高等数学II模拟试题4 一、填空题（每空3分，共30分） 1、已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3),则与AB同方向的单位向量= 2如2-4+ 3、设函数z=e”,则当x=1,y=2时全微分血= 号m+)的和为 4、级数1 5、交换二次积分的积分次序：广dfx,)= 6、曲面e-2+y=3在点(2,1,0)处的切平面方程是 7、函数z=x2在点P1,0)处沿从点P1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数为 [x2y2 8、椭圆9+16 1绕x轴旋转一周所得旋转曲面的方程是 z=0 及线用时家式方和示为 10、设L是抛物线y=x2上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧，则 ∫2vd+rd小= 二、解答题（每题6分，共18分） 1、一个平面过两点M1,1,1)和M,(0,1,-1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的 方程。 2、设函数z=z(x,y)是由方程x+y+z+e=1所确定的隐函数，求b。 3、判定级数立nl+的收敛性。 三、计算题（每题8分，共32分） 1k、计算1=小+-少dc,其中D是由直线y=xx=-1利v=1所围成的闭区 域
2、计算正，x6,其中L为由直线y=x及地物线y=x2所围成的区域的整个边 界。 3、计算曲面积分八红+2x+子S,其中∑为平面+5+-1在第一卦限 234 中的部分。 4、计算：川4xzdk-ydkk+zdkd,其中∑是平面x=0,y=0, z=0,x=1,y=1,z=1,所围成的立方体的全表面的外侧。 四、综合题（每题10分，共20分） 1、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体体积。 2、验证(2y2+x+2)d+(2x2y-y2+3)是某二元函数4(x,y)的全微分，并求 出一个这样函数u(x,y)
模拟试题4及参考答案 一、填空题（每空3分，共30分） 4、L c海6+2-4=0：天2 号店1：号 :10、1 二、解答题（每题6分，共18分） 1、解：设所求平面的一个法线向量为n=(A,B,C, 因为M,M=(-1,0,-2)在所求的平面上，它必与n垂直， 所以-A-2C=0, 又因为所求的平面垂直于平面x+y+z=0,所以又有A+B+C=0, 由此可得A=-2C,B=C, 由平面点法式方程可知，所求平面方程为A(x-)+B(y-)+C(z-1)=0,即： -2(x-1)+(y-1)+(2-)=0,化简得：2x-y-z=0 2、解：设F(,y,z)=x+y+z+e2:-1由于 z 所似=2器小
3、解：h(x+月)n→m 之=独) -limn=1 根据极限审敛法，知所给级数收敛 三、计算题（每题8分，共32分） 1、解：显然D={(x,)川x≤y≤1，-1≤x≤1={(x,y)川-1≤x≤八，-1≤y≤1 所以可得：小+-于do=小i+x-可1达=月 fa+r-=上，树-=-子e- 2、解：画图 L4:片=x2(0≤x≤1D,L2:为2=x0sxs1), jd=可+fd =+[]+xi+xT =xW+(2xk+∫x+id =+4x de+Vxd -0an-9-wa-0 3、解：将平面方程转化为：2=4-2x-子· e2a心小=号： D 4.解：由高斯公式得 原武-∬袋器+m-那2+-2加血 -Sdfdyf(2+x-2x2)d-af(2a+ar-d'x)d =d2- 四、综合题（每题10分，共20分）
1、解：设球面方程为x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐标面的内接 长方体在第一卦限内的一个顶点，则长方体的长宽高分别为2x,2y,2z 则问题就是在条件 p(x,z)=x2+y2+z2-a2=0(1)下求函数 V=8xvz (x>0,y>0,z>0)的最大值 作拉格朗日函数 L(x,八，z)=8.xz+(x2+y2+z2-a2) 求其对x,的偏导数，并使之为零，得到 8z+21x=0 8xz+22y=0. 8xy+2九z=0 再与(1)式联立求解：由(2)式得x=y=z 将此代入①式，得x=y=2=2, 4 这是唯一的可能极值点，因为由问题本身可知最大值 一定存在，所以最大值就在这个可能极值点处取得。 即当长方体的长，宽、高都为行时体积最大 最大体积为V= 8V3 -Q. 9 2、解：令P=2xy2+x+2, Q=2x2y-y2+3 则dp =4xy, Cv a2二4g Ox 所以P-g V(x,y)∈R2 dy ax 因而Pdk+Qd是某二元函数u(x,y)的全微分。 Pdx+Ody =(2xy2+x+2)dx+(2x2y-y2+3)dy =dx2y2+x2+2x- y3+3y) 2 3 所以x0=++2x写+y