《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 第七章微分方程 §1、微分方程的基本概念 一.概念 1.引例 (1)一曲钱经过点(L,2),且曲线上任意一点(x,y)处的切线的斜率等于该点的横坐标，试确定此 曲线的方程。 解：由老意及学数的几行意又，有)/=，不章得出y=号+©：又因为南线丝过点@)，即 0=2,可得=4,所由钱方相有：y子4 (2)在真空中，自静止状态自由下落的物体的运动方程（路程函数） 解：自由下落时，物体所受到的外力为F=mg,根据牛顿第二定律：F=ma,有ma=mg, 即a=g:又口密，则空8，或v=+6:又国为会，则密+：从而 =0=+1+6:由条件0=0,0=0，可以璃定G=6=0,所求物体的运动方 程为：s0=28。 2.常微分方程的基本概念 常微分方程：含有未知函数的导数或高阶导数的方程： 方程的“阶”：方程中未知函数导数的最高阶数： 方程的“解”：使方程成为恒等式或满足方程的函效： 方程的“通解”：方程的解中含有与方程的阶数相同个数的任意常数： 方程的“初始条件”：用来确定方程通解中中任意常数的条件： 方程的“特解”：方程通解中中任意常数被确定之后的解： 通解的几何意义：以任意常数为参数的积分曲线族： 线性常微分方程：关于未知函数及其各阶导数均为一次的方程。 如，线性微分方程：y+xy=x:非线性微分方程：y+yy+x=0 §2、一阶微分方程
《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 一价微分方程的-复形式为：FK水门=0：若记y=安， 一阶微分方程又可以写作： 小费=0，共中未知西教为)y= 一.可分离变量的微分方程 中某一价摄分方程P密=0可以成写为：X=0海，对稀F,会=0为可 分离变量的微分方程。 如果y=(x)是方程的解，则X(x)=(x)(x),即 X(x)dx=Y[y(x)ly'(x)d 上式表明，两个函数的微分相等，从而共导数相等：X(x)=(xyx)则共原函数最多相差 一个常数，即：「X(x)-∫Yyxy(x)=c:或∫X(x)k=∫YTy(xy'(x)+c因为不定积 分符号∫中已包含任意常数，故通常写作：∫X()=∫YTyx)y'(x),支∫X(x)d=∫Y(y) 注：求解可分离变量的方法是：分离变量、两边分别积分。 例1.求微分方程y=-y的通解。 解：安，分高变量小=冰，两边积分： ∫小=-∫hly-x+Gyhe=eery=ee 记±e9=c,方程通解为：y=ce"。 :注：事实上，小=-d,积分后得：ny=-x+lnc,y=ee=ce“。 例2。末微分方程虫=+户满足初始条件0)=1的特解。 dx y(1+x) 解：分高度兰：立少血，两效叔分布-小应， In+)=I(+)+Inc In(+y)=In(l+x)+Ine In(l+)=Inc(+) 方程的通解为：(1+y)=c1+x)。初始条件y0)=1,则0+1)=c1+0),c=2,所求特解： 1+y)=21+x)支2x2-y2+1=0 例3.设y=f)(x≥0)连续可微且f0)=1,已知曲线y=f(x)、x轴、x轴上过原点及x
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 点的两条垂线所固成的图形的面积值与曲线y=f(x)的一段孤长相等，求x)。 解：由条件：fx)d=V+x,两边求导得fx)=√+f(x,即y=√+yT, 或y=士√y-1~可分离变量的微分方程 盘本地 积分得：n(y+√y2-1)=士x+c 又y0)=l,则c=0:所求特解为：(y+√y2-1)=±x,或 y+2=e 或y=e+e)=coshx 二.齐次方程 一修提分方程门=0的果可以写作：密伯，时称为来欢方数，如果余用代头： =去则)=m,安+会代入方程：+会，安- 血=“可分高变量的微分方程 fu)-4 例4、家分方程密号的道解。 解：密片水水方程，令：子，少m,盗密带入方程 =1-1+0 arctanu-in(=nx+inc,arctanunnc em“=V+Wxc,e“=cx+2,将w=上代回，得原方程的通解： 例5.求预分方程密+y=2厅满足)0=0的特解。 dx 3
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 密-206-)“可分岛变至的发分方： -=小 1 w=2 d-)=-hx +te 1-:甲原方程的通：0-图= 利用物始条件0-0，可得-1，所本特样为：0-臣-山 三.经过适当的代换可以化为前两类方程的方程 1.若一阶微分方程为少=++上，剥一定可以化为齐次方程： dx ax+b:y+cz (1)当G=C=0时，就是齐次方程： (2若G,C不同时为零，则不是齐次方程。作代换：x=X+h,y=Y+k,只要选取适当的么，k, 就可以使方程(*)变为齐次方程。 例6.求微分方程(x-y-1)+(x+4y-1)d=0的通解。 在4代换：=X+6,少=y6,对 dY_(X+为-(Y+)-1 dy X-Y+h+k-1 成(X+)+4Y+)可 dxX+4Y+h+4k-1 令0：aie0:a17时 品“条次方：贵代换”，会品 会，尝密墙安岩数， arctan2u+(e arctanu+(+ arctan(2)+n(+nc arctan(2+In()=e ann号-护+4门=e甲为原方红的适新 4
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 2.适当的代换转化为可分离变量或齐次方程的方程 例7.求微分方程少。1+1的通解。 dx x-y 相：令：y,则1安会带入方位：1杂，安士恤山，报分得 例®表提分方红安4的的适航 2w-2y 解：来-3，令：11，剥当虫，甲 29-2y 2(x-0 24 ,2加，积分得：-h3-70=n1-ac,hc=h8-）+n1, c=(3-)t,(3-()1=c,32-y2=ct,原方程的通解为： 3x-102-y2=c(x-1) 例9.求微分方程y=y2+2(sinx-0y+sin2x-2sinx-cosx+1的通解。 解：将方程变形为：y=y2+2sinx-1)y+(sinx-1)2-cosx,即 +mex=+2m-y+6m-,去0+my产+2-w+6m- dx 孟0+mx-0=+20mx-p+6m-,即20+m-月=04m- 若余周等换4如1，则方位变形为：会，当-血，积分得：日+0，或 4(x+c)=-1,即(y+sinx+1)x+c)=-1为通解。 5
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 四.一阶线性微分方程 一阶微分方程F(x,y,)=0如果可以写为：y+(x)y=q(x),则称之为一阶线性微分方 程，所谓线性是指方程关于y,y都是一次的。 1.一阶线性齐次微分方程：y+px)y=0~是可分离变量的方程 杂，变a,hy-可whe,-o 是y+p(x)y=0的通解，其中不定积分∫p(x)k只取一个原函数。 2.一阶线性非齐次微分方程：y+p(x)y=q(x) )首先求出相应的线性齐次方程y+pxy=0的通解：y=ceJa恤： 2令c=闭，设y=ce是钱性非齐次方程y+py=q闲的解，则 y=cee恤+cNpe恤，将，y带入方程中，骑定画数c: (ecp()epc(ex) ceeh=q0,2-qor.=9n,女 c)=∫ra在+c:从而钱性非齐次方程y+p(y=9()的通解为： yce de cc 注：①求解一阶线性非齐次微分方程的方法称为常数变易法： ②上述公式中的不定积分均只取一个原函数： ③y=c“线性非齐次方程y+pxy=g)的一个解：Y=cepe咖线 性齐次方程的通解：故线性非齐次方程的通解可以改写为：y=Y+y。 例1.求微分方程cosx--ysinx=2x的通解。 解：方程化为标准方程：y-yanx=2x cosx p)--tanx.)2x c05,则方程的通解为 y=eo可aok+d=e可k+=e可+d 例2.求微分方程xy+y+1=0在y(2)=1时的特解。 6
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 解：将原方短化为标准方程：了=宁钱性非济次方程。其中以()9=宁· y=e可oemk+=e可-子户k+e =e可-e*-可*gh*d 由初抬条件2)=l,1-h?+C,c=2+n2,满足初抬条件的特解为y=-hx+2+n2 2 注：对于方程2y+3y=5,共线性齐次方程2y+3y=0的通解为y=ce:观察可得钱性非 齐次方程2y+3y=5的一个解为y-；,从而可以直接得到线性非齐次方程2y+3y=5的 通期：e+广=子停 例3.求解微分方程yd+(y+1)d=0。 解：是然此方程关于不是钱性的，套排方程流写为：价四=1发价+宁宁 夫于x是我性的，P心0)-子Q0)=立北时未知函数为x=0).利用例 或+x=- y 2的结论可知方程的通解为：X=-ny+C。 y 注：在一阶微分方程中，x和y的地位是对等的，通常视y为未知函数，x为自变量：为求解 方便，有时也视x为未知函数，而y为自变量。求解某些微分方程时，需要特别注意。 例4.设y=e是微分方程y+px)y=x的一个解，求此微分方程满足初始条件的特解。 解：将y=e代入方程xy+p(xy=x,得：xe+p(x)e=x,则p(x)=xe-x:对应的一阶 线性分方程为：y+(xe-x)y=x,即y'+(e-1)y=1,p(x)=e-1,q(x)=1,原方程 的通解为： y=efoq(xela+心y=efr-恤j1erdk+c4 =eedr+c=eeed+c=ee+c=e+ce 由yn2)=0,得0=eln2+ce+m2,即0=2+2ce,c=-e+；所求特解为 y=e-ot.eruy-eu
《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 3.贝努里方程“可化为一阶线性微分方程 y'+p(x)y=q(x)y" (n≠0,1) 注：(1)n=0时，方程为：y+p(x)y=q(x)一阶线性微分方程 2)n=1时，方程为：y'+p(x)y=q(x)y,y'+[p)-g(xy=0可分离变量 当n≠0,1时，y'+p(xy=g(x)y: 广y+p=g),又国为0y=0-yy,即yy=Y,从而方程为： I-n g告+am.k0了0-a0-0国：广e,s变为 z'+1-m)p(x)z=1-n)q(x)“关于z,z'的一阶线性微分方程 y'+p(x)y=9x),z=y-"→2+0-m)p(x)z=0-n)9g可 例5.求微分方程(0y-3x2)+9dk=0的通解。 解：将方红整理为：密子“=1的贝努卫方，1-=2 令=，化为-价报分方程：东-2=-2，风列=兰90到-2y :=eo可orro+e=户-2r片+ =e可-2e+d=y可-2+d=2之y2+=r+g 原方程的通解：x2=y+y。 例6.求微分方程xlnxcosy.y'+xsin2y-simy=0的通解。 y--11 帮：持方程整理为：密}少或： 11 1 sin2y 方板皮为：位共中90古剥 y=e可ueeo+d=e应可宗+d =e“可品k+g=血+d9 例8.设对于空间x>0内任意有向光滑闭曲面工，有乐x)灿t-x)比d-心山=0 8
《高等数学》下册教案第七章常微分方程 其中fx)在(0，+o)内具有一阶连续的导数，且imfx)=l,求fx)。 解：根据高斯公式，有 0=所ft-fx)td-e2zd=±封∬af+f)-fw)-ec2]d 由曲面Σ的任意性，可知：f()+fx)1-x)-e2=0,即 +X-小-兰-0，衣y+-少-”-济线挂微分方程 0上1，因-三，通解为 y=eosa太+=e片可归太+日 =eeh+-写e+-e+d-e+d 即/四-兰g+,由条件厚国=1，即回=鼻产生心1，只有c=1所本 函数为：f)=e-1y
《高等数学》下册教案 第七章常微分方程 六.全微分方程 1,如果一阶微分方程F(x,y,y)=0写为P(x,y)k+Q(x,y)山=0，且存在可微函数u(x,y), 使得=P+Q,则称P(x,y)+Q(x,y)=0为全微分方程，此时方程可以改写为： dM=0,即u=c,或(x,y)=c即为全微分方程P(xy)+Q(x,y)d=0的通解。 判断P(x,y)k+Q(x,y)=0是否为全微分方程，关键在于P+Q是否是某函数的全 微分，即是否有：.P。 例1.求解微分方程：(2x+y)k+(4y+x)d=0。 解：P=2+,Q=+4,得，是1，中婴得1在四平有内处线成立故 dx dy 此方程为全微分方程。 )x,川=∫0(2x+y+(4y+xd=002x++j(4y+x =后2x+4y+x刘=x+2y2+y 所以，方程的通解1=c为：x2+2y2+y=c; 口0P=2x+,g-0=4+,则 u-小Qx+h=++a,东导得：器-0=x+0,地能可得： c'()=4y,故cy)=2y2+c,从而方程的通解：x2+y+2y2+c=0: I3)分项组合凑微分法：方程(2x+y)d+(4y+x)山=0，可以写为：2xk+4y山+0水+xd)=0 2+d2y2)+dy)=0dx2+2y2+y)=0即x2+2y2+y=c 2.积分因子法 P+Q小=0不是全微分方程，若存在一个函数H=H(x,),使HP+4Q小=0为全 微分方程，则称H=(x,y)为一个积分因子。 常用的几个凑积分因子参考公式： )=+d=迹-达 d的=4- y2 10