第一章函数与极限疑难题解答 习题1-1 17.已知水渠的横断面为等腰梯形斜角9=40°（图1-22），.当过水断面 ABCD的面积为定值S。时求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关 系式并说明定义域。 解 46=C=n0又从i8c+(8c+240-h1=得 h Bc=务-co40h所以 -2" D 自变量h的取值范围应由不 等式组 h>0号-cot40,h>0 确定定义域为0<h<VS。cot40 图1-22 18.收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购， 决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为 每台75元. (I)将每台的实际售价P表示为订购量x的函数： (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数： (3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解(1)当0≤x≤100时，p=90. 令0.01(x。-100)=90-75,得x=1600,因此当x≥1600时，p=75. 当100<x<1600时，p=90-(x-100)×0.01=91-0.01x 综合上述结果得到 190 0≤x≤100 p=91-0.01x100<x<1600 75 x21600
30x 0≤x≤100 (2)P=(p-60)x=31x-0.01x21003NeN,当n>N时，有水行从而当m>N 时，有 1xX-0Hxx长Mly.kM6, 所以1imxy.=0. 习题1-2 4.求f)=三()=当x→0时的左、右极限，并说明它们在x→0 时的极限是否存在 证明因为 m网=m三m1 m6)=m支m1=1, imf树=gf), 所以极限imfc)存在。 因为 m=m足=m=-1 ▣=9其- lim()≠limp(x), 所以极限imp()不行在 5.根据函数极限的定义证明：
竖 @=爱-0 0分，紧安亦签，题 本，即中应 证别因为v≥0，议“方当时x酰有到是k6,所以 签 回分折：1罗-0六要粤-0k,只须0,球=京，当X时，有利-0k,所以 -0 8当x时品1间x等于多少俊当X 时，y-<0.01? 解要侧号}1与01，只心0=6网.X-丽 习题14 6.函数y=XCOSx在(o,+0)内是否有界？这个函数是否为当x→+o时 的无穷大？为什么？ 解：函数y=xCOSx在(-o,+oo)内无界
这是因为VM>0,在(-0，+0)内总能找到这样的x,使得y(x>M.例如： y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2.2 当k充分大时，就有y(2kπ>M. 当x→+0时，函数y=xcosx不是无穷大， 这是因为VM>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有 y(x>M.例如： 2r+受-2r+受co2kr+-0k=L2小 对任何大的N,当k充分大时，总有x=2x+行>N,但b(=00,在(0，]中总可以找到点x,使(x)>M.例如当 -2 1 时，有 )=2+号 当k充分大时，(x)>M 当x)0时函数)加不是无穷大这是因为 M>0,对所有的6>0，总可以找到这样的点：，使0<x<8,但 (x)<M.例如可取 62攻短k=02 当k充分大时，x<8,但y(x)=2kπsin2kπ=0<M, 习题1-5 4.设a,c,}均为非负数列，且ima,=0,im6,=limc,=.下列陈
述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由，如果是错的，试给出 一个反例. (1)a,<b,nEN'; (2)bn<c,n∈N*; (3)lima.cn不存在： (4)limb.cn不存在 解0维例：a=eN 回盖例如：6=6，=neN )错，例如：a=京，=mneN； （④对，因为，假若血6c)布在，则mim6c小典。也布在，与尼 知条件矛盾. 习题1-6 4.利用极限存在准则证明： ②叫+an+2t4nn)l 证明：因为 1 1 2 n#nann+r+2a n n 而 +L.+元1，所以 1 1 mn+++2+ n-1. 3数列5,2+5，V2+2+万，的极限存在 证明：名=反，x1=2+元=12,3
先证明数列{x,}有界.当n=1时x=√2<2，假定n=k时x<2.当 n=k+1时， x1=√2+x<√2+2=2， 所以x,<2(n=1,2,3,),即数列{x}有界。 再证明数列单调增。 x4-x=2+元-x=2+-￡=-化-2x+00. 2+x+x 2+x+xn 即数列x,}单调增 因为数列{化，}单调增加有上界，所以此数列是有极限的. (4im+x=1: 证明：当≤1时，则有 1+x≤1+≤(1+x, 1+x21-2(1-。 从而有1-x≤+xs1+ 因为1im(1-lxD=lim+xD=1, 根据夹迅准则，有 lin=1 ⑨im]=1. 证明：因为-1<[白]s,所以1-x<x]s1.又因为m0-x)=m1=1, 根据夹通准则，有m]=1. 习题1-7 5.证明无穷小的等价关系具有下列性质： (①)aDa,自反性) (2)若aDB,则B☐a对称性)：
(3)若aDB,B口y,则a☐×传递性). 证明：()img=l,所以a0a; a (②若aA则m分-1.从而m号-.因此Ba: (3)诺a0R,B加x,img=lim.img=l.因此a0y. y 习题1-8 6证明：若函数f(x)在点x,连续且f(x)≠0，则存在x的某一邻域U(x), 当x∈U()时，fx)≠0 证明：不妨设fx)>0,因为fx)在x,连续，所以1imfx)=f(x)>0,由 极限的局部保号性定理，存在x,的某一去心邻域U(x),使当x∈U(x,)时 fx)>0,从而当x∈U(x,)时，fx)>0,这就是说，存在x,的某一邻域U(化)， 当xeU(x)时，f(x)≠0. 习题1-9 6设商数-仁.0应当如何选择致，俊得成为在 a+xx≥0 (-0,+o0)内的连续函数？ 解：要使函数fx)在(-，+∞)内连续，只须f(x)在x=0处连续，即只须 lim f(x)=lim f(x)=f(0)=a. 因为limf(c)=lime=l,limf(x)=lim(a+x)=a,所以只须取a=1. 习题1-10 4.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 fx)-f0≤Lk-儿，其中L为正常数，且f()fb)<0.证明：至少有一点 5e(a,b),使得f(5)=0. 证明设x,为(a,b)内任意一点.因为
0s limlf(x)-f(x)limLx-x0. 所以im|fx)-fx)F0, 即 lim f(x)=f(x). 因此f(x)在(a,b)内连续， 同理可证f(x)在点a处左连续，在点b处右连续，所以f(x)在[a,b1上 连续。 因为fx)在[a,b)]上连续，且f(a)f(b)0,要使-￥6-5K,只需k-水G,取 x-3 6=6,当0<k-<6时.就有k-<8.即-6-5Ke,所以 x-3 m-65 x-3 14.如果存在直线L:y=+b,使得当x→0（或x→+0，x→-0）时，曲线 y=f(x)上的动点M(x,y)到直线L的距离d(M,L)→0，则称L为曲线y=f(x) 的渐近线。当直线L的斜率k≠0时，称L为斜渐近线。 (I)证明：直线L:y=c+b为曲线y=fx)的渐近线的充分必要条件是 (I) (2)求曲线y=(2x-1)e的斜渐近线. 证明：(1)仅就x→0的情况进行证明 按渐近线的定义，y=:+b是曲线y=f(x)的海近线的充要条件是
Iimf(x)-(+b]=0. 必要性：设y=c+b是曲线y=f(x)的渐近线，则1imf(x)-(x+b】=0, 于是有 典四-当=0→四-=0=四， 同时有1imf(x)-c-]=0→b=-lim[f(x)-. 充分性：如果=m但，b=/-则 lim[f(x)-(kx+b)]=lim[f(x)-kx-6]=lim[f(x)-kx]-b=b-6=0. 因此y=c+b是曲线y=fx)的渐近线 回调为k=m头-m2c2, 6=v-2-m2x-e-2=2▣e-)-12td+ -1=1 所以曲线y=(2x-1)e*的斜渐近线为y=2x+1
第二章导数与微分 习题2-1 11.如果fx)为偶函数，且f"(0)存在，证明f'(0)=0. 证：因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x),从而 r0=0回0-e0-fro x-0 所以有2f"(0)=0,即f"(0)=0. 14.求曲线y=e在点(0,1)处的切线方程 解：y=e, :y=e=1, 故在(0,1)处的切线方程为： y-1=1(x-0),即y=x+1. 15.在抛物线y=x2上取横坐标为x=1及七，=3的两点，作过这两点的割 线.问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？ 解：令y=),则制线的斜率为=).9=4 3-1 2 而y'=2x,令2x=4,得x=2,又得f(2)=4. 因此抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于这条割线 17.设函数 x≤1， 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？ 解：因为 limf(x)=limx=1. lim f(x)=lim(ax+b)=a+b, f0=1