证法 (用列紧性) 二.实数基本定理应用举例: 例1设f(x)是闭区间[a,b]上的递增函数,但不必连续.如果 Jf(a)≥a ∫()≤b,则3x0∈[a,b],使J(x0)=x (山东大学研究生入学试 证法 (用确界技术.参阅[3]P76例10证法1) 设集合F=(x1f(x)2x,aSx≤b).则a∈F,F不空;Fc [a,b] F有界.由确界原理,F有上确界.设0=即F,则x∈[a,b 下证(x0)=, i)若x0∈F,有f(x)2x0;又(x0)≤(b)≤b,得f(x)∈[a,] 由f(x)递增和f(x 有f((x0)≥f(x0),可见f(x0)∈F.由 F →J(x0)5x0.于是,只能有f(x0)= i)若xEF,则存在F内的数列(x),使xx0,(n→m);也存 在数列 (n),x<≤b,、x0,(x→).由∫递增,xn∈F以及gF,就有 式 x2≤f(x2)≤f(x0)≤f(t2)< 对任何n成立.令n→0,得 x≤f(x0)≤x0, 于是有f(x0)= 证法二(用区间套技术,参阅[B3]P7例10证法2)当f(a)=a证法 二 ( 用列紧性 ). 二. 实数基本定理应用举例： 例 1 设 是闭区间 上的递增函数, 但不必连续 . 如果 , , 则 , 使 . ( 山东大学研究生入学试 题 ) 证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76 例 10 证法 1 ) 设集合 . 则 , 不 空 ; , 有界 . 由确界原理 , 有上确界. 设 , 则 . 下证 . ⅰ） 若 , 有 ; 又 , 得 . 由 递增和 , 有 , 可见 . 由 , . 于是 , 只能有 . ⅱ） 若 , 则存在 内的数列 , 使 ↗ , ; 也存 在数列 , ↘ , . 由 递增, 以及 , 就有 式 对任何 成立 . 令 , 得 于是有 . 证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77 例 10 证法 2 ) 当 或