教 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-04-23节次5-6 2008级信息管理与信息系统 课程名称 高等数学 授课专业及层次 本科1班 授课内容 二重积分的概念与性质 学时数2 教学目的 掌握二重积分的定义及性质，注意与定积分的比较 重点 二重积分的定义及性质 难点 二重积分的性质含义 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 定积分的定义性质、计算、图形的投影变换 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 授课内容 第十章重积分 第一节二重积分的概念与性质 导入 20分钟 1、定和分的定义 2、定积分的 何意义 2、定积分的性质 3、定积分的计算方法 一、问题的提出 10分钟 1。曲顶柱休的体积 求曲项柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法 2.求平血薄片的质量 二、二重积分的橱念 1、定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成10分钟 n个小闭区域△o△o.△o。,其中△o表示第：个小闭区域，也表示它 的面积，在每个△，上任取一点(5，,》作乘积 fG,)△g=12,m,并作和∑G,n,)△o,如果当各小闭区域 的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） f)在闭区域D上的二重积分， 记为∬f(,y)d。，即∬fx,)dg=m∑f你，%△o.在直角坐 标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D, f(.da=∬f,w 10分钟 )、一面和公的几可音义 当被积函数大 零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值 三、二重积分的性质 性质1：若心，B为常数，则 5分钟 af(x.y)+Bg(x,y)]do =aflf(x,y)do+Blig(x,y)da 生质2：对区域具有可加性 5分钟 ∬f(x,y)do=∬f(x,y)do+f(x,y)do 5分钟 性质3： o=j小do=jo 性质4：若在D上f(x,)≤g(x,),则有 5分钟 rcao≤j&xo. 特别地： ffr.nds fre.nido. 性质5设业，m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，O为D5分钟 的面积，则mo≤fkdo≤Mo 性质6设函数∫(x,y)在闭区域D上连续，O为D 5分钟 的血积，则在D上至少存在一点(5，)使得 ∬fcdo=f5,o (二重积分中值定理)
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页 四、应用 10分钟 例1估计积分值I=∬x+)y小其中D是矩形域 0≤x≤2,0≤y≤2， 例2判断ar+广hd的符号 例3比较积分4=nr+y)do,1,=jxr+y)'da,=r+y)do 其中D是由直线X-0.y0称+y=2 所围成的 五、小结 5分钟 二重积分的定义（和式的极限） 二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 5分钟
教 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-04-28节次5-6 2008级信息管理与信息系绕 课程名称 高等数学 授课专业及层次 人科1班 授课内容 二重积分的计算方法 学时数 2 教学目的 学握二重积分的计算二重积分 重点 二重积分的定义及性质、区域的表示方法 难点 二重积分的计算方法、区域的划分 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 定积分的计算、图形的投影变换 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 、复习提问 10分， 1、二重积分的定义 2、二重积分的意义 3、二重积分的性质 里内室 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 15分钟 1、如果积分区域为：X-型a≤x≤b,%,(x)sy≤p,(x. 则：j/x,da=fx, 2、如果积分区域为：Y型c≤y≤d,%y)≤x≤p,). 则：j/xdo=∫fx X型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点： 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 若区域不能直接划分，则可以通过分割，把其变成若 个区域来计算
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3、应用 15分钟 例1改变积分∫'y炒的次序 例2改变积分山冰+了k广化咖的次序 例3计算∬d。其中D,是由直线y一1，x2yx围成的闭区线 例4计算+-广dG其中D.是山直线yxX=一1及)1国发的服该 二、利用极坐标计算二重积分 1、公式 10分钟 f(x.y)dudy =[f(rcos0.rsin 0)rdrd0. 2、应用 15分钟 例1写出积分f(x,y)d的极坐标二次积分形式，其中积分区域 D={(x.y)1-xsysv1-x0sxsl 例2计算小ed,其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成 的闭区域 例3求球体x2+v2+z2≤4a2 被圆柱面x2+y2=2ax(a>0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 三、二重积分的换元法 1、公式 15分钟 设f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上 连续，变换T:x=x(u,v),y=y(u,) 将4ov平面上的闭区域D'变为xoy平面上的D, 且满足 (①)x(u,y(仙，)在D'上具有一阶连续偏导数 a在o上推式u0-80 (3)变换T:D'→D是一对一的，则有 f(x,y)dxdy =f[x(u,v),y(uv)(uv)dudv
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 2、应用 10分钟 例1，计算小e户，其中D山x输y编和直钱x+y=2所国皮的驱线 例2、求由直线+y=c,x+y=d,y=ax,y=b(0<c<d,0<a<b) 所围成的闭区域的血积。 四、小结 5分钟 本讲主要讲述了二重积分的概念、性质、计算方法，对计算方法方 法，可分为三类：直角坐标、极坐标、变量替换 5分钟 五、作业CT9-2P95 256910123)4)143)
教 案 姓名刘照军 2008~2009学年第二学期 时间2009-04-30节次5-6 2008级信息管理与信息系统 课程名称 高等数学 授课专业及层次 本科1班 授课内容 三重积分 学时数 2 教学目的 掌握三重积分的定义及计算方法，会计算三重积分 重点 三重积分的定义及计算方法 难点 三重积分的计算、三种坐标下的积分公式 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 定积分、二重积分的计算 教学法 启发式 讲授内容纲要、要求及时间分配 、复习提问 10分份 1、二重积分的定义与性质 2、直角坐标下的积分计算 3、极坐标下的积分计算 极点在区域外 a≤8≤B%(≤r≤p,(0 rcossindr 极点在区域边界上 asesB 0srso(e) rcos.ind 极点在区域内 0≤0≤2π0≤r≤p(0) doreos0.nsinoxdr D重积分的换元法x=xu,),y=yu,) u.)=0y 0(u,v) Jf(.y)ddv-[f(x(u.).v(u.vju.v)dud
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 、习题订正 5分钟 CT10-210 求有曲面z=x2+2y2及：=6-2x2-y所围成的立体的体积？ 12、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分 冰 ⊕∫。f, 14、3、利用极坐标计算 arctan'do其中D为x2+y2=4,x2+y2=1 及y=0,y=x所围成的在第一象限的闭区域 授课内容 第九章重积分 第三节三重积分 重积分的定义 10分钟 1、定义：设f(x,y,z)是空间有界闭区域9上的有养函数，将闭区域 2任意分成n个小闭区域△y,△y,.△y,其中△y,表示第i个小闭区域， 也表示它的体积，在每个△y上任取一点(5，S)作乘积 f(5,n,5)△y,=1,2.,m,并作和，如果当各小闭区域的直径中的 最大值入趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,八，z) 在闭区域。上的三重积分，记为川f(x,z), 即们/cx2d=m立f,.SAy,其中叫做体积元素。 三重积记为： ∬fx,2ddt=m∑f(5,nsAy 其中dcdk叫做直角坐标系中的体积元素
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 、三重积分的计算 1,直角坐标系中将三重积分化为三次积分 15分钟 rh=c法 例i化三重积分I=∬fx,w.)dxdyd为三次积分其中积分区域n为 由曲面及z=x2+2y2,z=2-x2所围成的闭区域。 例2将了点：。K达按x的次序积分？ 截面法的一般步骤： (1)把积分区域2向某轴（例如z轴）投能，得投影区间 (2)对Q用过轴z轴且平行平面xoyf的平面去截得截面 (3)计算二重积分f(xy,zXdxdy 其结果为z的函数F(z) (④)最后计算单积分广F(2)d即得三重积分值 例3、计算三重积分∫∬xdb,其中2为三个坐标面及平面10分钟 X+2Y+Z=1所为成的闭区域 例4、计算三重积分 ∬：dd,其中是有椭圆二 6+=1所 为成的闭区域。 小结 三重积分的定义和计算 (计算时将三重积分化为三次积分) 在直角坐标系下的体积元素 2、利用柱面坐标计算三重积分 10分钟 j∬fx,y2hdk=j∬f(rcos0,rsin 0,-)rdrdai-. 例5利用柱面坐标计算三重积分dt,其中Q是由曲面 10分钟 z=x2+y2及平面z=4所围成的闭区域
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例6计算1=(x2+y2还k,其中0是曲线y2=2z,x=0,绕oz轴旋 转一周而成的曲血与两平面z=2,z=8所围的立体 3利用球面坐标计算三重积分 10分钟 设为M(,y)空间内一点，则M点可用三个有次序的数r,0来确 定，其中r为原点O与点M间的距离，中为有向线段OM与z轴正向所 夹的角，B为从正z轴来看，自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角 这里为点M在xOy面上的投影，这样的三个数r,中，B就叫做点的球坐标 [x=rsin pcos0, 可以计算： y=rsin osin 0, z =rcos. f(.y.)dvdvd=f(rsinpco0.rsinpsinsingirdi. 例7、求半径为R的球血与半顶角为α的内接锥面所围成的立体的体积。10分钟 例8、求曲面x2+y2+z2≤22与z≥√2+y2所围成的立体体积。 例9、利用对称性简化计算们r+r+:+Dd止其中积分区域 x2+y24241 2={x,zlx2+y2+z2≤ 5分钟 三、小节 1、三重积分的定义 2、在直角坐标系下的计算 3、在柱面坐标系下的计算 4、在球面坐标系下的计算 四、作业 5分钟 熟记公式 CT10-3P164 6 91) 102) 12 2)