山东第一医科大学(泰山医学院):《高等数学》课程教学课件(打印版)第四章 不定积分
第一节不定积分的概念与性质 一问题的提出 二 原函数与不定积分的概念 三 基本积分公式 四不定积分的性质 五小结 六思考与判断题 第二节 换元积分法 (Substitution Rules) 二第一类换元法(凑微分法) 第二类换元法 四小结 五思考与判断题 第三节 分部积分法 (Integration by Parts) 二分部积分法 三小结 四思考与判断题 第四节 有理函数的积分 (Integration of several kinds of Functions) 二有理函数的积分 三三角函数有理式的积分 四简单无理函数的积分 六思考与判断题
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第一节不定积分的概念与性质 一问题的提出 二 原函数与不定积分的概念 三 基本积分公式 四不定积分的性质 五小结 六思考与判断题 2012-3-29 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1
问题的提出 我们知道 (sinx)'=cosx 反之, (?)'=c0sx 不难知道 cosx=(sinx+C ) 因此,本章所讲的内容就是导数的逆运算 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研案
原函数与不定积分 定义1如果在区间I内,可导函数F(x)的 导函数为f(x),即x∈I,都有F'(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dc,那么函数F(x)就称为f(x) 或f(x)d在区间I内原函数, (日)-是,是的原函数 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研案
原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I内连续, 内存在可导函数F(x), 即,连续函数一定有原函数. 考察例子:(sinx)=cosx(sinx+C)=cosx :.sinx+C都是cosx的原函数(C为任意常 数) 由此可以得 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研室
原函数的2个结论 (1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数. (2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函 数,则F()-G(x)=C(C为任意常 证[F()-G(=F落-G) =f(x)-f(x)=0 .F(x)-G(x)=C(C为任意常 数) 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常
定义2 在区间I内,函数f(x)的带有任意 常数项的原函数,称为f(x)在区间I内的 的不定积分,记为 ∫fx)d fx)c∈F(x)+C 积表达式 分 任 数 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研室
例1求∫xdc. 解 .∫xd= x +C 例2求广,1 解 1 (arctanx)= 1+x2) =aretanx+C. 2012329 素山医学院信息工程学院高等数学教研常
侧求∫ x 解x>0,:mx= lnx是在+的个原函数。 x<0,ln(-x)r=(-x)y'= -x x ∴ln(-)是在(a0的一个原函数. 攻-nx+c 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常
例4设曲线通过点(2,5),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=f(x), 根据题意知 dy=2x, dx 即f(x)是2x的一个原函数. J2xdx=x+C,:f(x)=x2+C, 由曲线通过点(2,5)代入上式,得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1. 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常
注:f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线, 由不定积分的定义,可得如下性质: -ro dl [f(x)dxl=f(x)dx, JF(x)dx=jdF(x)=F(x)+C. 由此可见微分运算与求不定积分的运算是互逆 幽∫与d一起运算时可以抵消或相差一个常数。 2012329 奉山医学院信息工程学院高等数学教研常