《量子力学习题》自旋和角动量耦合

六自旋和角动量耦合 证明:0 2、求在自旋态x()中,和5的测不准关系(△,)2(△s,)=? R21()y1(6,q 3、设氢原子的状态是 2,R21()y0(.9) 求 1)轨道角动量z分量L和自旋角动量分量的平均值; M L-=s (2)总磁矩2的z分量的平均值(用玻尔磁子表示)。 试求在下列各态中轨道角动量z分量L和自旋角动量z分量S的 平均值。 R2i yI 翌R2 roUx R2r (1) Virx (2) (3) SY-1xy- EYo 5、在σ2-σ表象中,求G·后的本征值和本征函数,其中 o n=0, CosoSin8 +o, Sinsing +o cosb 6、已知在-0:表象中,可、可算符的矩阵形式为 (1)试求它们的本征值与本征函数; (2)试写出在a2-02表象中,六算符的矩阵形式及其本征函数的 形式 7、试证明自旋算符的矩阵形式,已知以下的对易关系: [s,5,]=ihs:s,s]=ihs:[s:,3] 8、如果电子处在X()状态,试计算自旋矢量和轴的夹角。 (1)如果对电子的S进行测量,能测到哪些可能值

六.自旋和角动量耦合 1、证明： i  ˆ x ˆ y ˆ z = 。 2、 求 在 自 旋态 ( ) 2 1 z x s 中 ， x s ˆ 和 y s ˆ 的 测 不 准 关系 ( ˆ ) ( ˆ ) ? 2 2 sx  s y = 3、 设 氢 原 子的状 态是             − = ( ) ( , ) 2 3 ( ) ( , ) 2 1 21 10 21 11      R r y R r y 求 ： （ 1） 轨 道 角动量 z 分 量 Lz ˆ 和自旋角 动量 z 分量 z s ˆ 的平均值； （2）总磁矩 s e L e M ˆ ˆ 2  = − 的 z 分量的平均值（用玻尔磁子表示）。 4、试 求在下列 各态中轨道 角动量 z 分量 Lz ˆ 和 自旋角动量 z 分量 z s ˆ 的 平均值。 （ 1） 2 1 2 21 11 1 21 10 2 21 10 3 2 21 11 1 1 2 3 2 1  = − −        − = R y x R y x R y R Y  ; （ 2） 2 11 1 2 2 10 1 3 1 3 2 −  = y x + y x ； （ 3） 2 1 2 3 1 1 1 10 3 2 3 1 − −  = Y x − Y x 。 5 、 在  − z 2 表象中，求 ˆ n ˆ     的 本 征 值 和 本 征 函 数 ， 其 中  ˆ  n ˆ =  ˆ xCosSin + ˆ ySinSin + ˆ zCos   。 6、已知在  − z 2 表象中，  x ˆ 、  y ˆ 算 符 的 矩 阵形 式为         = 1 0 0 1  x ，         − = 0 0 i i  y （ 1） 试 求 它们的本征 值与本征函 数； （ 2）试写出 在  − z 2 表象中，  x ˆ 算 符的矩阵形 式及其本征 函数的 形式。 7、 试 证 明 自旋算 符的矩阵形 式，已知以 下的对易关 系： x y z [s ˆ ,s ˆ ] = is ˆ ； y z x [s ˆ ,s ˆ ] = is ˆ ； z x y [s ˆ ,s ˆ ] = is ˆ 。 8、 如 果 电 子处在 ( ) 2 1 z x s 状 态 ， 试计算自旋 矢量 s  和 z 轴的夹角。 （ 1） 如 果 对电子的 x s 进 行测量，能 测到哪些可 能值？

(2)x(S:)和x-(S:)组成正交归一完全系,因而单电子任一自旋 波函数可以写成它们的线性组合,试写出S的本征值分别为 h h 2和2的本征函数 (3)如果在这些态里进行S的测量,得到各种可能值的几率分别 是多少? 9、试证明:xk(S:)与x-(5)都是的本征函数,而不是S的本征函数 10、一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用,玻色 子只有两个可能的单粒子态,问体系的可能状态有几个?它们的波 函数是怎样由单粒子波函数构成的。 11、证明:x、x、x和x1组成了正交归一系。 12、下列波函数中,哪些是完全对称的,哪些是反对称的? (1)f()g(x()xg(S2); (2)fG)g(x2(S2)x-k(S2)-x-(S1)(S2); (3)U()g(2)-f(2)8(万川x(S2)xx(S2)-xx!(51)x(S2 (4) i2e-a(+2) (5) 13、有一包含有三个粒子的全同粒子体系,每个粒子可处于 va,vb,vc,va四种状态,问若粒子是(1)经典粒子;(2)费米子; (3)玻色子,系统各有多少种状态? 求证 15、设两电子在弹性辏力场中运动,每个电子的势能为: ,如果电子之间的库仑能与l()相比可以忽略,求当 个电子处在基态,另一电子处于沿x方向运动时的第一激发态 时,两电子组成体系的波函数。 16、有两个质量为H,自旋为2的全同粒子,在宽度为a的无限深势 阱中,若略去两粒子间的相互作用,求体系能量本征值和本征函数 并指出最低两能级的简并度 17、若有两个自由电子,具有动量为P和2(1≠p2)不计及坐标部分 及自旋部分的相互作用,试求由这两个自由电子组成的体系能量及 相应的本征函数

（ 2） ( ) 2 1 z x s 和 ( ) 2 1 z x s − 组 成正交归一 完全系，因 而单电子任 一自旋 波函 数可以写成 它们的线性 组合，试 写出 x s ˆ 的本征 值分别为 2  和 ) 2 (  − 的 本 征 函数。 （ 3）如果 在这些态里 进行 x s 的测量 ，得到各种 可能值的几 率分别 是多少？ 9、 试证明： ( ) 2 1 z x s 与 ( ) 2 1 z x s − 都是 2 ˆ x s 的本征函数，而不是 x s ˆ 的本征函数。 10、 一 体系 由三 个全 同的 玻色 子组 成， 玻色子 之间 无相 互作 用， 玻色 子只 有两个可能 的单粒子态 ，问体系 的可能状态 有几个？它 们的波 函 数 是 怎 样由单粒 子波函数构 成的。 11、证明： (1) s x 、 (2) s x 、 (3) s x 和 A x 组 成 了 正交 归一系。 12、 下 列 波 函数中 ，哪些是完 全对称的， 哪些是反对 称的？ （ 1） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 z z f r g r x s x s   ； （ 2） ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 z z z z f r g r x s x s x s x s − − −   ； （ 3） [ ( ) ( ) ( ) ( )][ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 z z z z f r g r f r g r x s x s x s x s − − − −     （ 4） 2 ( ) 12 1 2 r r r e − + ； （ 5） ( ) 1 2 r r e − − 。 13 、 有 一 包 含 有 三 个 粒 子 的 全 同 粒 子 体 系 ， 每 个 粒 子 可 处 于  a  b  c  d , , , 四 种 状态 ，问 若粒 子是 （ 1）经 典粒 子；（ 2）费 米 子； （ 3） 玻 色 子，系 统各有多少 种状态？ 14、求证： 2 (3) 2 (3) ˆ s 2 s s x =  x 。 15、 设 两 电 子在弹 性辏力场中 运动，每个 电子的势能 为： 2 2 2 1 u(r) = w r ，如果电 子之间的库 仑能与 u(r) 相 比可以忽略，求当 一个 电子处在 基态，另 一电子处 于沿 x 方向运动 时的第一 激发态 时 ， 两 电 子组成体 系的波函数 。 16、有两个质量 为  ，自旋为 2 1 的全同粒 子，在宽 度为 a 的无 限深势 阱中 ，若略 去两粒子 间的相互作 用，求 体系能量本 征值和本征 函数， 并 指 出 最 低两能级 的简并度。 17、若有两个自 由电子，具 有动量为 p1  和 ( ) p2 p1 p2     不计及坐 标部分 及自 旋部分的相 互作用，试求由这两 个自由电子 组成的体系 能量及 相 应 的 本 征函数