§44全同粒子系统波函数的交换对称性 1.多粒子体系的描写 假设我们有N个粒子组成的体系,那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关, 平=平H(q1,q2;…,qN;1),其中的“坐标”q包括了粒子的空间坐标产和其它一些“内部的”量子数(比 如自旋)。体系的 Hamiltonian是(见§1.2) =∑-v2+U(q)+V(q…,qN i=1( 2m 由此即可写下体系的 Schrodinger方程 2.全同粒子的不可区别性 现在假设多粒子体系中的N个粒子是全同粒子 全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。全同粒子体系例如多电子原子中的电 子、固体中的“公用”电子、原子核中的核子等。显然,对于全同粒子体系, Hamiltonian中的m2都相 同,q也都有相同的组成。但是在量子力学中,全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中,即使两个粒子是全同的,它们也仍然是可区别的,因为它们各有自己的轨道。但是 在量子力学中,粒子的状态用波函数描写,当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候,我们无法区 分哪个是“第一个”粒子,哪个是“第二个”粒子。所以在量子理论中有全同粒子不可区别性原理: 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候,这些全同粒子是不可区别的 3.波函数的交换对称性和粒子的统计性 对全同粒子体系的波函数引入交换算符P,它的作用是把第;个粒子和第j个粒子交换位置: PP(…,4,;…,q…1)=平(…,qy…4…1)(≠ 那么全同粒子的不可区别性告诉我们:这样交换以后的状态与原来的状态是不可区分的,所以 P=C甲,(C是常数) PP平=平, 所以, C2=1, 解得: C=+1或者-1, 也就是说 B=+或者-平.(对任何≠ 假如 Pp=+p 则称Y为交换对称波函数:假如 P=-, 则称屮为交换反对称波函数。 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质,因此也是微观粒子的特殊的、 固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。 自旋为整数的粒子,波函数是交换对称的,服从Bose- Einstein统计,称为玻色子( boson)。例如光 子(自旋为1)、介子(自旋为0) 自旋为半整数的粒子,波函数是交换反对称的,服从 Fermi-Dirac统计,称为费米子( fermion)。例 如电子、质子、中子(自旋都是1/2)。 原子核、原子、分子这样的粒子是由质子、中子、电子这些更“基本的”粒子组成的,我们把它们 称为“复合粒子”。如果复合粒子的内部自由度是“冻结”的,我们也可以把它们看做是“基本”粒子。 那么它们是玻色子还是费米子呢?这里的规则是:如果一个复合粒子包含偶数个费米子,那么它是玻色 子:如果它包含奇数个费米子,那么它还是费米子。它所包含的玻色子的数目对此毫无影响。事实上 这正是因为偶数个费米子的总自旋一定是整数,而奇数个费米子的总自旋一定是半整数
1 §4.4 全同粒子系统波函数的交换对称性 1. 多粒子体系的描写 假设我们有 N 个粒子组成的体系，那么体系的波函数应该和所有粒子的坐标以及时间有关， 1 2 ( , , , ; ) N = q q q t ，其中的“坐标” q 包括了粒子的空间坐标 r 和其它一些“内部的”量子数（比 如自旋）。体系的 Hamiltonian 是（见§1.2） 2 2 1 1 ˆ ( ) ( , , ), 2 N i i i N i i H U q V q q = m = − + + 由此即可写下体系的 Schrödinger 方程。 2. 全同粒子的不可区别性 现在假设多粒子体系中的 N 个粒子是全同粒子。 全同粒子就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。全同粒子体系例如多电子原子中的电 子、固体中的“公用”电子、原子核中的核子等。显然，对于全同粒子体系，Hamiltonian 中的 mi 都相 同， i q 也都有相同的组成。但是在量子力学中，全同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然是可区别的，因为它们各有自己的轨道。但是 在量子力学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在空间中发生重叠的时候，我们无法区 分哪个是“第一个”粒子，哪个是“第二个”粒子。所以在量子理论中有全同粒子不可区别性原理： 当一个全同粒子体系中各粒子的波函数有重叠的时候，这些全同粒子是不可区别的。 3. 波函数的交换对称性和粒子的统计性 对全同粒子体系的波函数引入交换算符 Pij ˆ ，它的作用是把第 i 个粒子和第 j 个粒子交换位置： ˆ ( , , , , ; ) ( , , , , ; ), ( ) P q q t q q t i j ij i j j i = 那么全同粒子的不可区别性告诉我们：这样交换以后的状态与原来的状态是不可区分的，所以 ˆ , ( ) P C C ij = 是常数 而 , P ˆ ijP ˆ ij = 所以， 1, 2 C = 解得： C = +1 或者 −1, 也就是说， ˆ . ( ) P i j ij =+ − 或者 对任何 假如 ˆ , Pij =+ 则称 为交换对称波函数；假如 ˆ , Pij =− 则称 为交换反对称波函数。 交换对称性或反对称性是全同粒子体系波函数的特殊的、固有的性质，因此也是微观粒子的特殊的、 固有的性质。它决定了粒子所服从的统计。 自旋为整数的粒子，波函数是交换对称的，服从 Bose-Einstein 统计，称为玻色子（boson）。例如光 子（自旋为 1）、介子（自旋为 0）。 自旋为半整数的粒子，波函数是交换反对称的，服从 Fermi-Dirac 统计，称为费米子（fermion）。例 如电子、质子、中子（自旋都是 1/ 2 ）。 原子核、原子、分子这样的粒子是由质子、中子、电子这些更“基本的”粒子组成的，我们把它们 称为“复合粒子”。如果复合粒子的内部自由度是“冻结”的，我们也可以把它们看做是“基本”粒子。 那么它们是玻色子还是费米子呢？这里的规则是：如果一个复合粒子包含偶数个费米子，那么它是玻色 子；如果它包含奇数个费米子，那么它还是费米子。它所包含的玻色子的数目对此毫无影响。事实上， 这正是因为偶数个费米子的总自旋一定是整数，而奇数个费米子的总自旋一定是半整数
(提问:这个规则从交换对称性的角度来看应该怎么理解?) 对于全同粒子体系,它的 Hamiltonian变成了 =D∑(v2+U(9)+(,…q) 其中的m和U(q)对所有的粒子都是一样的,V(q1…,qA)对所有的粒子也都是交换不变的,所以,只 要在初始时刻波函数具有某种交换对称性,那么在此后的任何时刻它永远保持同样的交换对称性,也就 是说,波函数的交换对称性是与量子力学的基本动力学规律相容的。 4.交换对称或反对称波函数的构成 一般地说,一个全同粒子体系的波函数是解 Schrodinger方程得到的,原始的解未必有确定的交换 对称性。所以我们要对它进行“对称化”或“反对称化”。这里我们只考虑比较简单的情形:无耦合体 系,即体系的总波函数是单个粒子波函数的乘积 y(q12…qN)=v1(q1)…vN(qN) 这称为独立粒子近似。以二粒子体系为例,在独立粒子近似下,波函数是 v1(q2q2)=v(q1)v2(q2) 假设v1和v2是不同的函数,那么对称化的波函数是: vs(q192)=后[(qv2(q2)+1(g2)2(q) 而反对称化的波函数是 A(44)=五g)④小 注意,对于可区别粒子(波函数v1),我们可以说系统的状态是“第一个粒子处于状态v1,第二个粒子 处于状态v2”,但是对于不可区别粒子(波函数vs和vA),我们只能说“有一个粒子处于状态v1 个粒子处于状态v2” 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假如q是粒子的空间坐标,让我们 考虑两个粒子的位置重合(F=F2=F)的几率。对于没有对称化或者反对称化的波函数v1(,),这 个几率是|v1(F)W2(F)P,对于交换对称的波函数vs,),它是2|1(F)v2(F)P,而对于交换反对 称的波函数vA(1五),它是0。所以,空间波函数的对称化使得粒子趋向于互相靠拢,而反对称化使 得粒子之间趋向于互相远离。注意,这完全是统计的规律在起作用,实际上并不存在粒子之间的“实在 的”相互作用,但是它显然也有物理上可观察的效应。 类似的方法可以推广到N个粒子的体系。特别是,N个费米子的反对称化波函数是: v1(q1)v1(q2) V, N) vA(q1,…,qx)= y2(q1)v2(q2) yn(u VN(g2) 这称为 Slater行列式。从这个表达式很容易看出:如果在v1,…,vN当中有任何两个是相同的函数,那 么vA(q1,…,qN)=0。所以我们有 Pau不相容原理:不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中 这是一个纯量子力学的原理。它在统计物理中起着重要的作用,例如解释多电子原子中的电子壳层,固 体中的能带填充,中子星的形成和稳定性,等等。而全同玻色子系统则完全不受这种限制,就是说,可 以有任意多的玻色子处于相同的单粒子态中,这正是Bose- Einstein凝聚现象得以产生的原因。但是一般 地说,N个玻色子的对称化波函数的构成要复杂得多,它强烈地依赖于v1,…,vN当中有多少个是相同 的,关于这一点读者可以通过一些例子来体会。 在自然界的构成中,费米子起着“砖块”的作用,而玻色子起着“粘合剂”的作用,它们一起构建 出了我们所看到的如此丰富多彩的宇宙世界
2 （提问：这个规则从交换对称性的角度来看应该怎么理解？） 对于全同粒子体系，它的 Hamiltonian 变成了 ( ) 2 2 1 1 ˆ ( ) ( , , ), 2 N i i N i H U q V q q m = = − + + 其中的 m 和 U q( ) 对所有的粒子都是一样的， 1 ( , , ) V q qN 对所有的粒子也都是交换不变的，所以，只 要在初始时刻波函数具有某种交换对称性，那么在此后的任何时刻它永远保持同样的交换对称性，也就 是说，波函数的交换对称性是与量子力学的基本动力学规律相容的。 4. 交换对称或反对称波函数的构成 一般地说，一个全同粒子体系的波函数是解 Schrödinger 方程得到的，原始的解未必有确定的交换 对称性。所以我们要对它进行“对称化”或“反对称化”。这里我们只考虑比较简单的情形：无耦合体 系，即体系的总波函数是单个粒子波函数的乘积： ( , , ) ( ) ( ). q1 qN =1 q1 N qN 这称为独立粒子近似。以二粒子体系为例，在独立粒子近似下，波函数是 I 1 2 1 1 2 2 ( , ) ( ) ( ). q q q q = 假设 1 和 2 是不同的函数，那么对称化的波函数是： S 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 q q q q q q = + 而反对称化的波函数是： A 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 q q q q q q = − 注意，对于可区别粒子（波函数 I ），我们可以说系统的状态是“第一个粒子处于状态 1 ，第二个粒子 处于状态 2 ”，但是对于不可区别粒子（波函数 S 和 A ），我们只能说“有一个粒子处于状态 1 ，一 个粒子处于状态 2 ”。 波函数的对称化或者反对称化会对系统的性质产生重要的影响。假如 q 是粒子的空间坐标，让我们 考虑两个粒子的位置重合（ 1 2 r r r = = ）的几率。对于没有对称化或者反对称化的波函数 I 1 2 ( , ) r r ，这 个几率是 2 1 2 | ( ) ( ) | r r ，对于交换对称的波函数 S 1 2 ( , ) r r ，它是 2 1 2 2 | ( ) ( ) | r r ，而对于交换反对 称的波函数 A 1 2 ( , ) r r ，它是 0 。所以，空间波函数的对称化使得粒子趋向于互相靠拢，而反对称化使 得粒子之间趋向于互相远离。注意，这完全是统计的规律在起作用，实际上并不存在粒子之间的“实在 的”相互作用，但是它显然也有物理上可观察的效应。 类似的方法可以推广到 N 个粒子的体系。特别是， N 个费米子的反对称化波函数是： . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( , , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 A 1 N N N N N N N q q q q q q q q q N q q = 这称为 Slater 行列式。从这个表达式很容易看出：如果在 N , , 1 当中有任何两个是相同的函数，那 么 A (q1 , ,qN ) 0 。所以我们有 Pauli 不相容原理：不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中。 这是一个纯量子力学的原理。它在统计物理中起着重要的作用，例如解释多电子原子中的电子壳层，固 体中的能带填充，中子星的形成和稳定性，等等。而全同玻色子系统则完全不受这种限制，就是说，可 以有任意多的玻色子处于相同的单粒子态中，这正是 Bose-Einstein 凝聚现象得以产生的原因。但是一般 地说， N 个玻色子的对称化波函数的构成要复杂得多，它强烈地依赖于 N , , 1 当中有多少个是相同 的，关于这一点读者可以通过一些例子来体会。 在自然界的构成中，费米子起着“砖块”的作用，而玻色子起着“粘合剂”的作用，它们一起构建 出了我们所看到的如此丰富多彩的宇宙世界
作业:习题4243
3 作业：习题 4.2; 4.3