§94 Zeeman效应 1.带有自旋的电子在电磁场中的 Hamiltonian 实验证明,在外磁场中,原子的能级会发生分裂,结果是原子的特征谱线也发生分裂,这称为 Zeeman 效应。理论的解释是:电子的磁矩和外磁场产生了附加的相互作用能 我们在§61中已经介绍过:在外磁场中运动的电荷的 Hamiltonian是(先不考虑电场) H2H A)2 其中已经代入了电子的q=-e。在原子的范围内,外磁场可以认为是均匀的,所以A=B×P/2,如果 B=Be2,那么A=(-By/2,Bx/2,0),代入得(参见62) 1 eB eB H=2以 Ip2, B0 ty 考虑了电子带自旋以后, Hamiltonian应该修改为 H e 2 回忆公式(见§9.1) a·G)(b·G)=ab+i(a×b)·G, 所以 行=(P+c+(x+x)= (P+eA)2 注意到S=(h/2)G,B=BE以及上面(P+eA)2展开的结果,它又可以写为 B=1p2 B B +2)+Be( x+ 所以与无自旋电子的 Hamiltonian的不同之处只是用L-+2S代替了L。再把电场对电荷的作用以及自 旋-轨道耦合加上去,最后得到 =上p2+ B2e p(r)+ +2S)+5(r)L·S+-(x2+y) 在这里,B的线性项可以做这样的物理解释:我们在§54中证明了-eL/2=ML是电子的轨道磁矩, 在S91中又说明了-eS/=Ms是电子的自旋磁矩,所以实际上 (L2+2S2)=-B(ML+Ms) 2 这正是磁矩与磁场的相互作用能量的经典表达式 2.正常 Zeeman效应 现在我们来估计一下H中增加的那些项的大小。设原子的尺度为a(Bohr半径的量级),那么 其中Φ0=h/e=413567X×105Vs是磁通量子(见62)由于a-10-0m,且通常来说B<10T 所以Ba2/①<10。这样一来在中的B2项就可以略去。再进一步,如果磁场比较强,那么自旋 轨道耦合项相对于磁矩-磁场相互作用项又可以略去,所以我们有 H 3+v(r)+2(2+2S) 2
1 §9.4 Zeeman 效应 1．带有自旋的电子在电磁场中的 Hamiltonian 实验证明，在外磁场中，原子的能级会发生分裂，结果是原子的特征谱线也发生分裂，这称为 Zeeman 效应。理论的解释是：电子的磁矩和外磁场产生了附加的相互作用能。 我们在§6.1 中已经介绍过：在外磁场中运动的电荷的 Hamiltonian 是（先不考虑电场） 1 ˆ 2 ˆ ( ) , 2 H P e A = + 其中已经代入了电子的 q e = − 。在原子的范围内，外磁场可以认为是均匀的，所以 A r = / 2 ，如果 z = e ，那么 A y x = − ( / 2, / 2, 0) ，代入得（参见§6.2） 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ). 2 2 2 2 2 8 x y z z e e e e H P y P x P P L x y = − + + + = + + + 考虑了电子带自旋以后，Hamiltonian 应该修改为 ( ) 2 1 ˆ ˆ ( ) . 2 H P e A = + 回忆公式（见§9.1） ( )( ) i ( ) , a b a b a b = + ˆ 所以 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) i ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ˆ ( ) . 2 2 H P e A e P A A P P e A e A e P e A = + + + = + + = + + 注意到 ( / 2) , z S e = = 以及上面 ˆ 2 ( ) P e A + 展开的结果，它又可以写为 2 2 ˆ 1 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ( 2 ) ( ). 2 2 8 z z e e H P L S x y = + + + + 所以与无自旋电子的 Hamiltonian 的不同之处只是用 ˆ ˆ 2 L S z z + 代替了 ˆ Lz 。再把电场对电荷的作用以及自 旋-轨道耦合加上去，最后得到 2 2 1 ˆ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( 2 ) ( ) ( ). 2 2 8 z z e e H P V r L S r L S x y = + + + + + + 在这里， 的线性项可以做这样的物理解释：我们在§5.4 中证明了 / 2 L − = eL M 是电子的轨道磁矩， 在§9.1 中又说明了 / S − = eS M 是电子的自旋磁矩，所以实际上 ˆ ˆ ( 2 ) ( ). 2 z z L S e L S M M + = − + 这正是磁矩与磁场的相互作用能量的经典表达式。 2．正常 Zeeman 效应 现在我们来估计一下 H ˆ 中增加的那些项的大小。设原子的尺度为 a （Bohr 半径的量级），那么 2 2 0 , ( / ) e A a a P h e 其中 15 0 h e/ 4.135667 10 V s − = = 是磁通量子（见§6.2）。由于 10 a 10 m − ，且通常来说 10 T ， 所以 2 4 0 a / 10− 。这样一来在 H ˆ 中的 2 项就可以略去。再进一步，如果磁场比较强，那么自旋- 轨道耦合项相对于磁矩-磁场相互作用项又可以略去，所以我们有 ˆ 1 ˆ 2 ˆ ˆ ( ) ( 2 ), 2 2 z z e H P V r L S = + + +
因而 Schrodinger方程成为: AI v+v(r)y+ oe 当然,现在的v应该是二分量波函数。 先考虑磁场B=0的情形。这时候守恒量的完备集可以选为{H,D2,L,S},对应的能量本征态用 n,l,m2,m四个量子数来表征,记为mm,能量本征值和n,l都有关,所以我们有以下的4个同时本 征方程 V+v()vim m, =E, L y Ly S: valmy m, =m, hy nimy m 其中l=0,…n-1,m=l…-m、=12,-1/2。我们发现,即使把磁矩-磁场相互作用项添加进来, Vnm,仍然可以使上面的 Schrodinger方程得到满足,其中的能量本征值现在变成 Beh E (m+2m 所以能级发生了分裂和移动。注意到m和m2的取值范围,能级的改变是(以Beh/2为单位) △En=l+1,l,-1,-2,等等,直到-(+1) 单态,单态,双态,双态 但是谱线的分裂没有这么多。应用选择定则(见后) ±1,Am2=0,土1,△m2=0 原来频率为C0的一条谱线现在变成了三条,其频率分别为: B e 这就是实验观察到的正常 Zeeman效应。 *3.反常 Zeeman效应 假如磁场不是很强,那么自旋-轨道耦合就不可忽略,所以 Hamiltonian成为 B=1户 (r)+(L+2S)+(r)L 2 在这种情况下,{,L2,L,S}不再是守恒量完备集,{,D2,一2,}也同样不是。但是如果我们把 重写为 H=--p2+r(r)++5(r)L·S B S-, 2 那么{,L2,J2,元}对于除最后一项以外的部分构成守恒量完备集。所以我们可以这样来分析:当我们 完全忽略磁场的时候,这就是带自旋-轨道耦合的 Hamiltonian,所以它的能谱是带有精细结构的能谱, 能级是En(见§93),简并度是2j+1。加上(Be/21)J这一项以后,能量本征态还是原来的,只不 过能量变成了 Beh 所以原来的能级Em现在分裂成2j+1条,简并度完全被去除。再加上(Be/2p)S这一项,注意到
2 因而 Schrödinger 方程成为： 2 2 ˆ ˆ ( ) ( 2 ) . 2 2 z z e V r L S E − + + + = 当然，现在的 应该是二分量波函数。 先考虑磁场 = 0 的情形。这时候守恒量的完备集可以选为 2 ˆ { , , , } H L L S z z ，对应的能量本征态用 ml ms n,l, , 四个量子数来表征，记为 nlmlms ，能量本征值和 nl , 都有关，所以我们有以下的 4 个同时本 征方程： 2 2 2 2 ( ) , 2 ( 1) , ˆ , ˆ , l s l s l s l s l s l s l s l s nlm m nl nlm m nlm m nlm m z nlm m l nlm m z nlm m s nlm m V r E L l l L m S m − + = = + = = 其中 l = 0, ,n −1; m l, , l; l = − ms =1/ 2, −1/ 2 。我们发现，即使把磁矩-磁场相互作用项添加进来， nlmlms 仍然可以使上面的 Schrödinger 方程得到满足，其中的能量本征值现在变成 ( 2 .) 2 l s nlm m nl l s e E E m m = + + 所以能级发生了分裂和移动。注意到 ml 和 ms 的取值范围，能级的改变是（以 e /2 为单位）： E = l +1, nl l, l −1, l − 2, 等等，直到 − (l + 1) ， 单态, 单态, 双态, 双态, 单态。 但是谱线的分裂没有这么多。应用选择定则（见后） 1, 0, 1, 0, l s = = = l m m 原来频率为 0 的一条谱线现在变成了三条，其频率分别为： 0 0 0 , , . 2 2 e e + − 这就是实验观察到的正常 Zeeman 效应。 *3．反常 Zeeman 效应 假如磁场不是很强，那么自旋-轨道耦合就不可忽略，所以 Hamiltonian 成为 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( 2 ) ( ) . 2 2 z z e H P V r L S r L S = + + + + 在这种情况下， 2 ˆ { , , , } H L L S z z 不再是守恒量完备集， 2 2 ˆ ˆ { , , , } H L J Jz 也同样不是。但是如果我们把 H ˆ 重写为 1 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) , 2 2 2 z z e e H P V r r L S J S = + + + + + 那么 2 2 ˆ ˆ { , , , } H L J Jz 对于除最后一项以外的部分构成守恒量完备集。所以我们可以这样来分析：当我们 完全忽略磁场的时候，这就是带自旋-轨道耦合的 Hamiltonian，所以它的能谱是带有精细结构的能谱， 能级是 Enlj (见§9.3)，简并度是 2 1 j + 。加上 ˆ ( / 2 ) z e J 这一项以后，能量本征态还是原来的，只不 过能量变成了 , 2 j nljm nlj j e E E m = + 所以原来的能级 Enlj 现在分裂成 2 1 j + 条，简并度完全被去除。再加上 ˆ ( / 2 ) z e S 这一项，注意到
h/2j, j=l+(1/2) 1-mh(2+2)j=1-(12)(≠0 所以能级又成为 j=l+(1/2) Bet 2/+2)1=1-(1/2)(≠0) 分裂的条数并没有改变,只是位置又稍微移动了一下。这就是实验上看到的反常 Zeeman效应。 4.自旋电子学 现在我们知道了,电子是既带有电荷又带有自旋的,服从Ferm- Dirac统计的微观粒子。这是量子 力学诞生以后人们对电子的不同于经典物理学的新认识。但是到目前为止,传统的电子学仍然只利用了 电子带有电荷这个性质,而没有利用电子还带有自旋这个性质 传统的电子学以超大规模集成电路为主要的支持硬件。如果我们想继续提高芯片的集成度,在原则 上将面临两大困难。第一,当芯片上的线宽小到可以和电子的 de broglie波长相比的时候,电子的量子 力学效应(波动效应)就不可以忽略了。这时候,集成电路已经不再能够简单地等效为分立(可隔离) 元件构成的网络,而应当看作是一个量子力学系统。这样一来,对它进行分析的方法就要复杂多了。第 二,芯片集成度的提高必然伴随着芯片单位面积上功耗的增加,也就是说芯片散热的问题会变得非常严 重。在利用电子带有电荷这个特点对它进行操控的情况下,这个问题是无法避免的,因为电场力推动电 荷运动的时候一定会做功,而这个功最后就会变成热量。 理论分析和工程实践的结果都表明,在目前的芯片制造的工艺水平上(线宽~0.1pm),前一个问 题还不会产生明显的影响,而后一个问题倒是需要认真对待的。为了解决这个问题,必须有一个基本上 不消耗能量就可以对电子进行操控的办法,而这就是控制电子的自旋。通过控制电子的自旋状态使之携 带、加工和传输信号的方法称为自旋电子学( Spintronics)。在自旋电子学里经常出现的术语是“自旋流 “自旋池”,“自旋输运”,“自旋进动”,“自旋翻转”等等。我们在前面介绍的自旋-轨道耦合效应和 Zeeman效应为自旋电子学的实现提供了物理的基础,因为前者通过电场、后者通过磁场影响电子的自 旋状态。这些效应的最大特点就是基本上不需要付出能量的代价,而这正是我们要追求的目标 自旋电子学是一门新兴的学科,目前仍然处于基础研究的阶段,暂时还谈不上付诸工程实践,但是 它的发展前景是十分远大的。这里我们还想强调一点:量子力学是研究自旋电子学的基本出发点 作业:习题8.11
3 / 2 , (1/ 2) /(2 2), (1/ 2) ( 0) j j z j j m j j l l jm S l jm m j j l l = + = − + = − 所以能级又成为 1 1 , (1/ 2) 2 2 1 1 . (1/ 2) ( 0) 2 2 j j nljm nlj j m j l e j E E m j l l j + = + = + − = − + 分裂的条数并没有改变，只是位置又稍微移动了一下。这就是实验上看到的反常 Zeeman 效应。 4．自旋电子学 现在我们知道了，电子是既带有电荷又带有自旋的，服从 Fermi-Dirac 统计的微观粒子。这是量子 力学诞生以后人们对电子的不同于经典物理学的新认识。但是到目前为止，传统的电子学仍然只利用了 电子带有电荷这个性质，而没有利用电子还带有自旋这个性质。 传统的电子学以超大规模集成电路为主要的支持硬件。如果我们想继续提高芯片的集成度，在原则 上将面临两大困难。第一，当芯片上的线宽小到可以和电子的 de Broglie 波长相比的时候，电子的量子 力学效应（波动效应）就不可以忽略了。这时候，集成电路已经不再能够简单地等效为分立（可隔离） 元件构成的网络，而应当看作是一个量子力学系统。这样一来，对它进行分析的方法就要复杂多了。第 二，芯片集成度的提高必然伴随着芯片单位面积上功耗的增加，也就是说芯片散热的问题会变得非常严 重。在利用电子带有电荷这个特点对它进行操控的情况下，这个问题是无法避免的，因为电场力推动电 荷运动的时候一定会做功，而这个功最后就会变成热量。 理论分析和工程实践的结果都表明，在目前的芯片制造的工艺水平上（线宽 0.1μm ），前一个问 题还不会产生明显的影响，而后一个问题倒是需要认真对待的。为了解决这个问题，必须有一个基本上 不消耗能量就可以对电子进行操控的办法，而这就是控制电子的自旋。通过控制电子的自旋状态使之携 带、加工和传输信号的方法称为自旋电子学 (Spintronics)。在自旋电子学里经常出现的术语是“自旋流”， “自旋池”，“自旋输运”，“自旋进动”，“自旋翻转”等等。我们在前面介绍的自旋-轨道耦合效应和 Zeeman 效应为自旋电子学的实现提供了物理的基础，因为前者通过电场、后者通过磁场影响电子的自 旋状态。这些效应的最大特点就是基本上不需要付出能量的代价，而这正是我们要追求的目标。 自旋电子学是一门新兴的学科，目前仍然处于基础研究的阶段，暂时还谈不上付诸工程实践，但是 它的发展前景是十分远大的。这里我们还想强调一点：量子力学是研究自旋电子学的基本出发点。 作业：习题 8.11