*§4.5周期性势场中的能带结构 1. Floquet- Bloch定理 粒子在周期性势场中运动时,它的状态介于東缚态与非束缚态之间,而能谱具有能带式的结构。以 维情况为例,周期性势场指的是 U(x+a)=U(x 其中a是满足此式的最小正数,称为势场的周期,所以粒子的 Hamiltonian 2 在有限的(非无穷小的)平移变换 x→)x+a 下保持不变。这也是一种对称性。虽然它并不导致任何守恒量,但是仍然有非常丰富的物理结果 这里的问题仍然是求解能量本征方程 (E-U(x)y=0 Floquet定理:周期性势场中的波函数y(x)满足条件 其中K是常数,通常选在区间(-z/a,+/a)中(称为第一 Brillouin区)。这种函数可以称为准周期 函数。从直观看来,粒子在周期场中出现的几率也是周期性的,所以v(x+a)=|v(x) Bloch定理:周期性势场中的波函数可以写为如下形式 其中Φk(x)是周期函数 Φx(x+a)=dk( 这种形式的波函数称为 Bloch波。它可以看作是被周期函数Φ(x)调制了的平面波e,所以K被称 为Boch波数。注意,与平面波的波数不同, Bloch波数没有的绝对意义,而且粒子的能量E和K的关 系也不是E=h2K2/2m。 2.能带的形成 周期性势场的最重要的特征就是它的能谱构成能带,而能带兼有离散谱和连续谱的特征。我们用 个例子来说明。 Kronig- Penney模型。这个模型中的周期性势场是方势阱-势垒。在第一个周期(0<x<a)中, 0<x<b U(x Uo(O), b<x<a 其它地方的U(x)按周期性条件外推。能量E选择为0<E<U0。记 2mE 2m(U0-E) h h 那么方程是: kv=0,在阱中 0,在垒中 所以在0<x<a中, 0<x<b Ce"+De- ax 6<x< a 在其它周期内的解可以借助于 Floquet定理得出,例如在a<x<2a中 + B ) a<x<a+b y(x=e y(x-a) a+b<x<2a 然后我们要求和y'在x=b和x=a两点都连续,得到方程组
1 *§4.5 周期性势场中的能带结构 1. Floquet-Bloch 定理 粒子在周期性势场中运动时，它的状态介于束缚态与非束缚态之间，而能谱具有能带式的结构。以 一维情况为例，周期性势场指的是： U(x + a) = U(x), 其中 a 是满足此式的最小正数，称为势场的周期，所以粒子的 Hamiltonian 1 2 ˆ ˆ ( ) 2 H p U x m = + 在有限的（非无穷小的）平移变换 x x a → + 下保持不变。这也是一种对称性。虽然它并不导致任何守恒量，但是仍然有非常丰富的物理结果。 这里的问题仍然是求解能量本征方程 ( ) 2 2 ( ) 0. m + − = E U x Floquet 定理：周期性势场中的波函数 (x) 满足条件 i ( ) e ( ), Ka x a x + = 其中 K 是常数，通常选在区间 (− / a, + / a) 中（称为第一 Brillouin 区）。这种函数可以称为准周期 函数。从直观看来，粒子在周期场中出现的几率也是周期性的，所以 2 2 (x + a) = (x) 。 Bloch 定理：周期性势场中的波函数可以写为如下形式： i ( ) e ( ), Kx K x x = 其中 (x) K 是周期函数： (x a) (x). K + = K 这种形式的波函数称为 Bloch 波。它可以看作是被周期函数 (x) K 调制了的平面波 i e Kx ，所以 K 被称 为 Bloch 波数。注意，与平面波的波数不同，Bloch 波数没有的绝对意义，而且粒子的能量 E 和 K 的关 系也不是 2 2 E K m = / 2 。 2. 能带的形成 周期性势场的最重要的特征就是它的能谱构成能带，而能带兼有离散谱和连续谱的特征。我们用一 个例子来说明。 Kronig-Penney 模型。这个模型中的周期性势场是方势阱-势垒。在第一个周期 (0 x a) 中， = U b x a x b U x ( 0), 0, 0 ( ) 0 其它地方的 U(x) 按周期性条件外推。能量 E 选择为 0 E U0 。记 0 2 2 ( ) , , mE m U E k − = = 那么方程是： 0, 2 + k = 在阱中 0, 2 − = 在垒中 所以在 0 x a 中， i i e e , 0 ( ) e e . kx kx x x A B x b x C D b x a − − + = + 在其它周期内的解可以借助于 Floquet 定理得出，例如在 a x 2a 中， i i ( ) i ( ) i i ( ) ( ) e ( e e ), ( ) e ( ) e ( e e ). 2 Ka k x a k x a Ka Ka x a x a A B a x a b x x a C D a b x a − − − − − − + + = − = + + 然后我们要求 和 在 x = b 和 x = a 两点都连续，得到方程组
-ab Ae+ be=ce+De k kb Be =a(ce ab eAa(A+B)=Ce“+Dea (A-B)=a(ce 这是关于A,B,C,D的线性齐次方程组,要它有非零解,系数行列式必须=0,即 ik ikb -ike-ikb-aeab ae -ab -ea 0, ik eika -ik eiKa 结果得到: cos Ka=cos kb ae 2ka sin kbsinhac. (c=a-b) 由于| cos Ka≤1,所以 -1≤ cos kbcosh ac sin kbsinh ac≤1 这是关于E的不等式,从中可以解出E的允许值范围。 观察势垒趋近于δ函数的极限情形: b→a(c→>0),U0→∞,然而cU→A(常数) 这时的周期性势场被称为“ Dirac梳子”。记 n>0.(均无量 那么方程变成 1≤f(5)≤1, 其中 我们可以用图解法来解这个不等式,即画出=f(5)的曲线,它落在-1≤η≤1之间的部分就对应着5 的允许值 对于A=4的情形,5的允许值区间是(以丌为单位):(068,1)(1462),(232,3)(324,4)…,而 E=h2/2ma2,所以E的允许值区间是(以h2/2ma2为单位):(046,1)(213,4,(538,9),(10.50 16)…。这就是能带结构。E的允许区间通常称为允带(其中按照其被电子填充的情况又可以分为满带 和导带),而不允许区间称为禁带。在E的允许区间内,通过 cos Ka=f(ka)=cos ka+sin ka 又可以反求相应的K值,从而E又成为K的函数E=f(K),这个函数在固体物理中被称为“色散关 系”。 如果周期性势场延续到整个实轴,则能带内的能量是连续变化的。如果它只延续N个周期,那么 能带内的能量是准连续的,一条能带内的能级总数是N。 可以从“平面波的微扰论近似”和“紧東缚近似”两种不同的角度来说明周期性势场形成能带的物 理机理。 现实的三维固体晶格所形成的周期性势场具有更加丰富的平移和旋转对称性,这些对称性是固体物 理学和晶体学研究的重要内容。但是,电子在其中运动的能量形成能带这样一个基本特征,在大多数情 况下没有实质性的变化 能带在解释固体的电学、力学、光学性质方面(例如区分导体、绝缘体、半导体)起着基本的作用
2 i i i i i i e e e e , i ( e e ) ( e e ), e ( ) e e , i e ( ) ( e e ). kb kb b b kb kb b b Ka a a Ka a a A B C D k A B C D A B C D k A B C D − − − − − − + = + − = − + = + − = − 这是关于 A, B,C, D 的线性齐次方程组，要它有非零解，系数行列式必须 = 0 ，即 0 i e i e e e e e e e i e i e e e e e e e i i i i i i i i = − − − − − − − − − − − − − − Ka Ka a a Ka Ka a a kb kb b b kb kb b b k k k k , 结果得到： 2 2 cos cos cosh sin sinh . ( ) 2 k Ka kb c kb c c a b k − = − = − 由于 cosKa 1 ，所以 sin sinh 1. 2 1 cos cosh 2 2 − − − k b c k k k b c 这是关于 E 的不等式，从中可以解出 E 的允许值范围。 观察势垒趋近于 函数的极限情形： b →a (c → 0), , U0 → 然而 cU0 → A (常数), 这时的周期性势场被称为“Dirac 梳子”。记 2 , mAa 2 2 0, mEa = ka (均无量纲) 那么方程变成： −1 f ( ) 1, 其中 ( ) cos sin . f = + 我们可以用图解法来解这个不等式，即画出 = f ( ) 的曲线，它落在−1 1 之间的部分就对应着 的允许值。 对于 = 4 的情形， 的允许值区间是(以 为单位)：(0.68, 1), (1.46, 2), (2.32, 3), (3.24, 4), …，而 2 2 2 E ma = / 2 ，所以 E 的允许值区间是(以 2 2 2 /2ma 为单位)：(0.46, 1), (2.13, 4), (5.38, 9), (10.50, 16),…。这就是能带结构。 E 的允许区间通常称为允带（其中按照其被电子填充的情况又可以分为满带 和导带），而不允许区间称为禁带。在 E 的允许区间内，通过 cos ( ) cos sin k a, k a Ka f k a k a = = + 又可以反求相应的 K 值，从而 E 又成为 K 的函数 E = f (K) ，这个函数在固体物理中被称为“色散关 系”。 如果周期性势场延续到整个实轴，则能带内的能量是连续变化的。如果它只延续 N 个周期，那么 能带内的能量是准连续的，一条能带内的能级总数是 N 。 可以从“平面波的微扰论近似”和“紧束缚近似”两种不同的角度来说明周期性势场形成能带的物 理机理。 现实的三维固体晶格所形成的周期性势场具有更加丰富的平移和旋转对称性，这些对称性是固体物 理学和晶体学研究的重要内容。但是，电子在其中运动的能量形成能带这样一个基本特征，在大多数情 况下没有实质性的变化。 能带在解释固体的电学、力学、光学性质方面（例如区分导体、绝缘体、半导体）起着基本的作用