《高等数学》课程教学资源（内容讲义）第九章曲线积分与曲面积分.doc_大学文库

于下限．（3）物理意义设曲线 L 的线密度为 (x, y) ，则其质量为 ( , ) L M x y ds =   ． 2．对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）（1）设 L 为 xOy 面内从点 A 到 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P x y ( , ) 、Q x y ( , ) 在 L 上有界．则定义函数 P x y ( , ) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i P x y dx P x    → =  =   ，类似可以定义对坐标 y 的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i Q x y dy Q y    → =  =   ．常见的还有如下的组合形式 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  ( , ) ( , ) L L = + P x y dx Q x y dy   ．注对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关，设 L − 表示 L 的反向曲线弧，则 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy − + = − +   ．（2）当曲线 L 的参数方程为 ( ) ( ) x x t y y t  =   = ，且当 t 由  变化到  时，曲线 L 由 A 变化到 B ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  = { [( ( ), ( )] ( ) [( ( ), ( )] ( )} P x t y t x t Q x t y t y t dt     +  ．当曲线 L 的方程为 y y x = ( ) ，可将 L 的参数方程设为 ( ) x x y y x  =   = ， x 从 a 变化到 b ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  { [ , ( )] [( , ( )] ( )} b a = + P x y x Q x y x y x dx   ．若曲线 L 的方程为 x x y = ( ) ，可将 L 的参数方程设为 x x y( ) y y  =   = ， y 从 c 变化到 d ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  { [ ( ), ] ( ) [( ( ), ]} . d c = + P x y y x y Q x y y dy   同理可以定义三元函数 f x y z ( , , ) 在空间曲线  上对坐标 x y, 和 z 的曲线积分，并有相应的计算方法．注在计算此类曲线积分时候，积分下限值对应于曲线的起点的参数值，积分上限值对应于曲线的终点的参数值，上限值不一定大于下限值． 3．两类曲线积分之间的关系（1）平面曲线 L 的情形： ( , ) ( , ) [ ( , )cos ( , )cos ] L L P x y dx Q x y dy P x y Q x y ds + = +    

设平面曲线弧 L 上任意一点 ( , ) x y 处的线密度为 ( , ) x y ，则绕 x 轴、 y 轴和原点的转动惯量分别为 2 ( , ) x L I x y y ds =   ， 2 ( , ) y L I x y x ds =   ， 2 2 ( , )( ) O L I x y x y ds = +   ．设空间曲线弧  上任意一点 ( , , ) x y z 处的线密度为 ( , , ) x y z ，则绕 x 轴、 y 轴、 z 轴和原点的转动惯量分别为 2 2 ( , , )( ) x I x y z y z ds   = +  ， 2 2 ( , , )( ) y I x y z x z ds   = +  ， 2 2 ( , , )( ) z I x y z x y ds   = +  ， 2 2 2 ( , , )( ) O I x y z x y z ds   = + +  ．（4）变力沿曲线做功设变力 F i j = + P x y Q x y ( , ) ( , ) ，则变力沿平面曲线 L 所作的功为 ( , ) ( , ) L W P x y dx Q x y dy = +  ．同理可利用对坐标的曲线积分求变力沿空间曲线所作的功．（二）曲面积分 1．对面积的曲面积分（第一类曲面积分）（1）设曲面  是光滑的，函数 f x y z ( , , ) 在  上有界．则定义函数 f x y z ( , , ) 在曲面  上对面积的曲面积分为 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dS f S     →  =  =   ．称 dS 为曲面面积元素，且曲面  的面积为 dS   ．（2）当曲面  由方程 z z x y = ( , ) 给出， 在 xOy 面上的投影区域为 D xy ，函数 z z x y = ( , ) 在 D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f x y z ( , , ) 在  上连续 则 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) xy x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy  = + +   ．当积分曲面  的方程为 y y x z = ( , ) ，D xz 为  在 zOx 面上的投影区域 则函数 f x y z ( , , ) 在  上对面积的曲面积分为 2 2 ( , , ) [ , ( , ), ] 1 ( , ) ( , ) zx z x D f x y z dS f x y z x z y z x y z x dzdx  = + +   ．当积分曲面  的方程为 x x y z = ( , )，D yz 为  在 yOz 面上的投影区域，则函数 f x y z ( , , ) 在  上对面积的曲面积分为

2 2 ( , , ) [ ( , ), , ] 1 ( , ) ( , ) yz y z D f x y z dS f x y z y z x y z x y z dydz  = + +   ．（3）当 f x y z ( , , ) 0  时，对面积的曲面积分 f x y z dS ( , , )   在物理上表示面密度函数为  = f x y z ( , , ) 的曲面物体的质量． 2．对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）（1）设  为光滑的有向曲面，函数 R x y z ( , , ) 在  上有界．则定义函数 R x y z ( , , ) 在有向曲面  上对坐标 x 、 y 的曲面积分为 0 1 ( , , ) lim ( , , )( ) n i i i i xy i R x y z dxdy R S     →  =  =   ．类似地可定义 0 1 ( , , ) lim ( , , )( ) n i i i i yz i P x y z dydz P S     →  =  =   ， 0 1 ( , , ) lim ( , , )( ) n i i i i zx i Q x y z dzdx Q S     →  =  =   ．通常将 P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ( , , ) ( , , ) ( , , )    + +    简记为 P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ( , , ) ( , , ) ( , , )  + +  ．注对坐标的曲面积分与积分曲面的侧（即取定的法向量）有关，即 Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy −   + + = − + +   ，其中 −  表示与  相反侧的有向曲面．（2）当积分曲面  由方程 z z x y = ( , ) 给出， 在 xOy 面上的投影区域为 D xy ，则有 ( , , ) [ , , ( , )] Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy  =    ，其中当  取上侧时（即  的法向量与 z 轴正向的夹角成锐角），积分前取“+” 当  取下侧时（即  的法向量与 z 轴正向的夹角成钝角），积分前取“−”．类似地，如果  由 x x y z = ( , ) 给出，则有 ( , , ) [ ( , ), , ] Dyz P x y z dydz P x y z y z dydz  =    ．如果  由 y y x z = ( , ) 给出，则有 ( , , ) [ , ( , ), ] Dzx Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx  =    ，其中符号由曲面的法向量与 y 轴正向的夹角或与 x 轴正向的夹角来确定，原则是“锐角为正，钝角为负”． 3．两类曲面积分之间的关系 Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS ( cos cos cos )      + + = + +   ，其中 cos ,cos ,cos    是有向曲面  上点 ( , , ) x y z 处的法向量的方向余弦．

4．两类曲面积分的应用设  为空间曲面，曲面上任意一点 ( , , ) x y z 处的面密度为 ( , , ) x y z ，则（1）空间曲面薄片  的面积 A dS  =  ，其中 A 为曲面  的面积．（2）曲面薄片  绕 x 轴、 y 轴、 z 轴和原点的转动惯量分别为 2 2 ( , , )( ) x I x y z y z dS   = +  ， 2 2 ( , , )( ) y I x y z x z dS   = +  ， 2 2 ( , , )( ) z I x y z x y dS   = +  ， 2 2 2 ( , , )( ) O I x y z x y z dS   = + +  ．（3）曲面薄片  的质量 M x y z dS ( , , )  =  ．（4）若曲面薄片  的重心坐标 G x y z ( , , ) ，则有 1 x x y z xdS ( , , ) M   =  ， 1 y x y z ydS ( , , ) M   =  ， 1 z x y z zdS ( , , ) M   =  ． 5．高斯公式设空间闭区域  是由分片光滑的闭曲面  所围成，函数 P x y z ( , , ) 、Q x y z ( , , ) 、R x y z ( , , ) 在  上具有一阶连续偏导数，则有如下公式（即高斯公式）成立： ( ) P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z      + + = + +      ，或 ( ) ( cos cos cos ) P Q R dv P Q R dS x y z         + + = + +      ，这里  是  的整个边界曲面的外侧， cos ,cos ,cos    是有向曲面  上点 ( , , ) x y z 处的法向量的方向余弦． 6．斯托克斯公式设  为分段光滑的空间有向闭曲线，  是以  为边界的分片光滑的有向曲面，  的正向与  的侧符合右手规则，函数 P x y z ( , , ) 、Q x y z ( , , ) 、R x y z ( , , ) 在曲面  （连同边界）上具有一阶连续偏导数，则有如下公式（即斯托克斯公式）成立： dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx+Qdy +Rdz ．或记为： dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R      = + +     

《高等数学》课程教学资源（内容讲义）第九章 曲线积分与曲面积分

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