彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-5-12节次5-6 2008信息管理与信息系统本科 课程名称 高等数学 授课专业及层次 1班 授课内容 对弧长的曲线积分 学时数 2 教学目的 掌握对弧长的曲线积分的定义及性质，会计算方法 重点 对弧长的定义及计算方法 难点 计算方法 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 一元函数微积分、微元素法、平面曲线积分的计算 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 授课内容 第十一章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 导入：变力沿曲线所作的功 5分钟 1,定义：设L为x0y面内一条光滑曲线弧，函数f(x,y)在L上有界，用L上的点 15分钟 M1,M2,.M把L分成n个小段，设第i个小段的长度为△s,又(5,4)第i个 小段上任意取定的一点，做乘积f)A,并作和5，)小△，如界 当各小弧段长度的最大值1→0时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫x,)d还，即 .ym 3、存在条件 5分钟 当f(x,)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分[∫x,y)小存在
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 4.推广：函数f(x,少，)在空间曲线弧Γ对项长的曲线积分[f(x,y,z)d水 5分钟 5分钟 注意：1)∫fx,y)d=「fx,)ds+「fx,y)d. 2)函数f(x,y)在闭曲线弧L上对弧长的曲线积分为dfx,y)d本 .性质(1)[f(x,y)±g(x,y〗=f(x,y)±Lg(x,y) 5分钟 (2)∫对(x)达=k∫f(xy)(k为常数) )fc,d=[fx杰+[fk)d 10分钟 、对弧长的曲线积分的计算方法 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续 ,L的参数 方程为r=0 {=a≤1≤A)其中p0以0作a1 具有一阶连续导数·则 [f(x.y)ds =[fo().v((+y (d,(a<B) 三、应用 例1计算L√s,其中L是抛物线y=x2的上点O(0,0)与B(1,1)一段。5分钟 例2求1=∫gk,L:椭圆F=acos1第1象限 5分钟 y=bsin f. 例3、求1=∫，其中L:y2=4x,从(1,2)到1，-2)一段. 10分钟 例4求=[xyzds其中r:x=acos0,y=asim0,z=k0的一段0≤0≤2m)10分钟 例5、计算半径为R中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量(4=). 10分钟 四、小结 5分钟 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 五、作业CT11- 5分钟 3 3)4)6)7)8)
彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-5-14节次5-6 2008信息管理与信息系统本科 课程名称 高等数学 授课专业及层次 1班 授课内容 对坐标的曲线积分 学时数 2 教学目的 掌握对坐标的曲线积分的定义及性质，会计算方法 重点 对弧长、坐标的曲线积分的定义及计算方法 难点 计算方法、两种曲线积分的关系 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 一元函数微积分、微元素法、平面曲线积分的计算 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 授课内容 第十一章曲线积分与曲面积分 第二节对坐标的曲线积分 、对坐标的曲线积分的概念与性质 导入：变力沿曲线所作的功 5分钟 1定义： 设L为xy面内从点A到点B的一条有向光滑 10分钟 曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界，用L上的 点M,(GM,(x,Mcy.)把L分成 n个有向小弧段M,M,(i=1,2,.,;M。=A,M。=B) 设△x,=x,-x,△y,=y,-y,点（传，n,)为M-M,上 任意取定的点如果当各小弧段长度的最大值1→0时 则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分 类绕义类曲线积分），记作 0m典5gwM 2.存在条件： 5分钟 当P(x,),Q(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，第一类曲线积分存在
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3组合形式： 5分钟 ∫Px,y)k+∫0(xy)d=「P(x,y)+Qx,y)d =[F.ds. 其巾F=Pi+g,k=di+d. 5分钟 4推广： 空间有向曲线弧T∫Pk+Q小+Rd止 5.性质 5分钟 )如果把L分成L和L,则 「Pk+O=「Pk+gd+「Pdk+Od (2)设L是有向曲线弧-L是与L方向相反的有向曲线孤则 [,P(x.y)d+Q(x.y)dy=-[P(x.y)dx+Q(x.y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 二、对坐标的曲线积分的计算方法 15分钟 定理：设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程 为水二当参保到台线到点以u的怎点r 运动到终点B,p(),y)在以a及B为端点的闭区间上具有一阶连续 导数，且p)+y2)≠0，则曲线积分上P(x,y)k+Q(x,y)d存在， 「Px,y)dk+gx,y) =Po(D.v('(n)+ov('(dt 特殊情形 (1)L:y-y(x) (2)L:x=xy) x=0(1) (3)推广「：y=w,起点a,终点p. z=o1)
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 三、两类曲线积分之间的联系 1、关系：设有向平面曲线弧为L: x=0(t) y=w(0 15分钟 L上点(x,y)处的切线向量的方向角为a,B, 则Pk+0d=(Pcosa+QcosB)d函 其中 cosa= o') ,c0s= w') Vo2()+w20 Vp)+y2() 2、应用 例1计算[xvd,其中L为抛物线y2=x上从41，-1)到B1,1)的一段弧. 5分钟 计算[y2k,其巾L为 5分钟 例2)半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周： (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 研究问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不 同？，何时相同？ 例3计算∫2xvdk+xdy,其中L为 5分钟 ①抛物线y=x2上从O0,0)到B1,1的一段弧： (2)抛物线x=y2上从00.0)到B1,1)的一段弧 (③)有向折线OAB,这里O,A,B依次是点(0.0) 5分钟 1.0,0,1). 研究问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果 相同？为什么？有规律吗？ 例4计算[xd+3zy2-x2dk,其中 是从点A(3,2,1) 5分钟 到点B(0,0,0)的直线AB 5分钟 四、小结 1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 5分钟 五、作业CT11-2 23 2) 4) 4 7
教 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-5-19节次5-6 课程名称 高等数学 授课专业及层次 2008信息管理与信息系统本 科1班 授课内容 格林公式及其应用 学时数 2 教学目的 掌握格林公的证明及应用，会求全微分原函数 重点 格林公的证明及应用 难点 曲线积分与路径无关的条件、全微分函数的求法 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 全微分的定义与性质 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 、复习提问 5分钟 1、对弧长的曲线积分 2、对坐标的曲线积分 3、两种曲线积分的关系 习题订正 5分钟 CT10-l33)6) CT10-24 授课内容第十一章曲线积分与曲面积分 第三节格林公式及其应用 一、格林公式 1、 区域及连通的相关概念 5分钟 2、格林公式 15分钟 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，数P(x,y)及Qx,)在D上具有一阶 莲续偏号数则有小会-号=重k+Q呦 其中L是D的取正向的边养曲线， 证明分三步 格林公式的实质：沟通了沿闭曲线的积分二重积分之间的联系 便于记忆形式：1卫=本P+
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3、应用 15分钟 1).简化曲线积分 例1计算∫。xd小，其中曲线B是半径为r的圆在第一象限部分。 2)简化二重积分 例2计算Kdk小其中D是以0(0,0)，A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形 闭区域 3计邦：沙，北中L为一条无重点分段元清且不经过原点 的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向. 3)计算平面面积 A=冰- A=xdy A=f-yds 5分钟 例4、计算抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴所围成的面积. 5分钟 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 1、积分与路径无关 5分钟 2、定理设开区域G是一个单连通域，函数Px).Q(x,)在。内具有一阶 10分钟 连续偏导数，则曲线积分Pk+Q山 在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要 条件是P=g在G内恒成立. 三、二元函数的全微分求积 10分钟 1、设开区域G是一个单连通域，函数Px,以，Qx,)在G内具有一阶连续 偏导数，则Px,y+Q(xy在G内为某一函数，的全微分的充要 条件是等式P.在G内恒成立. 例5验证-心在右半平面(x0)内是某个函数的全微分，并求 出其函数 x2+y2
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例6验证在整个xoy面内，y+x'd是某个函数的全微分，并求5分钟 出其函数 例7设曲线积分「y2d在+yp(x)d小与路径无关，其中。具有连续 的导数，且o(0=0. 计算grc+oxh. 四、小结 10分钟 与路径无关的四个等价命题 在单连通开区域D上P(,y),Q(x,y)具 有连续的一阶偏导数则以下四个命题成 边.在D内(Pk+d与路径无关 (2)4P+Qd=0,闭曲线CcD 价 (③)在D内存在U(,y)使d=Pdk+山 题 呐器器 五、作业 5分钟 CT11-3 2 1) 5 4) 3) 4) 5)
彭 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-5-21节次5-6 2008信息管理与信息系统本 课程名称 高等数学 授课专业及层次 科1班 授课内容 对面积的曲面积分 学时数 2 教学目的 掌程对面积的曲面积分的定义、性质，会计算两种积分。 重点 对面积的曲面积分的定义、性质、计算方法、相互关系 难点 对面积的曲面积分的计算方法、相互关系。 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 二重积分的计算、注意与对弧长的曲线与对坐标的曲线积分进行比较。 教学法 启发式、比较法 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习提问 15分钟 1、对弧长的曲线积分 2、对坐标的曲线积分 3、对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分之间的关系 4、格林公式 器-k+Q 5、二元函数的全微分求积公式 u0=Pk+0w =「P(x,o)k+「Q(x,)w =「(xoy)+「Px,片)k 6、*林*平面上曲线积分与路径无关的条件 7、用格林公式求面积 1-7x-ych A=dxdy A=d-ydx
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 、习题订正 CT11-31) 65 10分钟 授课内容 第十一章曲线积分与曲血积分 第四节 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1、导入 5分钟 2、定义 设曲面Σ是光滑的，函数f(x,片，z)在Σ上有界，把Σ分成n小块AS（As同 时也表示第：小块曲面的面积)，设点（作，）为s上任意取定的点，作15分钟 乘积，.5△S,并作和空，.分， 如果当各小块曲面的直径的 最大值4,时，这和式的极限存在，则称此极限为函数fx，)在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分. 3、对面积的曲面积分的性质 5分钟 若Σ可分为分片光滑的曲面Σ，及Σ，则 f(x.y.a)ds= fg2y2 二、对面积的曲面积分的计算法 1.若曲面2：：=k,xsx化W++d 15分钟 2、应用 15分钟 例1、计算曲线积分了停其中∑是球面+少+：=。被平面 z=h(0<h<a)截出的顶部。 例2、计算曲线积分2+少2+达其它是内接与球面10分钟 x2+y2+z2=a2的八面休。 5分钟 1、 对面积的曲面积分的概念 2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算。 (按照曲面的不同情沉分为三种) 四、作业CT11-4 5分钟 5,6