《量子力学习题》力学量用算符表达

三力学量用算符表达 下列算符中哪些是线性算符: (1)dx2;(2) (4) (5) 下列算符中哪些是厄米算符 (1)ax;(2)dh (3)d (4)dx2 3、如果F和G都是厄米算符,但互不对易,试判断下列算符中哪些是厄米算 符? FG;(2)GF;(3)FG+ (5)i(FG+GF);(6)i(FG-GF);(7)F (8)F-G;(9)“(F+G);(10)(F-G); 4、利用对易关系式x=请和[F(xp=hF(x)式中 试证明 (1)[x,P2F(x)=2F(x) [,P, F(xP]=ih[F(x)P+P, F(x)]; L, F(x)P= 2iF(x)p 加F 5)[Pr, P,F(x)P]=-ihp, F(x)P (6)[2,F(x)2]=-ihF(x)2。 5、如果算符a满足条件aB 求证 aB-Ba=2B aB'-B'a=3B B a=nB 6求[xn=?,[x,i,=?,[x,L]=?,由此推出分别与、立,的 对易关系式 7、求[,L]=?;P,,]=?;[,L1=?,由此推出PP:分别与 的对易关系式

三.力学量用算符表达 1、下列算符中哪些是线性算符： （1） 2 2 2 3 dx d x ；（2） 2；（3）  dx ；（4） ；（5） = h i 1 2、下列算符中哪些是厄米算符： （1） dx d ； （2） dx d i ； （3） 2 2 dx d ； （4） 2 2 dx d i ； （5） ) 1 ( r r i +   −  ； （6） ( ˆ ˆ ) 2 2 x px i p x − x 。 3、如果 F ˆ 和 G ˆ 都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算 符？ （1） F ˆ G ˆ ； （2） G ˆ F ˆ ；（3） F ˆ G ˆ + G ˆ F ˆ ； （4） F ˆ G ˆ −G ˆ F ˆ ； （5） i （ F ˆ G ˆ + G ˆ F ˆ ）； （6） i （ F ˆ G ˆ −G ˆ F ˆ ）； （7） F ˆ G ˆ + ； （8） F ˆ G ˆ − ； （9） ) ˆ ˆ i(F + G ； （10） ) ˆ ˆ i(F − G ； 4、利用对易关系式 [x, p ˆ x ] = i 和 [F(x), p ˆ ] i F (x) x =   式中 dx dF x F x ( ) ( ) 1 = ，试证明： （1） [ , ˆ ( )] 2 ˆ ( ); 2 x p F x i p F x x =  x （2） [x, p ˆ F(x) p ˆ ] i [F(x) p ˆ p ˆ F(x)]; x x =  x + x （3） [ , ( ) ˆ ] 2 ( ) ˆ ; 2 x px x F x p = iF x （4） [ ˆ , ˆ ( )] ˆ ( ); 2 2 p p F x i p F x x x x = −   （5） [ ˆ , ˆ ( ) ˆ ] ˆ ( ) ˆ ; x x x x px p p F x p = −ip F x （6） 2 2 [ ˆ , ( ) ˆ ] ( ) ˆ x x px p F x p = −iF x 。 5、如果算符   ˆ ˆ , 满足条件 1 ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ −  = ，求证： (1)     ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 − = , (2) 3 3 ˆ 2 ˆ 3 ˆ ˆ  ˆ −   =  (3) ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ − − = n n n    n 6、求 ] ? ˆ [x,Lx = ； ] ? ˆ [x, Ly = ； ] ? ˆ [x, Lz = ，由此推出 y,z 分别与 Lx Ly Lz ˆ , ˆ , ˆ 的 对易关系式。 7、求 ] ? ˆ [ p ˆ x ,Lx = ； ] ? ˆ [ p ˆ x , Ly = ； ] ? ˆ [ p ˆ x ,Lz = ，由此推出 py pz ˆ , ˆ 分别与 Lx Ly Lz ˆ , ˆ , ˆ 的对易关系式

8、求[L,]=?;[L,L2]=?由此推出Lx,L:之间的对易关系式。 9、证明[1,]=0,式中i=x,y,=。 x≥0 10、一维运动粒子的状态 x0,求: (1)粒子动量的几率分布函数; (1)粒子的平均动量。 y(x)=(=)2e 维谐振子处在基态 求 U=∠n2x2 (1)势能的平均值2 7=1 (2)动能的平均值 (3)动量的几率分布函数

8、求 ] ? ˆ , ˆ [Lx Ly = ； ] ? ˆ , ˆ [Lx Lz = 由此推出 Lx Ly Lz ˆ , ˆ , ˆ 之间的对易关系式。 9、证明 ] 0 ˆ , ˆ [ 2 Li L = ，式中 i = x, y,z。 10、一维运动粒子的状态     = − 0 ( ) x Axe x   0 0   x x 其中   0 ，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （1）粒子的平均动量。 11、一维谐振子处在基态 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) x x e     − = ，求： （1）势能的平均值 2 2 2 1 U = w x ； （2）动能的平均值 2 2 1 T p  = （3）动量的几率分布函数