四中心力场和正常塞曼效应 y(r26,g)= 1、氢原子处在基态 求: (1)r的平均值; U (2)势能 r的平均值 (3)最可几的半径; (4)动能2的平均值 (5)动量的几率分布函数。 2、证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量 3、试证明处于1s,2p,3d态的氢原子的电子在离电子核的距离分别为a0 4a0、9a0的球壳内被发现的几率最大 方向上教L1=的氢原子中的电子在O=45和=135的 4、试证明L= 现的几率最大 5、求算符 F=1女的本征函数 对于一维运动,求算符F=P+x的本征值和本征函数 下列函数哪些是dx2的本征函数? (1)e(2)x,(3) Sinx: (4)Cosx: (5) Cosx+SinX (6)CoSx-Sinx (7) Cos+iSin: (8) Cos-iSinx (2a2x2-1) 维谐振子处在 的状态中,试证明:这 个态是一维谐振子哈密顿算符的本征态,并求其相应的本征值 h 9、体系处在W(O,9)=R(r)Sme的状态中试证明这个态是和L: 的共同本征态,并求出相应的本征值 10、若算符k有属于本征值为A的本征函数ψ,且有k=AB和 AB-B=1,证明:=A和n2=B也是算符的本征函数,对
四.中心力场和正常塞曼效应 1、 氢 原 子 处在基 态 , 1 ( , , ) 0 3 0 a r e a r − = 求 ： （ 1） r 的平均值； （ 2）势能 r e U s 2 = − 的 平 均 值； （ 3） 最 可 几的半 径； （ 4）动能 2 2 2 = − T 的 平 均 值； （ 5） 动 量 的几率 分布函数。 2、 证 明 氢 原 子 中 电 子 运 动 所 产 生 的 电 流 密 度 在 球 极 坐 标 中 的 分 量 = = 0, er e J J 2 sin e nlm r em J = − 。 3、试 证明处于 1s,2p,3d 态 的氢原子 的电子在离 电子核的距 离分别为 a0、 4a0、 9a0 的 球 壳内被 发现的几率 最大。 4、试证明 L = 6， Lz = 的氢原子 中的电子在 o = 45 和 o = 135 的 方 向 上 被 发现的几 率最大。 5、求算符 dx d F ieix ˆ = − 的 本 征 函数？ 6、 对 于 一 维运动 ，求算符 F = p ˆ + x ˆ 的本征值和本征函数 。 7、 下 列 函 数哪些 是 2 2 dx d 的 本 征 函数？ （ 1） x e ； （ 2） 2 x ， （ 3） Sinx；（ 4） Cosx；（ 5）Cosx+SinX， （ 6） Cosx − Sinx （ 7） Cos +iSinx ； （ 8） Cos −iSinx 。 8、一维谐振 子处在 (2 1) 2 ( ) 2 2 2 1 2 2 = − − x e x x 的 状态中 ，试证明 ：这 个 态 是一 维 谐振 子哈 密顿 算 符的 本征 态 ，并 求其 相应 的 本征 值。 ( ) = 。 9、体系处在 3 3 ( , , ) ( ) i r R r Sin e − = 的状 态中，试 证明这个 态是 2 L ˆ 和 Lz ˆ 的 共 同 本 征态，并 求出相应的 本征值。 10、若算符 k 有 属 于 本 征 值 为 的本征函数 ，且有 k ˆ = A ˆ B ˆ 和 1 ˆ ˆ ˆ ˆ AB − BA = ， 证明： u1 = A ˆ 和 u B ˆ 2 = 也是 算符 K ˆ 的本征 函数，对
应的本征值分别为2-1和+1 11、一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是2为 角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下为定态能量及波函 数 (1)平面刚性转子,即转子绕一固定的轴转动; (2)空间刚性转子,即转子绕一固定点转动。 12、一约束在平面上沿一定半径绕z轴(垂直平面)转动的平面子 处于Φ= ACos o态中,试确定在此态中能量及角动量的可能取值 及其相应的几率,并求平均值。 P(x)=ASin-kx+-Coskx 13、设t=0时粒子的状态为 ,求此粒子的平均 动量和平均动能 设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,若其状由波函数 yx Cos2 a描述,求粒子能量的可能取值和相应的几 率及平均值。 15、在由两个相距为a的无限高势壁构成的一维箱中,有一质量为的 粒子处在基态,现突然将这两个势壁对称地扩展到间距a的2倍 问 (1)在扩展后的系统中,粒子处于基态的几率是多少? (2)在扩展过程中,能量守恒吗? 16、线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态 v(x)=1v(x)+{=v2(x)+cv3(x) 式中v(x)表示谐振子第n个定态波函数,求 (1)系数Cs=?; (2)写出t时刻的波函数; (3)t0时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率,并求其平均值。 (4)t=t时刻谐振子能量的可能取值及其相应的几率,并求其平 均值 设氢原子处于状态 v(,.q)=R2()n1(,q)-R2(r)y-(0,0)求氢 原子能量,角动量平方及角动量z分量的可能取值及其相应的几 率,并求这些力学量的平均值 18、设体系处于H(.9)=CH1(O,9)+C20,9)态中,求: (1)力学量L的本征值;
应 的 本 征 值分别为 −1, 和 +1。 11、 一刚 性转 子转动 惯量为 I，它 的能 量的经 典表示 式是 L I L H , 2 2 = 为 角 动 量， 求 与此 对应 的量 子 体系 在下 列 情况 下为 定态 能 量及 波函 数 。 （ 1） 平 面 刚性转子， 即转子绕一 固定的轴转 动； （ 2） 空 间 刚性转 子，即转子 绕一固定点 转动。 12、 一 约束在 平面上 沿一 定半径 绕 z 轴（ 垂直平 面） 转动的 平面 子， 处 于 2 = ACos 态 中，试 确定 在此 态中 能量及 角动 量的 可能 取值 及 其 相 应 的几率， 并求平均值 。 13、设 t = 0 时粒子的 状态为 ] 2 1 ( ) [ 2 x = A Sin kx + Coskx ，求此粒子的 平均 动 量 和 平 均动能。 14、 设 粒 子 在 宽度 为 a 的一维无限深势阱中运动，若其状由波函数 x a x Cos a Sin a x 4 2 ( ) = 描 述，求粒 子能量的 可能取 值和相应 的几 率 及 平 均 值。 15、在由两个 相距为 a 的 无限高势壁 构成的一维 箱中，有 一质量为 的 粒子 处在基态， 现突然将这 两个势壁对 称地扩展 到间距 a 的 2 倍， 问 ： （ 1） 在 扩 展后的系统 中，粒子处 于基态的几 率是多少？ （ 2） 在 扩 展过程中， 能量守恒吗 ？ 16、 线 性 谐 振子在 初始时刻处 于下面归一 化状态： ( ) ( ) 2 1 ( ) 5 1 ( ) 0 2 5 5 x = x + x + c x 式 中 (x) n 表 示谐 振子第 n 个 定态波函数 ，求： （ 1）系数 C5=？ ； （ 2）写出 t 时刻的 波函数； （ 3） t=0 时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值。 （ 4） t=t 时 刻谐振子能 量的可能 取值及其相 应的几率， 并求其平 均值。 17、 设 氢 原子 处 于状 态 ( ) ( , ) 2 3 ( ) ( , ) 2 1 ( , , ) r = R21 r y11 − R21 r y1−1 求氢 原 子能 量， 角动 量平 方及 角动 量 z 分 量的 可能 取值 及其 相应的 几 率 ， 并 求 这些力学 量的平均值 。 18、 设 体 系 处于 ( , ) ( , ) ( , ) H = c1 y11 + c2 y10 态中，求： （ 1）力学量 2 L 的本征值 ；
2)力学量L的可能值和平均值; (3)力学量L和的可能取值。 19、求二维各向同性谐振子的能级,并讨论其简并情况
（ 2）力学量 Lz 的可 能值和平均 值； （ 3）力学量 Lx 和 Ly 的 可能取值。 19、 求 二 维 各向同 性谐振子的 能级，并讨 论其简并情 况