教案 姓名冯增哲2011~2012学年第二学期 时间 节次 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 定积分元素法利用定积分求平面图形面积学时数 通过教学进一步加深对定积分的理解，提高综合运用知识分析解决问题的能力： 教学目的 掌握定积分元索法和平面图形面积求法 重点 灵活运用知识解题：元素法的概念。平面图形面积求法 难点 利用定积分方法求积分值，灵活运用知识解题 自学内容 《高等数学例题与习题》相关例题，习题 使用教具 多媒体 相关学科知识 无 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 一、复习回顾 定积分的概念（为新课的引入作铺垫） 10分钟 2.定积分的各种计算方法 二、进行新课 第六章定积分的应用 第一节定积分的元素法 (一)、以求曲边梯形的面积为例：四个步骤 15分钟 (二)、归纳元素法的一般步骤 元素法的一般步骤 1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如X为积分变量，并确定它的 变化区间a,1: 2)设想把区间Ia,b1分成n个小区间，取其中任一小区间并记为x,x+, 求出相应于这小区间的部分量△U的近似值.如果△U能近似地表示为 [a,b1上的一个连续函数在x处的值fx)与d在的乘积，就把rx)称为 量U的元素且记作U,即dU=fx): 3)以所求量U的元素fxk为被积表达式，在区间[a,b1上作定积分，得 U=心f(x)d,即为所求量U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 第二节定积分在几何学上的应用一平面图形的面积 (一)直角坐标系下（本目内容为重点，要求学生熟练掌握） 1、方法步骤： 确定微分 10分钟 y=f(x) f(x) Vi= f(x) h b A=∫fx)k A=[L:(x)-f(x)ld 、应用 例1计算由两条地物线y2=x和y=x2所围成的图形的面积 5分钟 例2计算由曲线，y=2x和直线y=x-4所围成的图形的面积. 5分钟 例3求椭同二+-1的自 5分钟 (2节) (二)极坐标系下（按图讲解）（此为难点内容） 1.方法步骤：曲边扇形的面积A=p(0d0. 10分钟 2.例题讲解： 例4计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应于0从0到2元的一段弧与 10分钟 极轴所围平面图形的面积 例5求心形线r=a(1+cos0)所围平面图形的面积(a>0) 15分钟 10分钟 (三)学生练习：（讨论与教师指导结合） 三、本堂课总结 5分钟 1.微元法的基本步骤 2.求平面图形的两种情形。重点是在直角坐标系下 四、布置作业：习题6-2：2,5
教 案 姓名冯增哲 2011~2012学年第二学期 时间一 节次 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 利用定积分进行体积和曲线弧长的计算 学时数 2 教学目的 会计算旋转体、平行截面已知的立体体积、平面曲线的弧长 重点 体积、平面曲线的弧长计算 难点 对具体问题找出微分元素 自学内容 华东师范大学数学系编《数学分析》相关内容 使用教具 多媒体 相关学科知识 立体几何知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 、复习回顾： 5分钟 1.定积分元素法的一般步骤 2.利用定积分求平面图形的面积 二、进行新课： 第六意 定积分的应用 第二节 定积分的几何应用（体积和弧长） (一)求立体体积 1.旋转体体积（本目内容为重点内容，须熟练掌握） (1)定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的 立体.这直线叫做旋转轴 (2)方法步骤：取一个体积微元，然后积分，最后得旋转体的体积 10分钟 V=「πfxrd (3)例题讲解 例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直 10分钟 角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为P、高为h的圆锥体，计算圆 锥体的体积 例7求星形线xi+y5=u(a>0)绕X轴旋转构成旋转体的体积. 10分
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例8求摆线x=a1-sin),y=a(1-cos)的一拱与y=0所围成的图形分 15分钟 别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积. 2、平行截面面积为已知的立体的体积：V=「A(x)d (2节》 例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算10分钟 这平面截圆柱体所得立体的体积 引导学生分析解题 例10求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的 10分钟 正劈锥体的体积 (二)、平面曲线的弧长 1、参数方程 线溪为0a≤1s点-+-io0+0 10分钟 =√p0+w2G 弧长s=「Vo20+w)d 例1计算摆线x=0-sn0)的一的长度。 Iy=a(1-cos0)' 2.直角坐标方程 8分钟 ds=+ydx 弧长s=V1+y 例12计算曲线y=子x上相应于x从a到b的一段弧的长度， 3.极坐标方程 例13求阿基米德螺线r=a6(a>0)上相应于日从0到2π的弧长 8分钟 三、本堂课总结：体积的求法，重点是旋转体体积：弧长的求法 四、布置作业：习题6-2：11,13,18,22,23
教 案 姓名冯增哲 2011~2012学年第二学期时间节次」 课程名称 高等数学 授课专业及层次 授课内容 定积分在物理上的应用第六章习题课学时数2 教学目的 掌握定积分在物理上的应用通过复习习题学握本章定积分应用 重点 定积分在几何和物理上的应用 难点 微元的确定及积分变量的区间确定 自学内容 华东师范大学数学系编《数学分析》相关内容 使用教具 多媒体 相关学科知识 物理学相关知识 教学法 讲解、启发式教学 讲授内容纲要、要求及时间分配 一、复习回顾： 5分钟 1、微分元素 2、平面面积的计算 3、体积的计算 二、进行新课 第六章定积分的应用 第三节定积分在物理学上的应用 (一人变力沿直线所作的功（引导分析解题） 例1把一个带+9电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场.这个电 10分钟 场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离 原点为”的地方，那么电场对它的作用力的大小为F=k9(k是常数)，当这个 单位正电荷在电场中从r=口处沿r轴移动到r=b处时，计算电场力下对它所作 的功 5分钟 例2一圆柱形储水桶为5米，底半径为3米，池内盛满了水问要把池内的水全部吸 出，需作多少功9 (仁)、水压力 例4一个横放者的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R,水10分钟 的比重为y,计算桶的一端面上所受的压力
讲授内容纲要、要求及时间分配（附页） 例5将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝5分钟 下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求 薄板所受的侧压力 (三)、引力 例6有一长度为1、线密度为ρ的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处 有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力. 5分钟 学生练习：习题63 5分钟 三、课堂小结： 5分钟 主要要讲述了平面曲线求长度，以及变力所作的功、压力、引力的计算 (2节)》 四、第六章复习：（一）主要内容回顾 定积分的元素法 10分钟 求平面图形的面积 定积分的应用定积分在几何上的应用 求体积 求平面曲线的弧长 「功的问题 定积分在物理上的应用 水压力问题 引力问题 (二)、例题精讲 1 例1一金属棒长3m,离棒左端m处的线南度为()市您/m),问x为何10分钟 值时，[0，x一段的质量为全棒质最的一半。 例2设抛物线y=ax2+bx+c通过点(0,0)，月当x∈[0，]时，y≥0，试确定 10分钟 a,b,c的值，使得抛物线y=2+br+c与直线x=1,y=0所围成的图形面积为 4 0 月使该图形绕x轴旋转而成的转体的体积最小 例3求圆盘（化-2）+y2≤1绕y轴旋转而成的旋转体的体积。 10分钟 学生课常练习：总习题六(P2882,4,6) 5分钟 五、本堂课总结，布置作业：习题6-32、9、11 5分钟