《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 第三章中值定理与导数的应用 §1、中值定理 一、洛尔定理(Rolle) 定理1、设函数x)满足： (1)闭区间[a,b上连续： (2)开区间(a,b)内可导 (3)端点函数值相等f(a)=fb): 则存在5e(a,b),使得∫'5)=0。 证：f(x)在闭区间[a,b]上连续，设f(x)在闭区间[a,b小上的最大值、最小值分别为M、m。 ①如果M=m,则fx)在闭区间[a,b上恒为常数，即fc)=c,从而f(x)=0,x∈(a,b): ②如果M≠m,则必有M>m,又国为f(a)=f(b),故M、m中至少又一个在开区间(a,b)内 取得。不纺设fx)在开区间(a,b)内取得最大值M,即存在E∈(a,b),使得f(E)=M。以 下证明5即为所求，即必有f()=0。由定义 传)=@=4 x-5 x-5 由于-如0，则出0，及西曲款限的保寺位安理 @4s0 -06)s0,f)20. 已知()存在，应有f()=f()=f'),即"()=0。 注：①olIe定理的几何意义：在满足条件时，曲线y=f(x)上的点(5，f(5)处一定有水平切 线，即斜率k=f()=0 ②Rolle定理的条件是充分的而不是必要的： ③oIIe定理研究的是导函数方程f'(x)=0的根的存在性问题。 1整对于)h血洛尔定理在区哈爱上的三璃性。 :)=smx在区间后爱上连续，在（后爱内可学，且/e)=o, f爱=In sin=-h2 “6 f)=hs血=-h2 6 第1页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 即站点通数值相蒂，满足洛尔定理的条件，故应存在5后爱，传得/⑤=0，甲cm5=0 例2.设函数fx)=(x-1Xx-2x-3x-4),不用计算f"(x),指出导函数方程f(x)=0有几 个实根，各属于什么区间？ 解：x)=(x-1x-2(x-3x-4)是四次多项式，故是∫(x)=0一元三次方程，最多有三个 实根。由f(x)在闭区间几，2]上连续，在开区间1,2)上可导，端点函数值相等f)=f2)=0, 由洛尔定理，存在气∈L,2),使得f(5)=0,即5是导函数方程∫(x)=0的一个实根：同理 可知，方程还有两个根52，三分别属于区间(23)及(3,4)。 例3.证明，方程x3-3x+1=0在区间(0，l)内有唯一的实根。 证：①存在性：设(x)=x3-3x+1,则fx)在闭区间0，上连续，且f0)=1,f@)=-1, 端点函数值异号，根据闭区间上连续函数的性质，存在5∈(0，)，使得f(G)=0。表明方程 f(x)=0在(0,1)内有根5： ②唯一性（反证法）假设方程x)=0在(0,1)内至少有两个实根5,5，即f5)=0,f5,)=0, 不妨设点<点，则fx)=x3-3x+1,在闭区间[原，5]c0,1上连续，在开区间（⑤，5）c(0,1)内 可导，端点函数值相等作)=八5)=0，根据洛尔定理，应存在5∈（作，5，）c(0,1,使得 f(5)=0。 但使得f(x)=3x2-3=0的点只有两个：x=1,均不在区间(0,1)内。此矛盾表明，假设 不成立，从而唯一性得证。 例4.若函数fx)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x)=fx)=f(x),其中a<x<x<x<b, 证明至少存在一点5∈(a,b),使得f"(5)=0。 证：fx)在闭区间[x,x]、压，x]上连续，在开区间(x,x)、(x,x)内可导，且端点函数值 相等f)=fx)=f()由洛尔定理，5∈(：，x),5∈(x,x),使得(5)=0且 f(5)=0,其中a<<5<b: 函数f()在闭区间[听，5]上连续，在开区间（⑤，5）内可导，且端点函数值相等： f(5)=f'(5)=0,再由洛尔定理，5e(5,5)c(a,b),使得()=0。 注：有人作出了如下的证明：由条件，fx)在闭区间[x,x]上连续，在开区间(：，x)内可导， 且端点函数值相等fc)=f(x),根据洛尔定理，5e(:,x)c(a,),使得'()=0， 则有"(5)=0。是否正确？？ 第2页一共32页 泰衣安
《高等数学》上册教案 第三章中值定理与导数的应用 二、拉格朗日中值定理(Lagrange) 定理2、设函数fx)满足： (1)在闭区间[4，b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导： 则存在5e(a,61,使得r代)=f6)-@ b-a 证：构造函数F)=)-⑥O,别F)在闭区间a,上连续，在开区间a,)内可 b-a 导，且 F(d)-f(a)+(b)-(a-b()-a(b)F()(b)+()-f(ab(-a(b b-a b-a b-a b-a 即端点函数值相等F(a)=Fb),F(x)在[a,b上满足洛尔定理的条件，故存在5∈(a,b),使得 FE)=0.又F)=f)-6@,即有 b-a /6)-bl-fa-0即f传)=bl-f@5ea,. b-a b-a 注：①通常称代传份)f6)回为拉格期日中值公式，也可以写作 b-a f(b)-f(a)=f'(Xb-a)f(a)-f(b)=f'(Xa-b) @四为a<5<b,0分名1，完0=香日则0<01，且5=a+心-0小比拉格期日 中值公式又可写作：f(b)-fa)=f"(a+b-ab-a,0<8<1: ③令a=,b=x,+△x,则拉格朗日中值公式还可写 f(x。+△r)-f(x)=f'(E△x, 或△y=f'(E)△x f(+Ax)-fx)=f"(+B△x)△r,，或△y=f'(x。+B△xAr 是函数增量△y的精确表达式，有较高的理论价值。在微分学中占有十分重要的理论地位， 因此也称拉格朗日中值定理为微分中值定理。 ④公式中的E或日一般只知其存在性。 推论、若f(x)=0,x∈I,则f)在I上恒等于常数。 证：a,beI,不妨设a<b,则fx)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，由拉 格朗日中值定理，存在5∈(a,b),使得fb)-fa)=f"(b-a),由于f"x)=0,则f"5)=0, 即fb)f(a)=0,或fb)=fa,由于a,beI的任意性，fx)在I上恒等于常数。 例5.证：明+cor=e( 第3页一共32页 泰衣安
《高等数学)上册教案第三章中伯定理与导数的应用 证：设f(x)=arctanx+arccotx,xe（e,+oo),因为 xe(-0o,+o) 由#论可知，f=c,+):取x1,剥c=0=受+程-号，从而证得 例6.证明不等式：na"-(b-a)a,n>1)。 证：设fx)=x“,则在闭区间[a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，存 在5∈(a,b),使得fb)-f(a)=f'传b-a),即b-a”=n5-b-a:又a<5<b,则 a<5-<b,证得：na-(b-a)<b”-a"<nb-b-a)。 例7.设函数f以、gc)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，证明存在5∈(a,b), 使得：f(ag(b)g(afb)=[f(ag'(5)-g(a)f'(5b-a)。 证：构造函数Fx)=f(ag(x)-g(af(x,则由条件F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，由拉格朗日中值定理，存在5e(a,b),使得Fb)-F(a)=F'(传仍-a:因为 F(b)=f(a)g(b)-g(a)f(b)F(a)=0 F'(x)=f(a)g'(x)-g(a)f(x) 代入即可证得：f(ag(b)-g(a)fb)=[Uag'(E)-g(a)f'(sb-a)。 三、柯西中值定理(Cauchy) 定理3、设函数F(x)、x)满足： ①在闭区间[a,b上连续： ②在开区间(a,b)内可导，且F'(x)≠0： 则存在5∈(a,b),使得： 1()-afe F(b)-F(a)F() 注：①因为F(x)≠0，根据拉格朗日中值定理，Fb)-F(a)≠0： 枸造以x为参数的参数方程：闲，此时X为自变量，Y为 票器中文器品瓷·脚然份渴 ③有人这样证明Cauchy中值定理： 因为f(x)在区间[a,]上满足Lagrange定理的条件，故5∈(a,b)，使得 f(b)-f(a)=f'(5b-a):同理F(x)在区间[a,b]上也满足Lagrange定理的条件，故 第4页一共32页 泰衣安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 5eo,使释0-r@=96-0:从后本8得得？7 ④Cauchy定理是Lagrange定理的推广，而Rolle定理则是Lagrange定理的特例。国此三个 中值定理的核心是Lagrange定理，要求必须掌握，并能运用定理进行简单的证明。 例8.设函数y=f(x)在x=0的某邻城内具有n阶导数，且 f0)=f"(0)=f"(0)=…=f-(0)=0 试用Cauchy定理证明：f国_(0<9<1). n! 证：函数fx)、F(x)=x在区间[0，x]内满足Cauchy定理的条件，则5∈(0，x),使得： f-f0.f,即国.组 x-0 函数f(x)、Fx)=mx-在区间[0，]内满足Cauchy定理的条件，35，∈(0,5)，使得： 四09e x”n5nn-1)5- ，” 函数fm-(x)、F()=nlx在区间0,5-]内满足Cauchy定理的条件，则5e(0,5-), 使得：)f@⑤， n!5-0 n! 9學品.9 n n 其中5∈(0,5-)c(0,5)…c(0,)c(0,x),即5=0+x-0)=k,0<6<1,使得： fx=(且-( n！ 7. §2、洛必塔法则(L.Hospital) 本法对是解决骨兰型不定式的板猴的一种有玫的方法。不定式主要包杨：日日（有 的极限)：00（积的极限）：D-0(差的极限)：0°、0°、1（暴指函数的极限）。但应当 注意的是，并排所有日、票型的板限部可以用光法剥计其。 一、及兰型的极限 定理、设函数fx)、g(x)满足： 第5页一共32页 泰衣安
《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 (1)imf)=0,imgx)=0; (2)存在x的一个去心邻域N(。,6),在此邻域内，f"(x)、g(x)存在，且g(x)≠0： 包版经但得点幸为： 副=品一得 这：由于四得个在与香与泉利、在点份银海无关，及思阳0， lim g(x)=0,因此不坊设：fx,)=0,g(x)=0: x∈N(,),不坊设x。<x,则f)、g)满足：在闭区间，x上连续，在开区间(x) 内可导，且g'(x)≠0。由Cauchy定理，存在5e(x,x),使得 fx_-fo)_且 g(x)g(x)-g(xo)g(e) 林，有5，从得一得得供得得 主：如果板限一得仍层是号型的，高数小、F满足定理中对、F因的表水 则可以继续利用洛必塔法则，即有 表明在同一题中可以多次的使用洛必塔法则。 例1.家板限四. n白二=胸ha=nb=ha-hb=hg 1 解：0守-2-习2四0-习网 注：①洛必塔法则可以报广到x→时的”型不定式： ②洛必塔法则可以推广到x→四时的二及8型不定式： 第6页一共32页 素衣安
《高等数学)上册教案第三章中伯定理与导数的应用 ⑨综上所述，洛必塔法则可以用于讨论二及号型的不定气 例3.求极限mamx。(巴型) -+号cot2x。 sec2x 注：①二及型不定式在使用洛必塔法则后，可能相互转化： ②在解题过程中，注意随时化简函数是十分必要的。 例4.表板限m号皿品 解：=号三后三册n生肥后切 e e Y nx"-1 ix” n'x-t 皿6可兰-产肥厂兰--ar严于 n'x" n-x” nx" =--aF=…=-和--2可正n-2w 当x→+o时，e,x",(血x”均趋向于+0。这一结论表明，e→+o的速度最快，x”→+o 次之，(nx→+0速度最慢。 二、其他类型的不定式的极限00,0-0,0°，°及1型 以上各种类型的不定式，均可以转化为”或日型，然后用洛必塔法则求解。 000 1.00型（积的不定式） 例5.求极限1 imnx,（μ>0)。（0o型) 期：gh兰职立r=0 例6.求极限lim eln(arctanx)(0:o型) :具eean-典a生=gm (ey 是典高立典名 -e" 第7页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 宝：四如水0运学u典色m- 威果恩必0中实生四以，不者出，上我不 可取。 2.0-0型（差的不定式) 解：--p）-生身2-+ 4x3 -(）2生 =要妈学生与也一生妈 3x2 上产号 3.0°，0°及1型（暴指函数的不定式） 倒8.求板限m可(0产) 解：令：y=可，则ay6-h e2r-1 四y册句细奈卿细证1 2 所以m向me=e 例9.求叛限m++ta必，（型 n hr=n吧w+c+=归ac++的-hr 第8页一共32页 票安
《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 士1nimG+4++a上血n(化简) n+时+tda+ahai+tdha.) =lna,+lha,+…+lnan=ln(aa,an） +4tr-▣gaaa n 三、使用洛必塔法则应该注意的问题 1。只有行二型本可以考忘使用洛必塔法： 错误的好法：县产-。。 x3+3x2 3x2+6x 2.应多种求极限方法综合使用，并注意随时化简： a亚-9-号 tanx-sin x x2sinx r3 吗o时-c-eo-2o sinx sinx 是=2间--血0-0-号 3x2 3.注感洛必塔法对中的条件3，申并非所有的日二型一定可以用洛必塔法则水保。如 -千m进m+g… 出现指应黄用含方大中血忌产1出化无方大国 +c0s,极限m1-cosx +©0s不存在，但并不能由此得出原极限不存在。 实际上北函数不满足洛必等法时中的条件3。正确的解法是：即温一学1 例10.确定常数a,h,c,使得nx=a+bx-)+c(x-lP+ox-l。 解：由条件，nx=a+b(x-)+cx-+ox-l,故应有： hx-a-(x-)-c(x-1是无穷小(x→1)： lnx-a-b(x-1)-c(x-1}是比x-1高阶的无穷小（x→1)： 第9页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 nx-a-b(x-)-c(x-1是比(x-1高阶的无穷小(x→1)： 根据以上的分析，应有： Clim[lnx-a-b(x-1)-c(x-1)]=0 (1) x-a-M-1)-dks-10 x-1 ha--c-止=08 (x-1 (1)1 im[lnx--a-b(x-)-c(x-1]=0,可得：a=0: 由2，月洛2塔法对：0=四0=---=四上-2-山1-b“6=1: -1 1 由3，月洛必塔法则：0=回0-二业-业=血---业 (x-1 (x-1 2(x-I) 2 §3.泰勒公式(Taylor) 一.泰勒公式 如果函数y=f(x)在x点可微，则△y=A△x+O(△x),即 fx+△)-f)=f(x,)Ar+o(△) 若令x=+△r,则f(x)-f(x)=f'()x-x)+0(x-x),有 f)-fx)≈f'(xx-x)或fx)≈fx)+f'(Kx-x),其误差为高阶无穷小0(x-x):即 用一次多项式p,(x)=fx)+f"(xx-x)近似表示函数，且此多项式在x与函数fx)有相同 的函数值及一阶导数值。其缺点是1)不能够任意地提高精确度：(2)无法估计误差的范围。因 此考虑是否可以用高阶多项式来近似地表示函数，同时解决误差估计的问题。 根据前面的讨论，f(x)-P,x)=fx)-f(x)+f"(x)x-x)=o(x-x) 如果f(x)-P,(x)与(x-x)》子同阶，则 一是-典但912二- (x-x) .孕侧=利 2 第10页一共32页 素衣安