《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 第十二章无穷级数 §1、常数项级数的概念与性质 一、定义 定义1、设有数列似，，称山+山++，+…=立，为常数项级数，或称为数项级数、数值 级数，，是级数的第n项也称为一般项或通项。 利用已有的级数，构造一个新的数列“部分和数列[Sn},其中S=山，S2=山+山2， S,=4++4,,S。=4+山2+…+4，。；Sn也称为级数∑4.的前n项和，且有 Sn-S1=4。。 定义2、设(S,}是级数∑4。的部分和数列，若极限imS,存在，设其为S即 1imSn=lim(4+4,+…+,)=S 称级数∑，收敛，称极限值S为级数立，的和，也称级数立，妆敛于S:记作 立4，=S:知果mS不存在，称级数∑，发教。 注：①记=三，希：为级载的余项： ②当领数收级时，国为∑4.=5，记：=立4=∑4.-立4=S-5,由此不难得出：级数 ∑4，收铁台im=0: ③级数收敛时，若用部分和作近似计算级数的和，即S≈S,则可用余项估计计算的误差： ④由极限存在的唯一性，收敛级数的和S是唯一的。 11 1 1 因为回8-回0-白-1所以级数数数且和为1，脚纸数批发于1，表立口1。 第1页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 例2、用定义讨论级数了g的敛散性。 :成=1g…9哥 （g≠1)，则 名位 (19≠1) 9=1时级数为：1+1+1++l+,imS。=imn=0,此时级数发散： 9=-1时级数为：1-1+1-…+(-)-+…，则 S=0→0，S=1→l,故mS不存在，此时级数也发散。 上者：名-点 例3、刘院级数好会+++2… 2” 2“ 8=88是号层拉+） m8=@-r= 例4、运明调和纸数是发教级载。 运：（反运法）假谈纸数是投线的，事分和为5，则m5=5:从而回=5，即应 有：lim(Sn-S,)=S-S=0:但 -成>六品0 与假设级数收数矛盾，证得调和级数发教。 n 二、性质 级数收敛或发散是由其部分和数列的极限确定的，因此利用极限运算的有关性质，可以 第2页一共32页 季永安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 推出级数的运算性质。 设：为非家常数，则，与2)网时收效，同时发款：特别在级数状数时，如果 2=5,则2@，)-5： 证：对级数∑4。，部分和为：S,=山+山++，级数上(，)的部分和为： 了，=k+仙，++仙，=+出，+…+u,),所以工=S,故板限im工，与极限imS,同时存在， 或同时不存在，表明级数∑“，与∑(，)同时收敛，同时发散：特别在极限存在时，mS,=S, 则1imT,=kS。 记如长空发显铁古房空号2分铝2， 口法2=5，立=7，则，士)-2，少=5士7收，即收效领数的逢项和的成 的新级数仍然收敛： 的5、判版数空2少的发夜性 3 少，9非写1：故为为收数的线数。 0,数空产上国空等号2，及 13” 3 注：①逆否命题：如果逐项和的新级数发散，原级数中至少有一个发散： ②问题：如果两级数逐项和的新级数收敛，是否两个级数一定都收敛？发散级数的逐项和构 成的新领数是百一交发款？数款空行为发旅，但远项气数为就且旅线到0： 倒6、已知级数∑4，收敛，∑发教，证明级数∑似，+)发教。 证：（反证法）记=以+，假设级数∑=仙，+，)收敛，由于级数，收敛，由性 第3页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 质，级数空心)收数。即习，收丝，矛后：从而结论得证 (3)在级数中增加或减少有限项不改变级数的敛散性；但在收敛时，级数的和数不同的： 中空站是发数，空6色发数的：空约热，“三付色发 (4)在收敛级数上任意加括号构成的级数仍然收敛，且和不变： 注：①逆否命题：若加括号枸成的级数发散，则原级数一定发散： ②加括号构成的级数收敛，原级数不一定收敛： 如∑(-1)”=1-1+1-1+…是发撒的，但(0-1)+0-1)+…=0,1-(1-1)-1-1)-…=1均是 收敛表明级数收敛，但去掉括号后的新级数不一定收敛。 三、级数收敛的必要条件 如果2u发数，且和为5，即m5=5:又=5-5，不难得出即么=0 定理、级数立4，收绕的必要条件是m4,=0。 速：①四叫，=0是级数放级的必要条件，不是充分条件：如版数日调和纸数，虽然有 m,=m。=0,但2却是一个发散的饭数： ②逆否命题：如果有m山，≠0，则∑4，必发教。利用im4,≠0，判断出一些发散的级数。 例7、判断级数卫+牙，立nsin哥的数教性。 解：回=血+有=e0,北级数20+分发教： 4=恤m行-四西-恤兰=0，技经数空sn三发故. 用号号号号-空兮音m.县的片 8 第4页一共32页 事永安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 §2、常数项级数的审敛法 一、正项级数审敛法 级数∑4，(u,20)#为正项纸载，而（≤0）则为负项级数：由于∑y)与y 有相同的敛散性，因此一下只讨论正项级数的敛散性的审敛法。 定理1、正项级数∑”，收敛的充要条件是级数的部分和数列S,)有界。 证：→：由于级数立4，收纹，由定义即板限m5,存在：根据数列极限的性质，载列5，》有 界，即SsM对所有的n成立。 =:已知数列S}有界，因为∑，是正项级数，故S,≤S1,即数列{S}还是单调的，从而 由极限存在准则，mS存在，即级数∑4，收敛。 创1、注明p-复数是在p>1时微数。 所：三是正项板数，只需委运明p>1时，部分中货列S)有界 81时放数。 第5页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 定理2、（比较审效法）设正项级数∑“、∑y,则 (1)若un≤.(n),且∑y.收敛，则∑u。也收敛： 2若，≥(n),且∑y.发教，则∑4，也发教。 证：1)四为立.收敛，由定理1，部分和亿}有解，即T,≤M(n):又因为么，≤对所有 的n都成立，且，的部分和为S,则 Sn=4+4++n≤y+%+…+。=Tn≤M 表明部分和数列S,}有界，从而由定理1，级数∑4枚敛： 注：实际上定理2中的不等式只要从菜个N开始满足即可。 侧2时论p-气数空行的族款性， 解：已如调版款空岩是发教的：由的1可知，当p>时，级数空》放数：故只风右考多p 的情形。当n片根据定理2，当p<1时纸款三》发放，由光得封重 的站货数 例3、利用一级数的敛散性以及比较审敛法，判别下列级数的敛散性。 1 2am+切 n+2 台nn+) 解：分：p=21,所以款站：空行：P1,所以线数空行发： 含0用5n京p1,做板款空行林：根据比较审效法 1 1 11 饭数空+n心 1一也收： 三品品-片p叶，线杂碧，家北发车我击数款 第6页一共32页 惠床安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 例4、月比蚁许审线法制别以下领数的做教性：立女s如子，三血瓜。 新：利周不等式s血x国，1号：有：s如≤子=原，公比为g非0,3,当a>N时，总-水ke,脚1-eN).甲，兰， “行，N),即， <“…立发款，则三，也发教，则三发载，由比酸审铁法，饭数立u 发款，由性质公，发数。 第7页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 例5、讨论级数2sm上与∑l+力)敛教性. :老时m,+小→0以利内f=10之 立m与同数款，回为空引发数，故空如色发散： n 三+宁与宁网数2字：空0+中地数 网6，为泰空。a0)物我 :01时，+7微数 定理3、（化位审线法，达期员尔料别法）设空是正项板数，巴=P, p1（钱血=)时，饭款发教。 证：=会0，由规限的定义：VG>0,3V,m>N时，-pK8,或m>N时。 p-6p6 1们pN时，即 ux<aux,uv<au<au,ux<a'us,... 级数∑auw=山，∑a是公比a<1的等比级数，从而∑auw收敛，根据比较审敛法，饭数 山+山w+3+…收敛，由性质级数∑，收敛。 注：①如果P=1,则比值审敛法失效，可改用定理1或2进行判别： ②用比值审敛法时，必须求出比值的极限P,再根据P进行判别。 第8页一共32页 泰承安
《高等数学》下册教案 第十二章无穷级数 的7节纸空学空品 a+)的线散性。 ，=2"+ 2n° ”-1 n-1 n+n++W+2 timlim (n+D(+1 nnm+D四m-n+2)=5m0-+) 2 1 比值法失效，改用比较法判别： 2”ada8以空，w空品 n-1 n-I 1 故原领数乞刀=1发数。 台n(n+l) 注：错解：1= n2 +万收致。 定理4、（根值审敛法，柯西判别法）设∑4，是正项级数，m=P 1)p1时（或im=∞）时，级数发散。 温：①可以证明，如果血会一小.则达有▣面-1，表明北值法夫黄时不可荐用振位 ②以上的各种判别法，只适用于正项级数，且各自有一定的适用范围，但也有其局限性。可 以进一步建立更为有效的审敛法，此过程可以无休止的进行下去，但判别的过程也将越发 复杂。 二、绝对收敛与条件收敛 定义、设∑“，为任意项级数，如果正项级数∑4，收敛，则称级数∑“，为绝对收敛：如果 正项级数∑山，发散，但级数∑山，本身收敛则称级数∑山。为条件收敛。 第9页一共32页 基永安
《高等数学》下册教案第十二章无穷级数 创带快空学是香他时 解：版款立9是-个任意项纸数，时于正项板款立吗巴1，国为有四5分，两 收载，根据正项纸数的比散审发法，立收益，由定义，战数立吧为绝对收位。 定理5、绝对收敛的级数自身一定收敛，即如果级数∑山，收敛，则级数∑4，一定收敛。 温：将版空，活中-u-化28的中空是三：因 为颜数“，|敢教，故由正项级款的比较审敛法。级数，股教，且∑2枚纸：根据性质 “收敛级数的提项和构成的级数仍然收级”，可知级数∑(2，-u,D收敛，即∑4，收数。 注：①根据定理5，对于绝对收敛的级数，只需要使用正项级数的审敛法即可，从而相当的 一类级数的敛散性的讨论转为正项级数敛散性的讨论。 ②一般如果∑4，发散，推不出级数∑山，一定发散：但是如果∑山，的发散性是用根值法或 比位法骑之的，是时可以山空以发数拉始空，发数：例，因为回->1，所以 交u发数，对ve>0,议，当n>N时，侣p水，中p-ep+e:由于 >1,可以取道当的，使得p-e>.即>p->1,浅以.从百>N时。 利，}单调增加，因此im,≠0，必有im,≠0：根据级数收敛的必要条件∑4，发散。 ③绝对收敛的级数的许多性质是条件收敛的级数所不具备的，如任意调整原级数中项的位置 后的新级数仍然收敛，且和不变：两个绝对收敛的级数的柯西乘积所组成的新级数仍然绝 对收敛，且其和为原来的两个级数的和的乘积。 三、交错级数审敛法 交错级数：4-4+4，-山+…+(-)-4+…=∑(-)-4。，其中4，>0，n: 第10页一共32页 票来安