教案 姓名董塞晔 2010-2010学年第二学期 时间20114.山 节次12 课程名称高等数学授课专业及层次 2010缴应用物理学本科1班 授课内容 多元函数的基木概念 学时数 2学时 教学目的 了解平面点集知识：理解多元函数的概念、极限和连续性：会求二重 极限，判惭多元函数连续性 重 点 多元函数概念、极限和连续性 难 点 极限和连续性 自学内容 n维空间 使用教具 多媒体 相关学科知识 无 教学法 讲授，启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习：一元函数的基本概念 1.邻域、区间 2.函数定义、两要素 3.函数极限的：一5定义 4连续定义、性质 5分钟 第一节多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 L.平面点集E=xy圳(x,y)具有性质P. 5分钟 1.邻域：点P,的6邻域U(B,)={PP<6 2.点与点集之间的关系：(1)内点(2外点(3)边界点(4)聚点 3.区域：(1)开集(2)连通(3)边界（边界，记作E.)(4)有界点集10分钟 2n维宝间 (指出思路，学生课下自学) 5分钟 练习：习题911（讨论分析问题，指定学生回答） 二.多元函数概念（对比一元函数概念讲解） 1.实际问题：圆柱体体积：V=rh:并联线路电阻之和：R= RR, R+R 5分钟 2,定义：设D是R的一个非空子集，称映射：D→R为定义在D上的二元函数， z=f(x,y,Pxy)∈D D:定义域 x,y:自变量 10分钟 (结合一元与二元函数引导学生定义三元函数) [拓展]：兰元函数4=f(x,y,zbP(x,以，z)∈2
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 3.儿何意义：一张曲面（多媒体课件、投影） 10分钟 例：球面：x2+y2+z2=a2 练习：求二元函数的定义域：z=arccos(x2+y)√-x 三.多元函数的极限（重点讲解，强调与一元函数极限的区别）》 1.定义：如果在P(x,y)→P(x,)的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于 个确定的常数A.则称A是函数fx,)当(，y)→(，)时的极限。 2定义(E-8定义)：对于()eD,V6,36,对于满足5分钟 0(最大值与最小值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上全少取5分钟 最大值和最小值各一次
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） (介值定理)在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同 的函数值，则全少在D上取得介于这两个值之间的任何值一次。若C是函数在D上的 介于M和面之间的一个数，则在D上全少有一点Q,使得f(Q)=C 5分钟 二元连续函数的复合函数也是连续函数 1.利用连续性求极限：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是 指包合在定义域内的区域或闭区域 7求兴 8分钟 8品可 五、课堂总结 本节讲授的多元函数概念、极限与连续的概念理论性强，概念繁杂，但与一元函数相 关概念一脉相承，讲解时使用对比类比的方法找出概念异同，加深理解。 2分钟 布置作业：习题9-15(2)(4)、6(4)(5)、7(1)
数 案 姓名董寒晔 2010201L学年第二学期 时间2011.412 节次3-4 课程名称 高等数学 授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 偏导数 学时数 2学时 教学目的 理解偏导数的概念，会熟练求之 重 点 偏导数的概念，熟练计算 难 点 利用定义求偏导 自学内容 拉普拉斯方程 使用教具 多媒体 相关学科知识 物理知识 教学法 讲授，启发式教学法 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习：一元函数导数的定义，高阶导数 5分钟 第二节偏导数 一、偏导数的定义及其计算法（重点讲解） 10分钟 fe小/h+Af2 园啡盟学战w 之偏导商数的定义式：化)=吗+△义心》 G川=m在+A型 5分钟 (引导学生推广到二元以上的函数) 例如：c巴+Ac飞园 3.计算：（根据定义，启发学生讨论，找出运算规律） 计你会计、把)看作誉量。而对x求导 5分 计学会时把（看作常兰，而对）求号 例1求z=x2+3y+y2在点(1,2)处的偏导数 5分钟
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例2求z=x2sin2y的m导数. 5分钟 创3设：=6e>0x*.证多会+高-2z 5分钟 (详细讲解例1、例2，学生完成例3证明) 例4求r=Vx2+y2+z的偏导数 10分钟 =-1. (物理应用题，分析思路解题) 4.二元函数连续性与可导性的关系：即使各偏导数在某点都存在，也个能保证函10分钟 数在该点连续 5分钟 5.几何意义：（多媒体课件、投影讲解) 二、高阶偏导 I)定义：函数,y)的二阶偏导数： 忌复器k小导会高 10分钟 阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 6设少1装器器和器 5分钟 (详解本例，启发学生找出两个混合偏导的特点) (2)定：如果高敬消两个二片温合号强器及斋区选D内 连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 10分钟 (利用上例验证定理) 练习：习题926(1) 5分钟 三、课堂总结： 加强对偏导数概念的理解，通过练习熟悉求偏导的方法。 5分钟 布置作业：习题9-21(4.5、6)、6(3)
教案 姓名董寒晔 2010-201学年第二学期 时间2011.4.18节次12 课程名称 高等数学授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 全微分 学时数 2学时 教学目的 1.理解多元函数全微分的概念2.会求函数的全微分：3.了解多 元函数可微的必要条件与充分条件 重点 全微分的概念及求法：可微的必要条件与充分条件 难 点 全微分的概念及求法：可微的必要条件与充分条件。 自学内容 全微分在近似计算中的应用 使用教具 多媒体 相关学科知识 物理学知识 教学法 讲授法，启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配（可加附页） 复习：1.一元函数的微分 5分钟 2,多元函数求偏导 一、全微分的定义：（重点讲解） 1、全增量定义：果函数z=(x,)在点(x,y)的某邻域有定义， 5分钟 (x+△x,y+△y),=f(x+△x,y+△y)-f(y)称为函数z=f(x,y)在 点（化，）的全增量。 (启发学生思考偏增量概念) 2、全微分定义：如果函数z=f(x)在点的全增量 △=fx+△x,y+△y)-f(x,y)可表示为△上=A△x+BAy+o(P) 其中A,B不依赖于△x,△v,而仪与x,y有关，P=V(Ax)2+(△y)2,则称函数 15分钟 =f(x,)在点(,y)可微，而AAx+BAy称为函数z=f(x,)在点（，）的 全微分，记作d,即d也=A△r+BAy (详细讲解，注意说明p及o(p)的含义) 3、z=(x,)在点（化，）可做分的条件：
讲授内容纳要、要求及事件分配（附负） 定理1（必要条件）如果z=fx,)在点(xy)可微，则该函数在点(x,y)的偏 10分钟 (启发学生思路，完成证明.) 例：商藏红，功-平+广0布00足杏有行在全微分 15分钟 0,x2+y2=0 (设置问题，引导学生思考定理1逆命题是否成立，引出充分条件) 定理2（充分条件)如果函数：=化，)的导数空产在点（，)连续，则 dx oy 昌政车该可资、止一会血+票小(《伯发学生思路，完成证明》 15分钟 练习：习题935（讨论连续、偏导存在、可微分之间关系） 例1：计算函数2=xy+y的全微分 5分钟 例2：求z=e”在点(2，)的全微分。 5分钟 例3：计算u=x+sin上+e产的全微分。 10分钟 二、全微分在近似计算中的应用：（简单介绍，自学为主） 三元酒数数2三化，》的偏导爱交，完布点化)连铁，并A 都较小时，有近似等式 △z=k=f(x,y)△x+f,(x,y)Ay f(x+△x,y+Ay)≈f(x,y)+f(x,y)△x+f,(x,y)Ay 10分钟 例4：计算1.04)2的近似值。 例5：有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径山20cm增大到20.05cm,高度 山100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值. 三课堂总结 本节重点讲述了全微分的概念与条件，讨论了可微性与连续性、可微性与可偏导 的关系。特别是可微分的必要条件与充分条件的理解。 5分钟 布置作业：习题9-31(2)(4)、2
举 案 姓名董塞胜 2010-2011学年第二学期 时间2011419节次3-4 课程名称 高等数学 授课专业及层次 2010级应用物理学本科1班 授课内容 多元复合函数求导 学时数 2学时 教学目的熟练掌握各种多元复合函数求导法则，了解全微分形式不变性 重 点 复合函数求导法则、多元复合函数复合结构分析 难 点 复合函数求导法则 自学内容 无 使用教具 多媒体 相关学科知识 一元复合函数和隐函数求导 教学法 讲授、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 复习一元复合函数求导法则 5分钟 第四节多元复合函数的求导法则 1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形（作结构图分析复合结构） 设z=fu,),u=p),v=w0) 5分钟 则告念出先出 (证明，启发学生讨论求导与复合结构图的关系，找到链式法则) 推广：z=fu,yw)u=p(x)v=y(x)w=o(x) 5分钟 dz iz du ez dy Gz dw /ux du dy w d 例1：（多媒体课件投影例）读分析：引导解题 10分钟 练习：习题946 2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形 =f(u.v),u=o(x.y),v=w(x.y) 10分钟 则 by ou by ov by 例2：2=w2+v2 5分钟
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） (作蛋帮会，华生充吸号 3.复合函数的中问变量既有一元函数，又有多元函数的情形（详细讲解） (1)=f(u.v.x),u=p(x),v=v(x) u 5分钟 dz Gz dhu oz dy Gz 例3：z=v+simx u=e 5分钟 d (2)设z=fu,x,y)，4=p(x,y) 10分钟 正-zm+ dy ou dydy 注意：产是复合函数几（红）.x,门对x的偏导数，把y看作常量 是函致：=了，x)对x的偏号数，把uy看作常量 Cx (强调多元复合函数复合结构分析) 例3设==e2,而：=rs血.求0和 5分钟 4、抽象函数求偏导 例5：f(2,x+2y,ysin x) 10分钟 (重点讲解例题，通过例题体现抽象函数求偏导的关键：设出中间变 量) 注：用∫表示对第个变量求导 [拓展]求复合函数的高阶偏导（本科掌握）： n+w)高器器 10分钟 注：()与∫有相同的复合关系 练：设0了琪有二阶连线偏号数求及器 5分钟 课下自学课本P80例5，体会复合函数求高阶偏导的技巧
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 5.全微分形式不变性：（简单介绍） 5分钟 设孔u,)具有连续信导数，则有全微分 + 例6设e“sin”xy,=+,利用全微分形式不变性求全微分 课堂总结： 本节重点讲授了多元复合函数的求导法则。其中分清多元复合函数的复合关系是求偏号 的关键之 ,画出复合结构图有助于分清复合关系。抽象函数求偏导时，设出中间变 5分钟 较为方便 布置作业：习题9-42、5、8(1)、11