˆ  ˆ  . 对于这样的波函数和算符，原先给出的公式需要稍加修正。 (1) 波函数的归一化是： ( ) 3 3 2 2 1 2 d r d r 1. +   =  +  =   (2) 电子的空间几率密度是： 2 2 1 2 ( , ) . r t + =   =  +  (3) 电子的两种自旋状态的几率是： 2 2 3 3 1 2 , . 2 2 W d r W d r         + =  − =        (4) 算符的平均值是： ˆ 3 G G d r. + =    , 其中的   +G ˆ 在一般情况下既包括对坐标函数的运算（例如微分和乘法）又包括矩阵运算。 如果电子处于自旋和轨道不耦合（或者说不纠缠）的状态，那么它的波函数就简单地是 0 ( , ) ( , ) , a r t r t b    =      其中 0 是复函数，满足 2 3 0  = d r 1,  而 a, b 是复常数，满足 2 2 | | | | 1. a b + = 自然界的电子当然是带有自旋的，但是我们以前不考虑电子自旋也做过许多计算，在实质上，那等 于是假设了电子是处于自旋和轨道不耦合的状态，所以只有 0  ( , ) r t 需要考虑，而自旋自由度不带来可 观察的影响。 作业：习题 8.2; 8.3; 8.4; 8.5