《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 第三章中值定理与导数的应用 §1、中值定理 一、洛尔定理(Rolle) 定理1、设函数x)满足： (1)闭区间[a,b上连续： (2)开区间(a,b)内可导 (3)端点函数值相等f(a)=fb): 则存在5e(a,b),使得∫'5)=0。 证：f(x)在闭区间[a,b]上连续，设f(x)在闭区间[a,b小上的最大值、最小值分别为M、m。 ①如果M=m,则fx)在闭区间[a,b上恒为常数，即fc)=c,从而f(x)=0,x∈(a,b): ②如果M≠m,则必有M>m,又国为f(a)=f(b),故M、m中至少又一个在开区间(a,b)内 取得。不纺设fx)在开区间(a,b)内取得最大值M,即存在E∈(a,b),使得f(E)=M。以 下证明5即为所求，即必有f()=0。由定义 传)=@=4 x-5 x-5 由于-如0，则出0，及西曲款限的保寺位安理 @4s0 -06)s0,f)20. 已知()存在，应有f()=f()=f'),即"()=0。 注：①olIe定理的几何意义：在满足条件时，曲线y=f(x)上的点(5，f(5)处一定有水平切 线，即斜率k=f()=0 ②Rolle定理的条件是充分的而不是必要的： ③oIIe定理研究的是导函数方程f'(x)=0的根的存在性问题。 1整对于)h血洛尔定理在区哈爱上的三璃性。 :)=smx在区间后爱上连续，在（后爱内可学，且/e)=o, f爱=In sin=-h2 “6 f)=hs血=-h2 6 第1页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 即站点通数值相蒂，满足洛尔定理的条件，故应存在5后爱，传得/⑤=0，甲cm5=0 例2.设函数fx)=(x-1Xx-2x-3x-4),不用计算f"(x),指出导函数方程f(x)=0有几 个实根，各属于什么区间？ 解：x)=(x-1x-2(x-3x-4)是四次多项式，故是∫(x)=0一元三次方程，最多有三个 实根。由f(x)在闭区间几，2]上连续，在开区间1,2)上可导，端点函数值相等f)=f2)=0, 由洛尔定理，存在气∈L,2),使得f(5)=0,即5是导函数方程∫(x)=0的一个实根：同理 可知，方程还有两个根52，三分别属于区间(23)及(3,4)。 例3.证明，方程x3-3x+1=0在区间(0，l)内有唯一的实根。 证：①存在性：设(x)=x3-3x+1,则fx)在闭区间0，上连续，且f0)=1,f@)=-1, 端点函数值异号，根据闭区间上连续函数的性质，存在5∈(0，)，使得f(G)=0。表明方程 f(x)=0在(0,1)内有根5： ②唯一性（反证法）假设方程x)=0在(0,1)内至少有两个实根5,5，即f5)=0,f5,)=0, 不妨设点
《高等数学》上册教案 第三章中值定理与导数的应用 二、拉格朗日中值定理(Lagrange) 定理2、设函数fx)满足： (1)在闭区间[4，b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导： 则存在5e(a,61,使得r代)=f6)-@ b-a 证：构造函数F)=)-⑥O,别F)在闭区间a,上连续，在开区间a,)内可 b-a 导，且 F(d)-f(a)+(b)-(a-b()-a(b)F()(b)+()-f(ab(-a(b b-a b-a b-a b-a 即端点函数值相等F(a)=Fb),F(x)在[a,b上满足洛尔定理的条件，故存在5∈(a,b),使得 FE)=0.又F)=f)-6@,即有 b-a /6)-bl-fa-0即f传)=bl-f@5ea,. b-a b-a 注：①通常称代传份)f6)回为拉格期日中值公式，也可以写作 b-a f(b)-f(a)=f'(Xb-a)f(a)-f(b)=f'(Xa-b) @四为a
《高等数学)上册教案第三章中伯定理与导数的应用 证：设f(x)=arctanx+arccotx,xe（e,+oo),因为 xe(-0o,+o) 由#论可知，f=c,+):取x1,剥c=0=受+程-号，从而证得 例6.证明不等式：na"-(b-a)a,n>1)。 证：设fx)=x“,则在闭区间[a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存 在5∈(a,b),使得fb)-f(a)=f'传b-a),即b-a”=n5-b-a:又a
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 5eo,使释0-r@=96-0:从后本8得得？7 ④Cauchy定理是Lagrange定理的推广，而Rolle定理则是Lagrange定理的特例。国此三个 中值定理的核心是Lagrange定理，要求必须掌握，并能运用定理进行简单的证明。 例8.设函数y=f(x)在x=0的某邻城内具有n阶导数，且 f0)=f"(0)=f"(0)=…=f-(0)=0 试用Cauchy定理证明：f国_(0
《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 (1)imf)=0,imgx)=0; (2)存在x的一个去心邻域N(。,6),在此邻域内，f"(x)、g(x)存在，且g(x)≠0： 包版经但得点幸为： 副=品一得 这：由于四得个在与香与泉利、在点份银海无关，及思阳0， lim g(x)=0,因此不坊设：fx,)=0,g(x)=0: x∈N(,),不坊设x
《高等数学)上册教案第三章中伯定理与导数的应用 ⑨综上所述，洛必塔法则可以用于讨论二及号型的不定气 例3.求极限mamx。(巴型) -+号cot2x。 sec2x 注：①二及型不定式在使用洛必塔法则后，可能相互转化： ②在解题过程中，注意随时化简函数是十分必要的。 例4.表板限m号皿品 解：=号三后三册n生肥后切 e e Y nx"-1 ix” n'x-t 皿6可兰-产肥厂兰--ar严于 n'x" n-x” nx" =--aF=…=-和--2可正n-2w 当x→+o时，e,x",(血x”均趋向于+0。这一结论表明，e→+o的速度最快，x”→+o 次之，(nx→+0速度最慢。 二、其他类型的不定式的极限00,0-0,0°，°及1型 以上各种类型的不定式，均可以转化为”或日型，然后用洛必塔法则求解。 000 1.00型（积的不定式） 例5.求极限1 imnx,（μ>0)。（0o型) 期：gh兰职立r=0 例6.求极限lim eln(arctanx)(0:o型) :具eean-典a生=gm (ey 是典高立典名 -e" 第7页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 宝：四如水0运学u典色m- 威果恩必0中实生四以，不者出，上我不 可取。 2.0-0型（差的不定式) 解：--p）-生身2-+ 4x3 -(）2生 =要妈学生与也一生妈 3x2 上产号 3.0°，0°及1型（暴指函数的不定式） 倒8.求板限m可(0产) 解：令：y=可，则ay6-h e2r-1 四y册句细奈卿细证1 2 所以m向me=e 例9.求叛限m++ta必，（型 n hr=n吧w+c+=归ac++的-hr 第8页一共32页 票安
《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 士1nimG+4++a上血n(化简) n+时+tda+ahai+tdha.) =lna,+lha,+…+lnan=ln(aa,an） +4tr-▣gaaa n 三、使用洛必塔法则应该注意的问题 1。只有行二型本可以考忘使用洛必塔法： 错误的好法：县产-。。 x3+3x2 3x2+6x 2.应多种求极限方法综合使用，并注意随时化简： a亚-9-号 tanx-sin x x2sinx r3 吗o时-c-eo-2o sinx sinx 是=2间--血0-0-号 3x2 3.注感洛必塔法对中的条件3，申并非所有的日二型一定可以用洛必塔法则水保。如 -千m进m+g… 出现指应黄用含方大中血忌产1出化无方大国 +c0s,极限m1-cosx +©0s不存在，但并不能由此得出原极限不存在。 实际上北函数不满足洛必等法时中的条件3。正确的解法是：即温一学1 例10.确定常数a,h,c,使得nx=a+bx-)+c(x-lP+ox-l。 解：由条件，nx=a+b(x-)+cx-+ox-l,故应有： hx-a-(x-)-c(x-1是无穷小(x→1)： lnx-a-b(x-1)-c(x-1}是比x-1高阶的无穷小（x→1)： 第9页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 nx-a-b(x-)-c(x-1是比(x-1高阶的无穷小(x→1)： 根据以上的分析，应有： Clim[lnx-a-b(x-1)-c(x-1)]=0 (1) x-a-M-1)-dks-10 x-1 ha--c-止=08 (x-1 (1)1 im[lnx--a-b(x-)-c(x-1]=0,可得：a=0: 由2，月洛2塔法对：0=四0=---=四上-2-山1-b“6=1: -1 1 由3，月洛必塔法则：0=回0-二业-业=血---业 (x-1 (x-1 2(x-I) 2 §3.泰勒公式(Taylor) 一.泰勒公式 如果函数y=f(x)在x点可微，则△y=A△x+O(△x),即 fx+△)-f)=f(x,)Ar+o(△) 若令x=+△r,则f(x)-f(x)=f'()x-x)+0(x-x),有 f)-fx)≈f'(xx-x)或fx)≈fx)+f'(Kx-x),其误差为高阶无穷小0(x-x):即 用一次多项式p,(x)=fx)+f"(xx-x)近似表示函数，且此多项式在x与函数fx)有相同 的函数值及一阶导数值。其缺点是1)不能够任意地提高精确度：(2)无法估计误差的范围。因 此考虑是否可以用高阶多项式来近似地表示函数，同时解决误差估计的问题。 根据前面的讨论，f(x)-P,x)=fx)-f(x)+f"(x)x-x)=o(x-x) 如果f(x)-P,(x)与(x-x)》子同阶，则 一是-典但912二- (x-x) .孕侧=利 2 第10页一共32页 素衣安