第四章导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法
§4-0引言 1求解导热问题的三种基本方法:(1)理论分析法;(2)数 值计算法;(3)实验法 2三种方法的基本求解过程 (1)所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上,直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分,这样获得的解 称之为分析解,或叫理论解; (2)数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场, 用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程,从而获得离散点上 被求物理量的值;并称之为数值解; 第四章—导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法 2 §4-0 引言 1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上 被求物理量的值；并称之为数值解；
(3)实验法就是在传热学基本理论的指导下,采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法 3三种方法的特点 (1)分析法 a能获得所研究问题的精确解,可以为实验和数值计算 提供比较依据; b局限性很大,对复杂的问题无法求解; c分析解具有普遍性,各种情况的影响清晰可见 第四章—导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法 3 (3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法 3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
(2)数值法:在很大程度上弥补了分析法的缺点,适应性 强,特别对于复杂问题更显其优越性;与实 验法相比成本低 (3)实验法:是传热学的基本研究方法,a适应性不好; b费用昂贵 数值解法:有限差分法( finite-difference) 有限元法( finite-element) 边界元法( boundary-element) 分子动力学模拟(MD) 第四章—导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法 4 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
§4-1导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立 1物 理L建立控制方程及定解条件上确定节点(区域离散化 设立温度场的迭代初值建立节点物理量的代数方程 问题的数值求解过程 匚求解代数方程 改进初场 是否收敛>省 是 解的分析 第四章—导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法 5 §4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立 1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 设立温度场的迭代初值 建立节点物理量的代数方程 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否
2例题条件 二维矩形内 稳态无内热源, 常物性的导热 问题 X 第四章—导热问题的数值解法 6
第四章 导热问题的数值解法 6 0 t y 3 f h t 2 f h t 1 f h t x 二维矩形域内 稳态无内热源， 常物性的导热 问题 2 例题条件
3基本概念:控制容积、网格线、节点、界面线、步长 m,n 二维矩形 城内稳态 无内热源 常物性的 导热问题 y △x 第四章—导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法 7 x y x y n m (m,n) M N 3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长 二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
4建立离散方程的常用方法: (1) Taylor(泰勒)级数展开法; (2)多项式拟合法; (3)控制容积积分法; (4)控制容积平衡法也称为热平衡法) 第四章—导热问题的数值解法 8
第四章 导热问题的数值解法 8 4 建立离散方程的常用方法： (1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
1)泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式,用节点(力的温度t 来表示节点(+1,而温度t+, a2t△x2t△x t+ △x+ m+1,n mn 2! 3! 用节点(,的温度t来表示节点(-1,j)的 温度tx-1 at △x2a △x+n2 3! nmn n.1 第四章—导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法 9 (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的 温度ti-1,j + + + + = + 2! 3! 3 , 3 2 3 , 2 2 , 1, , x x x t x t x x t t t m n m n m n m n m n + − + − = − 2! 3! 3 , 3 2 3 , 2 2 , 1, , x x x t x t x x t t t m n m n m n m n m n
若取上面式右边的前三项,并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分: 02t m+1,n -2t+t m n m-1,n +o(△x2) n.n 同样可得 截断误差 未明确写出的级数余项 021tn4-2m+t+0(小y2)中的4)的最低阶数为2 第四章—导热问题的数值解法 10
第四章 导热问题的数值解法 10 若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： 同样可得： ( ) 2 2 2 1, , 1, , 2 2 o x x t t t x t m n m n m n m n + − + = + − ( ) 2 2 2 , 1 , , 1 , 2 2 o y y t t t y t m n m n m n m n + − + = + − 截断误差 未明确写出的级数余项 中的ΔX的最低阶数为2