《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及其应用 第九章多元函数微分学及其应用 §1多元函数的基本概念 一、二元函数的概念 1区域（平面区域） (1)邻域圆形邻城：U(P,6)={(x,y)(x-)2+(y-)子)一无界的开区线：=后-F的 1 定义城刚为D=班+y≤一有环的网区瑞：函纸：一厅--可的突义故 则为D={(x,yx2+y2≤a2,y>x2}。 共37页一第1页 基衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 注：①二元函数的定义城是平面上的区城，而二元函数的图像是空间的曲面。如二元函 数z=V口-x-y的图像是上半球面，定义城的是平而区城D:x2+y2≤a2; ②同理可知，三元函数“=f(x,,)的定义城是空间的区域，如函数： =√R2-x2-y2-2的定义城：={x,y,2x2+y2+z2≤R},Ω是空间的球体：一般自变 量为两个支两个以上的函数统称为多元函数。 二、多元函数的极限 定义设二元函数z=化，)在点B(化，)的某邻城内有定义（B可以除外)，A是一确 定的常数。若YE>0,36>0,当邻域内的任意一点P(x,y)满足不等式 0PP=V(x-x)+(0y-y)<8时，均有|fx,y)-AKe,称A为函数z=fx,y)当 (x,y)→(K,)时的二重极限，简称为函数的极限，记作imfx,)=A。 注①根据定义，极限存在与否与函数fx,y)在(x,)的状态无关，只与fx,y)在 B(%)的周固邻域内的状态有关： ②定义中极限存在，是指Px,)以任何方式趋于P心化，)时，函数都无限的接近于A: 即极限值与P→B的方式无关，即极限与路径无关； ③但是如果P(，)以不同的方式趋于P(x,)时，函数趋于不同的值可以断定函数的极 限一定不存在，即如果极限值与路径有关，函数的极限不存在。 ④二元函数极限的四则运算法则、夹逼准则等均与一元函数类似，可以借助于一元函数 求极限的方法求一些简单的二元函数的极限。 1数保归器 器别 例2东斑限之o: 共37页一第2页 惠衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 期o=量-21-2 0 y 例3求极限+m+列- x+2 解+sim6x+)-1~sim(x+yx+y,x+y→0： 巴，僧器- (x+y)2 (x+y)2 到4说用香东心月-于。6化→®时特领限不存在 0 解fx,)的定义域是整个x0y平面，只要说明(x,)→(0,0)的极限与路径有关即可。 让(x,y)沿过(0,0)点的直线y=kx(k≠0)趋向于(0,0)： r.kr k 功平惯+安+，与有关 表明极限值与路径有关，从而1imf(x,)不存在。 J+0 注当x,)沿x轴趋于0,0)时，mfx,0)=im0=0:当（红，）沿y轴趋于0,0)时， mf0,)=m0=0:表明特殊路径的极限存在并不能推出二重极限的存在。 x'y 例5证明极限册罗十-疗不存在， 证明首先考虑经过(0,0)的任一直线y=:（y轴除外)，此时 x2(a mxr+r-可四r产+-=ix+0-=0(kI) 如果k=1,则考虑(x,y)沿y=x趋于(0,0)，此时 男7务1 表明极限与k的取值即与路经有关，从而极限不存在。 注二重极限mf心x)不能写作m{im了(x)小或m{mfx,)小，后两者称为累 共37页一第3页 惠永安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 次极限（二次极限）。 四列-”}-}-0 停明-慢-回-0 但是二重板限mx)并不存在。 注此例表明二次极限与二重极限是两个完全不同的概念，二者没有必然的联系，但是 如果二次极限与二重极限都存在，可以证明极限值一定相等。 （y 例6函数fx,y)={Vx2+y2 x2+y2≠0 ) 0 o特，时0 由夫遥凉，男功=织十0 三。二元函数的连续性 1连续的定义 定义设z=f,川在包含点B(G,)的某郁城内有定义，若极限mfx,)存在且 imf(x,y)=fx,,),则称函数z=fx)在点P(x,)连续，否则称点B(x,,)为函数的 间断点。 注①若z=∫化，)在定义城D内点点连续，则称z=fx,)在D内连续： ②连续的二元函数的图像是无缝隙、无孔的空间曲面： 国二元函数的同断“点”可能是张立的点，也可能是向线，如函数：。一一了，同断 1 点为{x,y)x2+y2=a2} 2.多元初等函数的性质 (1)所有多元初等函数在其定义区城内都是连续的： (2)有界闭区域上的多元连续函数有最大值和最小值定理、介值定理等等。 共37页一第4页 惠衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 练习一求下列二元函数的极限 6+w:a=2:8=j 82y2 0兴 解0回l+g子，：=0+学，a:=0+. 回为ag要+mg2o-0 @白不r4+24+分 x2y2+4-4 y2 e:0器-0品份=o 所以白夫远-0 w号号 「y 习诗论高载K,0在@.0点是连续 0 x2+y2=0 解f(0,0)=0,0< 2r,可o 由夫运准则学》产0=Q0:所以在@0点连埃， 共37页-一第5页 惠衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 落习上江明保码号不余在 生对强负血1以网男子会-}兰一光准与有关 甲上连极限与）→00的8经有关，从而极限吗产二不存在， §2偏导数 一、偏导数与偏微分 1.偏导数与偏微分的定义 定义1设z=f(x,)在()的某邻城内有定义，围定y=,在，点给x以增量△x 称增量△，2=fx+△x,)-f(x,%)为z=f,y)在（化）关于x的偏增量，此时若 =是=画+》 △x 有在，老质雅身：》点0点关于的会子装北分烈大盟 ()或fx) 同理，可以定义z=fx,)在(，)点关于y的偏导数 =化，w)=6)=m+)-f2: △y 注(1)由偏导数的定义不难看出，计算偏导数不需要再引入新的方法，对x求偏导时， 只要将y视为常数即可，故一元函数中的求导法则在此仍然适用： (2)若函数z=fx,)在区城D内点点偏导数存在，称2=f(x,)在区城D内可导，并 例1设函数为z=y,求及la -会，烈6 创2这，小会器 共37页一第6页 惠衣安
《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及其应用 解求时，将x看为常数，则2=”关于y是指数函数，故 年=enr=a 未窑时，#)看为常数。对：=”关于是紧指西数，用对数求导法， =,n:=9n,会0x+,得 a+-r4 的9成，水会等含 解，数会：月等臣警 装列绘容是少月制}片号，运表合，小心现有数上的室天，会 容是一个元整的记学，不镜拆开使同。 定义2若：=c,)的岛导数存在，则将会血为禹数关于x的偏微分：将华办为高数 关于y的分，记作d:血，：等。 2.偏导数的几何意义 以z=c,)在(G)点的偏导数 为例。此时总有x=。考虑在平面x=,上的 尚线:=,》,或L: ∫2=fxoy x=xo r=x。 由导数的几何意义，对于函数z=(x,), 表示交线L上点（化，，二）处相对于y轴方向的斜线的斜率： 心表示在交钱儿工》上化，，2)处相对于x轴方向的针线的斜率： 同理， y=% 共37页-一第7页 惠衣安
《高等数学》下用教案 第九章多元函数微分法及其应用 例4求尚线=+ 4在点(2,4,5)处的切钱对于x轴的倾角。 y=4 解g告，n-克0利-hm0=1年0= 3.偏导数与函数连续的关系 在一元函数中，有“可导必然连续”。在多元函数中偏导数与函数连续之间有什么关系呢？ XV 例5已知函数f(x,)=x2+y2 0 :8aa0的克不有在做从5在a0不 连续。考察偏导数：f(0,0)、(0,0)。 00==0+a2/00-八9-▣花-m0-0 △x m00+g0-四2-÷-0-0 0,0)、∫0,0)不仅存在而且还相等，但仍然无法保证函数在(0,0)的连续性。表明在 多元函数中由偏导数存在推不出函数的连续。 二.高阶偏导数 设=f(x,y)的两个一阶偏导数，均存在，则它们仍然是x,y的函数，可以对这 样的函数定义其偏导数，即为函数z=x,y)的二阶偏导数。二元函数z=f(x,)的二阶偏导 数共有四个： 器德-=器-食-公 二阶混合偏导数 共中，票-四+匹》，总 Ar ,需--匹+- Ay 将二阶偏导数视为函数，再定义偏导数即为三阶偏导数，二元函数z=f(x,y)的三 阶给导数有8个，中得、那…二元西软=的隆份导款有工个 对于三元函数=fx,y2),n阶偏导数有3个，… 共37页一第8页 安
《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及其应用 又双小带三合牛需器统利需-器脚要合丝米发连袋时，与 求偏导的顺序无关（此结论可以推广到阶混合偏导数）。 水a器群a器 0z11 -2y .2+ x2-y2 +r时+ 例7.设f(x,y,z)=y2+z2+2x2，求f(1,0,2)、f0,l-l)及f11,-)。 解：f(x,八z)=y2+22x，∫x,八2)=2z,f(x,y2)=2y,fn(x,y2)=0 所以f(1,0,2)=4,f(0,1-1)=2,f(1,1-1)=0。 §3、全微分 定义、设函数z=f(x,y)在点(，)的某邹城内有定义，给自变量x,y分别以增量△x,△y,称 改变量△=f(x+△x,+△y)-f(x,y)为函数z=f(x,)在点(%)的全增量，若全 增量△可以表示为 A:=AAr+BAy+o(p)(p=(Ar)+(Av)) 其中A,B与△x,△y无关，仅与x以，有关，o(P)是比p高阶的无穷小，则称函数 z=fx,)在点(x)可微，并称A△+BAy为z=fx,y)在点()的全微分，记作 d=(AAx+BAY 注：①因为x,y是自变量，故△x=d，4y=，故函数在(x,y)的全微分 (+BAy)(Ad+y) ②若函数z=f(x,y)在区域D内点点可微，则全微分通常写作 db=A△r+BAy=Ak+B 定理1、设z=f(x)在点(x,)可微，则在，点(x）其偏导数一定存在，且 证：z=f(x,y)在点(K)可微，由定义，对于自变量的任意增量△x,△y。总有： 共37页一第9页 事京安
《高等数学》下用教案第九章多元函数微分法及其应用 △z=f(x,+△x,+Ay)-f(x,)=A△r+BAy+o(p) 特别当Ay=0时，有：△上=fx+△x,)-fx,%)=AAr+o(p)（p△x),即 △，2=f(x+△，)-f(x)=AAx+o0△xD 烈=- 盖：①二元高载的全提分止-密+容的老两个信预分的金加，即全摄分又可以写作： d=d,z+d,:称为叠加原理：同理对于三元的可微函数u=f(x,z,其全微分为 ②根据可微的定义，△z=Ax+BAy+o(p),可以推出：lim△=0，或 A 四/6+A,%+A)=/化，，浅mfx,川=化)，表明多元函数可微必然连续 ③由可微的定义：△-止=△z-(AAr+BA)=o(p),故当z=f(x,y)在点(x,y)可微时，有 近似计算公式：△≈止=A△r+BAy=f(x,y)△x+f(x,y)Ay误差o(P) 国同随：如果西数在一点偏导数存在，可以写出：票血+等小，但是不一定等于高载的企微 分，国为不能保运加会小)无比口的无方小…即由导数存在一推不 函数可微：如函数 x=岁+0 (0x2+y2=0 dx A.0=A=(A)(A △x△y △z-f(0,0)△r-f'(0,0)4y △x△y +1 P △2+(43 +a3→1*0 共37页-第10页 泰衣安