1、解：设球面方程为x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐标面的内接 长方体在第一卦限内的一个顶点，则长方体的长宽高分别为2x,2y,2z 则问题就是在条件 p(x,z)=x2+y2+z2-a2=0(1)下求函数 V=8xvz (x>0,y>0,z>0)的最大值 作拉格朗日函数 L(x,八，z)=8.xz+(x2+y2+z2-a2) 求其对x,的偏导数，并使之为零，得到 8z+21x=0 8xz+22y=0. 8xy+2九z=0 再与(1)式联立求解：由(2)式得x=y=z 将此代入①式，得x=y=2=2, 4 这是唯一的可能极值点，因为由问题本身可知最大值 一定存在，所以最大值就在这个可能极值点处取得。 即当长方体的长，宽、高都为行时体积最大 最大体积为V= 8V3 -Q. 9 2、解：令P=2xy2+x+2, Q=2x2y-y2+3 则dp =4xy, Cv a2二4g Ox 所以P-g V(x,y)∈R2 dy ax 因而Pdk+Qd是某二元函数u(x,y)的全微分。 Pdx+Ody =(2xy2+x+2)dx+(2x2y-y2+3)dy =dx2y2+x2+2x- y3+3y) 2 3 所以x0=++2x写+y