§23R"上的 Lebesgue测度 教学目的本节利用§22中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度, 即欧氏空间R上的 Lebesgue测度. Lebesgue测度的建立,为定义 Lebesgue积 分打下基础 本节要点利用§22一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue测 Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等 Lebesgue可测集包含了常见的一些集 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广,应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue测度理论的理解 在§2.1和§22中讨论了一般测度的性质和构造方法.本节将讨论一个十分重要的情 形,就是n维欧式空间R”上的 Lebesgue测度和 Lebesgue-Stieltjes测度,我们将重点讨论 Lebesgue测度,然后介绍直线上的 Lebesgue-Stieltjes测度 方体的体积我们将要定义的 Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因 此我们先对R”上的方体的体积作一些规定.设Ⅰ是直线上的一个有界区间(I可以是开 的,闭的或半开半闭的)用表示区间的长度,即的右端点与左端点之差若是无 界区间,则规定1=+0.又规定空集也是区间并且=0.设1…是直线上的n个 区间称R的子集=1x…×Ln为R”中的一个方体在直线R和平面R2中,方体分 别就是区间和矩形.若l1…,n都是开区间,则称/为R中的开方体类似可定义R”中 的闭方体和半开半闭方体设/=1x…×n为R”中的一个方体,称1=1…1n为 的体积 环上的测度设C是R"中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.不难证明C 是一个半环(在R的情形是显然的一般情形可以对R”的维数n用数学归纳法证明之 具体过程留作习题)对每个Ⅰ∈C,令 则显然集函数m在C上是有限可加的并且m(⑦)=0.又设界是由C生成的环,即 R={4=∪1:其中12…属于C并且互不相交,k21 (见§13定理4)对每个A∈R,若A的一个分解式为A=Ul,则令59 2.3 n R 上的 Lebesgue 测度 教学目的 本节利用 2.2 中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积 分打下基础. 本节要点 利用 2.2 一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测 度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广. 应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue 测度理论的理解. 在 2.1 和 2.2 中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情 形, 就是 n 维欧式空间 n R 上的 Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们将重点讨论 Lebesgue 测度, 然后介绍直线上的 Lebesgue- Stieltjes 测度. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因 此我们先对 n R 上的方体的体积作一些规定. 设 I 是直线上的一个有界区间( I 可以是开 的, 闭的或半开半闭的). 用 I 表示区间 I 的长度, 即 I 的右端点与左端点之差. 若 I 是无 界区间, 则规定 I = +∞. 又规定空集也是区间并且 ∅ = 0. 设 n I , ,I 1 L 是直线上的 n 个 区间. 称 n R 的子集 n I = I ×L× I 1 为 n R 中的一个方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中, 方体分 别就是区间和矩形. 若 n I , ,I 1 L 都是开区间, 则称 I 为 n R 中的开方体. 类似可定义 n R 中 的闭方体和半开半闭方体. 设 n I = I ×L× I 1 为 n R 中的一个方体, 称 n I = I ⋅L⋅ I 1 为 I 的体积. 环R 上的测度 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C 是一个半环(在 1 R 的情形是显然的. 一般情形可以对 n R 的维数 n 用数学归纳法证明之. 具体过程留作习题). 对每个 I ∈C , 令 m(I) = I . 则显然集函数 m 在C 上是有限可加的并且 m(∅) = 0 . 又设R 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A I I I k k k i R U i 其中 L 属于C 并且互不相交 (见 1.3 定理 4).对每个 A∈ R , 若 A 的一个分解式为 , U 1 ∞ = = i i A I 则令