高数I模拟试题四 一、填空题（每空3分，共30分） 1、∫f'(= 2长=k:0是商致y品的 间断点. 3、rot 4小、曲线yx二的水平衔近线为 5设函数)在点x,处可号，且f)0,则回 Ax 6、已知()在x=a处可导，且ra)=A,mfa+2),fa- h 8、函数)= 0+a)x0 2 X=0在点x=0处连续，则a= 9、函数(x)=(x2-)+1的极小值点为 ,极小值为 二、计算题（每题4分，共40分） 1 edt 2、insin× 3、y=n(x+Va2+x),求y. 4、求方程x+y-1所确定的险函数在x=5处的导数 4 6后
7、6-idx &、arcsin xdx 9、求微分方程y-yny=0的通解 10、求微分方程1+x2)y=2xy满足初始条件ylk-。=1,yk-。=3的特解， 三、综合题（每题6分，共30分） kab,使四-低=处8 2、己知半径为R的圆，求其内接矩形的长和宽为多少时矩形的面积取得最值，并 讨论是最大值还是最小值 3、设函数f(x)在0sx0.试叙述拉格朗 日中值定理，并用此定理证明gx)=在0<x<a上单调增加. 4、求微分方程y-4y'+3y=0满足初始条件yl。=6,ylk-。=10的特解. 5、求微分方程y-6y+9y=(x+1)e的通解
模拟试题四参考答案 一、填空题（每空3分，共30分） 1.f)+C:2.无穷或第二类：3.f(x)-f(a):4.y=1: 5.0:6.5A7.0:8.2:9.x=0,0. 二、计算题（每题4分，共40分） 小一安产=+皮r. .3 =e2. 4 fe"dt e-x .3 =143 3、y=ln(x+Va+x2),求y' 第yx4+公+y2 1 x++x0+2+"F+ 4 人、求方程y1所确定的隐函数在×-平处的子数 解在方程丙边对X求号子号-0之 y' 3 4 4 49 1-2x 3 V1-(x) V9-4x1
oan告分6-4r+c 4 6-小 2 2n()+5arctan+C. 、6i=gr,4 2 = 3 =2[t-arctant 4 &、ao=anxf-产故 2 -+-g 4 9、解：所给方程是可分离变量的，分离变量后得：业=业 yiny x 两端积分，得：nlny=lnx+C 2 整理得：y=e(C=±e) 4 10、解：设y=p,代入方程并分商变量后得号受， 两端积分得：hp=nl+x)+C 即：p=y=C1+x2C,=±e) 由条件yk。=3,得：C,=3.所以 y=30+x2) 3到 两端积分得：y=x+3x+C2,又有条件yk=L,得C,=1, 于是所求得的特解为：y=x+3x+1 .4
三、综合题（每题6分，共30分） 1、解：函数在点x=1处可导，应有()=f(①.而 2 x-1 2 f0=▣/0-▣“4-a3 x-1 x-1 x-1 故a=2 4 又可导必连续，知在点x=1处连续，应有1imf(x)=limf()=f() 5 即a+b=1,故b=-l. .6 2、解：设矩形的长为2x,则宽为2√R2-x2,故矩形的面积为 S=4xR-x0<x<R) S-4R2-8x2 R2-x 3 在定义城内只有一个驻点x=二R,无不可导点，又 2 4 48累05 -4W2R3 故此驻点x=R是最大值点，即矩形的长、宽均为R时，面积取得最大 2 值 6 3、解：拉格朗日中值定理：若函数y=f(x)满足(1)在区间[a,b]上连续 (②)在区间(a,b)内可导，则至少存在一点5∈(a,b),.1' 使f5)=f-f@) 2' b-a 证：/=)-f四-)-/)-f0刨 x 4 在[0，x)上，对f(x)应用拉格朗日中值定理，则存在一点5∈(0，x),使得
f(x)-f(0)="(5) 代入上式得 =-组 2 5 由假设f”(x)>0知f"(x)为增函数，又x>5,则f"(x)>f"(5), 于是f)-f⑤>0，从面>0，放在0.a内单调增加 .6 4、解：所给方程的特征方程为2-4r+3=0,其根r=1,5=3是两个不相等的 实根，因此方程的通解为：y=Cc+C,c,故y=C,c+3C,c23” 将条件yk。=6.ykw=10代入得C,=4,C2=2,因此特解为：y=4e+2c.6 5、解：所给方程的特征方程为2-6r+9=0,其根5=r-3是两个相等的实根，因 此齐次方程的通解为：y=C,e+C,xe, 3 因为入=3是方程的二重根，设特解为：y=x2(ax+b)e“代入原方程得： .5 因此方程的通解为：y=Ce+C。++e .6