S73Drac符号 不同的量子力学表象所表达的物理内容是完全相同的,但是在表面上看来,不同表象中的量子力学 方程的形式却可能很不一样。为了避免不同表象带来的形式上的差异, Dirac引进了一种与表象无关的 符号体系,以后就被称为Drac符号。它的主要内容如下 量子体系的状态用态矢量代表。态矢量有右矢)和左矢(两种,二者的关系是 y=u, v)=v 这里可以把( Hermitian共轭)看成一种满足某些公理要求的“形式运算”。 对于两个态v)和p),定义(pv)代表一个复数,称为二者的内积,它还满足关系 ((olw))=(vlo 又,假定(注意《v)一定是实数) v)≥0,其中=号只对V)=0成立。 态的归一是 vv)=1 vlv)=l, 两态正交是 (v)=0 算符的头顶上不再打“A”号。算符(例如F)对右矢的作用直接写为Fv),结果仍然是一个右 矢。算符F也可以作用于左矢,写为vF,结果还是一个左矢。任何算符F都有它的 Hermitian共轭 算符,记为F+,定义为 (FVv)=《vF|),Vv)lp 所以,如果 F)=|), 那么 VF*=(ol 算符乘积的 Hermitian共轭满足等式 (FG=GF 如果算符F有性质 F=Ft 那么它就称为 Hermitian算符。显然对于 Hermitian算符有关系 (fLv))=fLoy 所以v|F|v)是实数。 算符的本征方程是 Fv2=alvi 力学量(算符)的平均值公式是 F=vFlv),(如果v)已经归一) 或者 ( y Fv) (如果V)没有归一) 基矢量集{n)(n=12…)的正交归一性可以表为 (m/n)=8mn,(m,n=1, 2,")
1 §7.3 Dirac 符号 不同的量子力学表象所表达的物理内容是完全相同的，但是在表面上看来，不同表象中的量子力学 方程的形式却可能很不一样。为了避免不同表象带来的形式上的差异，Dirac 引进了一种与表象无关的 符号体系，以后就被称为 Dirac 符号。它的主要内容如下。 量子体系的状态用态矢量代表。态矢量有右矢 和左矢 两种，二者的关系是 + + = , = . 这里可以把 + (Hermitian 共轭) 看成一种满足某些公理要求的“形式运算”。 对于两个态 和 ，定义 代表一个复数，称为二者的内积，它还满足关系 ( ) = . 又，假定（注意 一定是实数） 0, 其中 = 号只对 = 0 成立。 态的归一是 =1, 两态正交是 = 0. 算符的头顶上不再打“ ”号。算符（例如 F ）对右矢的作用直接写为 F ，结果仍然是一个右 矢。算符 F 也可以作用于左矢，写为 F ，结果还是一个左矢。任何算符 F 都有它的 Hermitian 共轭 算符，记为 + F ，定义为 ( F F ) , , + = . 所以，如果 F = , 那么 F . + = 算符乘积的 Hermitian 共轭满足等式 ( ) . FG G F + + + = 如果算符 F 有性质 + F = F , 那么它就称为 Hermitian 算符。显然对于 Hermitian 算符有关系 ( F F ) = , 所以 F 是实数。 算符的本征方程是 . F = 力学量（算符）的平均值公式是 F F = , （如果 已经归一） 或者 F F = . （如果 没有归一） 基矢量集 { ( 1, 2, )} n n = 的正交归一性可以表为 m n = , (m,n =1,2, ) m n =1
完备性可以表为 ∑n)(ml=1.(是单位算符) 上式中的某一项 P,=n)( 称为属于态|n)的投影算符。它的主要性质是 P2=P,∑Pn=1 态矢量v)在表象{n)中的分解是 v)=∑Pv)=∑cl,其中cn=(mv) 算符F在表象{m}中的矩阵元是 (m FIn 而算符F本身可以写为 F=∑Fm|m)n 所以,如果取F自己的表象,则有 F=∑fnn)(m 其中{n(n=12…)是F的本征值,{n)(n=L2…)是对应的本征态。 作业:习题76,7.7,7.8
2 而完备性可以表为 . n n n I I = （ 是单位算符） 上式中的某一项 P n n n = 称为属于态 n 的投影算符。它的主要性质是 2 , . n n n n P P P I = = 态矢量 在表象 { n } 中的分解是 , n n n n = = P c n 其中 cn = n . 算符 F 在表象 { n } 中的矩阵元是 F m F n mn = , 而算符 F 本身可以写为 = m n F Fmn m n , . 所以，如果取 F 自己的表象，则有 , n n F f n n = 其中 { ( 1, 2, )} n f n = 是 F 的本征值， { ( 1, 2, )} n n = 是对应的本征态。 作业：习题 7.6; 7.7; 7.8