三、典型例题解析 例1求函数==n0-x21-y2】与2=n0-x1+y川+ln0+xX1-叨的定义域，并 判断它们是否为同一函数。 解由0-x21-y2)>0,即 88 求得：，的定义域为D={xy1b>1. 由侣训物8求得的定义线为 D={x,y1或x>1y<- 由于D,仅是D的一部分，所以：、，不是同一个函数. 注求比较复杂的二元函数的定义域，一般先由基本初等函数的定义域列出所有条件， 再解相应的联立不等式组，通常将其化简至有明显的几何意义即可. 例2设功-高，试求x}m 2xy ÷里 2.y x V k/明=-y 2f(x,) 2x.2 4x2x2-y) 2xy 例3若x+=-少，求0 [x+y=u y* 所以x功=卫0*- 1+y
三、典型例题解析 例 1 求函数 2 2 1 z x y = − − ln[(1 )(1 )] 与 2 z x y x y = − + + + − ln[(1 )(1 )] ln[(1 )(1 )] 的定义域，并 判断它们是否为同一函数． 解 由 2 2 (1 )(1 ) 0, − − x y 即 2 2 2 2 1 0 1 0 , , 1 0 1 0 x x y y − − − − 或 求得 1 z 的定义域为 1 D x y x y x y = {( , ) 1, 1 1, 1}. 或 由 (1 )(1 ) 0 , (1 )(1 ) 0 x y x y − + + − 求得 2 z 的定义域为 D x y x y x y x y 2 = − − ( , ) 1, 1 1, 1 1, 1} 或 或 ． 由于 D2 仅是 D1 的一部分，所以 1 z 、 2 z 不是同一个函数． 注 求比较复杂的二元函数的定义域，一般先由基本初等函数的定义域列出所有条件， 再解相应的联立不等式组，通常将其化简至有明显的几何意义即可． 例 2 设 2 2 ( , ) , 2 x y f x y xy − = 试求 1 1 f y x f f x f x y ( , ), , [ , ( , )] x y − 及 ． 解 2 2 2 2 ( ) ( , ) 2( ) 2 y x x y f y x y x xy − − − − = = − ， 2 2 2 2 1 1 1 1 , 1 1 2 2 x y y x f x y xy x y − − = = ， 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 4 ( ) 2 [ , ( , )] 2 ( , ) 4 ( ) 2 2 x y x x f x y x y x y xy f x f x y xf x y x y x y x y x xy − − − − − = = = − − ． 例 3 若 2 2 , , y f x y x y x + = − 求 f x y ( , ) ． 解 令 x y u y v x + = = 解得 1 1 u x v uv y v = + = + ，于是 2 2 2 (1 ) ( , ) 1 1 1 u uv u v f u v v v v − =−= + + + ， 所以 2 (1 ) ( , ) ( 1). 1 x y f x y y y − = − +
例4讨论m是否存在。 解当点Px)沿直线y=:趋向(0,0)时， 思兴，=德-点0小 当点P(x,y)沿曲线y=X-x趋向(0,0)时， 学品归妈只， 所似心号不存在 解此题时易犯的几种错误： 1 错误解法1 错解分析错误在于认为一（上}，其实并丰如此。 错误解法2因为分子为y,分母为x+y,分子是比分母高阶的无穷小，所以极限为 零. 错解分折其实亦不然，例知当c)沿=小+造于@0时，是，趋于 错误解法3，0。 错解分析这里的错误是(x,)→(0,0)没同时进行，先让y→0，再让x→0，这是另外 一种意义下的极限，即二次极限。 错误解法4令x=pcos8,y=psin8,当（化，）→(0,0)时，p→0， o2 cososino pcos0sin0 错解分析此解法错在：在p→0的过程中没把0看作变量，在求(x,)→(0,0)的极 限时，往往可作变换x=pcos0,y=psin0,原极限就转化为二元变量(p,)的函数当p→0 时的极限，这里应注意p、0都为变量，即在p→0的过程中，0也在变（若0不变而p→0 相当于点(x)沿某条射线趋向于(0,0). 注1在二重极限mx,)=A的定义中，要求（化）沿任何路径趋于(3，) 时，fx,)都要趋于A,因此，通常在证明该极限不存在时，选取两条不同的趋于()的 路径，当(x,y)沿这两条路径趋于（氏，）时，fx,)趋近于不同的值，即可说明极限不存 在。但是如果选取几条不同路径，即使每条沿(：，%)出发的路径趋于（化）时，x,)均 趋于同一值，也不能确保该极限存在，如例4
例 4 讨论 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + 是否存在 ． 解 当点 P x y ( , ) 沿直线 y kx = 趋向 (0,0) 时， 0 0 0 lim lim lim 0 ( 1) y kx x x 1 x xy x kx kx k = → → x y x kx k → = = = − + + + ， 当点 P x y ( , ) 沿曲线 2 y x x = − 趋向 (0,0) 时， 2 2 2 0 0 0 ( ) 1 lim lim lim 1 y x x x x ( ) 1 x xy x x x x = − x y x x x → → → − − = = = − + + − ， 所以 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + 不存在． 解此题时易犯的几种错误： 错误解法１ ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 lim lim 0 x y x y 1 1 xy x y y x → → = = + + ． 错解分析 错误在于认为 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y → y x + = ，其实并非如此． 错误解法２ 因为分子为 xy ，分母为 x y + ，分子是比分母高阶的无穷小，所以极限为 零． 错解分析 其实亦不然，例如当 ( , ) x y 沿 3 x t y t t = = − + , 趋于 (0,0) 时， xy x y + 趋于 ． 错误解法３ ( , ) (0,0) 0 0 0 0 lim lim lim 0 x y x x 0 xy x → → → x y x x = = = + + ． 错解分析 这里的错误是 ( , ) (0,0) x y → 没同时进行，先让 y → 0, 再让 x → 0 ，这是另外 一种意义下的极限，即二次极限． 错误解法４ 令 x y = = cos , sin , 当 ( , ) (0,0) x y → 时， → 0, 2 ( , ) (0,0) 0 0 cos sin cos sin lim lim lim 0 x y (cos sin ) cos sin xy x y → → → = = = + + + ． 错解分析 此解法错在：在 →0 的过程中没把 看作变量，在求 （x y, ）→（0,0） 的极 限时，往往可作变换 x y = = cos , sin , 原极限就转化为二元变量 ( , ) 的函数当 →0 时的极限，这里应注意 、 都为变量，即在 →0 的过程中， 也在变（若 不变而 →0 相当于点 ( , ) x y 沿某条射线趋向于 (0,0) ）． 注 1 在二重极限 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = 的定义中，要求 ( , ) x y 沿任何路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 都要趋于 A，因此，通常在证明该极限不存在时，选取两条不同的趋于 0 0 ( , ) x y 的 路径，当 ( , ) x y 沿这两条路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 趋近于不同的值，即可说明极限不存 在．但是如果选取几条不同路径，即使每条沿 0 0 ( , ) x y 出发的路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 均 趋于同一值，也不能确保该极限存在，如例 4．
注2二元函数的极限与一元函数的极限既有区别又有联系，请看例5. 例5求下列二元函数的极限 （1)m+y): 牌5 (3)cs) (x+3y) 分析(1)此类极限类似一元函数极限中的1型，可考虑转化为一元函数的极限来求 解：(2)可用夹逼定理米求：(3)可用变量代换 解Dm0+F=m0+gr=m0+列'=e=e. (2)因为x+y≥2x2y2,所以 则原非+引0，根指夫通定里，角原号=0. (3)令x=pcos8,y=psin8,则当x→0，y→0时，p=√R+y→0.于是 ht五-gPe0ta00@ (x2+3y2 p'(1+2sin0) sin2号 1+2sin29 因 o0ma p 故m+eF+西o. (x2+3y2y 例6时论番数：一，的连续性及间断点 1 解：是初等函数，因此当sinxsiny≠0，即x≠kπ且y≠k,T(k,k∈Z)时，函数连 续.函数的间断点的集合为 {xyx=k元，y∈R或kπ，x∈Rk,k∈Z}
注 2 二元函数的极限与一元函数的极限既有区别又有联系，请看例 5． 例 5 求下列二元函数的极限 （1） 1 ( , ) (0,1) lim (1 ) x x y xy → + ； （2） 2 2 4 4 ( , ) ( , ) lim x y x y → x y + + ； （3） 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + ． 分析 （1）此类极限类似一元函数极限中的 1 型，可考虑转化为一元函数的极限来求 解；（2）可用夹逼定理来求；（3）可用变量代换． 解 （1） 1 1 1 1 lim 1 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) lim [(1 ) ] [lim (1 ) ]y y xy xy y x x y x y x y xy xy xy e e → → → → + = + = + = = ． （2） 因为 4 4 2 2 x y x y + 2 ，所以 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 1 0 2 2 x y x y x y x y x y + + + + ， 则 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 1 lim 0 x y → 2 x y + = ，根据夹逼定理，得 2 2 4 4 ( , ) ( , ) lim 0 x y x y → x y + = + ． （3） 令 x y = = cos , sin , 则当 x y → → 0, 0 时， 2 2 = + → x y 0 ．于是 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + = 3 3 3 4 2 2 0 (cos sin )(1 cos ) lim (1 2sin ) → + − + 2 3 3 2 2 0 sin 2 cos sin 2lim (1 2sin ) → + = + ． 因 2 0 sin 2 lim 0 → = ， 3 3 3 3 2 2 cos sin cos sin 2 (1 2sin ) + + + ， 故 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + =0． 例 6 讨论函数 1 sin sin z x y = 的连续性及间断点． 解 z 是初等函数，因此当 sin sin 0 x y ，即 1 x k 且 2 1 2 y k k k Z ( , ) 时，函数连 续．函数的间断点的集合为 ( , ) , , , x y x k y R y k ,x R k k Z = 1 2 1 2 或 = ．
1 可见函数：一mm,的图形是有很多“缝”的曲面，其间断点集是纵横交错的直线。 例7求适数化-m0的间断点 0,y=0 解当y≠0时，fx,)=xsin'连续. 对y=0(即x轴)上的点（化0，若60，由于m在川=0而 功=气m时 不存在因此，x)在(，0（≠0）处不存在极限。对于点0,0)，由于 c川sm, 因此，im。x)=0=f0,0),即fx,)在(0,0)处连续.因此，fx,)的间断点的集合 D={x,yy=0,x≠0. 注一切多元初等函数在其定义区域（所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域)内均连续，因此不连续点（即间断点）往往出现在分段函数的分界点处。 例8设x,)=√F+少，试讨论该函数在R上偏导数的存在性，在偏导数存在处 求出偏导数. 解当(x)≠(0,0)时， 2y 功+方 当(x)=0,0)时，由于 9000-9兰-1g0/00-四兰- 因此，x,)在点0,0)关于x的偏导数不存在，而 -0”,00=5=0, 即fx,)在点(0,0)关于y的偏导数存在，且？0,0)=0.故 「23 不存在，Gx,y)=0,0) 0, (x,y）=0,0)
可见函数 1 sin sin z x y = 的图形是有很多“缝”的曲面，其间断点集是纵横交错的直线． 例 7 求函数 1 sin , 0 ( , ) 0, 0 x y f x y y y = = 的间断点． 解 当 y 0 时， 1 f x y x ( , ) sin y = 连续． 对 y = 0 （即 x 轴）上的点 0 ( ,0) x ，若 0 x 0 ，由于 0 0 lim ( , ) 0, x x y f x y → = = 而 0 0 0 0 1 lim ( , ) lim sin y y x x f x y x → → y = = 不存在．因此， f x y ( , ) 在 0 0 ( ,0)( 0) x x 处不存在极限．对于点 (0,0) ，由于 1 f x y x x ( , ) sin y ， 因此 ( , ) (0,0) lim ( , ) 0 (0,0) x y f x y f → = = ，即 f x y ( , ) 在 (0,0) 处连续．因此， f x y ( , ) 的间断点的集合 是 D x y y x = = {( , ) 0, 0}. 注 一切多元初等函数在其定义区域（所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域）内均连续，因此不连续点（即间断点）往往出现在分段函数的分界点处． 例 8 设 2 4 f x y x y ( , ) = + ，试讨论该函数在 2 R 上偏导数的存在性，在偏导数存在处 求出偏导数． 解 当 ( , ) (0,0) x y 时， 2 4 ( , ) x x f x y x y = + ， 3 2 4 2 ( , ) y y f x y x y = + ． 当 ( , ) (0,0) x y = 时，由于 0 0 ( ,0) (0,0) lim lim 1, x x f x f x x x → → + + − = = 0 0 ( ,0) (0,0) lim lim 1 x x f x f x x x → → − − − = = − ． 因此， f x y ( , ) 在点 (0,0) 关于 x 的偏导数不存在，而 2 0 0 (0, ) (0,0) lim lim 0 y y f y f y → → y y − = = ， 即 f x y ( , ) 在点 (0,0) 关于 y 的偏导数存在，且 (0,0) 0 y f = ．故 2 4 , (0,0) ( , ) , (0,0) x x x y f x y x y x y = + ，( ) 不存在， ( )= ， 3 2 4 2 , (0,0) ( , ) , (0,0) y y x y f x y x y x y = + = ，( ) 0， ( ) ．
注易知fx,)=√F+少在点(0,0)处连续，而其偏导数可以不存在，在一元函数中 亦有类似的现象。但是对一元函数有“可导一定连续”的结论，对于多元函数，偏导数存在 并不能保证函数连续，甚至函数可以在该点不存在极限.这是因为偏导数仅刻画了函数沿坐 标轴方向的变化情况，而函数的极限存在或连续则要求沿不同路径变化时函数有相同的极 限，下面以x,)在点（伍，%）处存在偏导数为例进行具体分析.由于 =▣+-心，W=回匹5±匹园 即有 f(x+△x,%)-f（,%)=f(x,%)△r+a,Ar, f6⅓+)-fx0)=x4y+a,4y, 其中im4=0,m%,=0, 由此有 limf(xo+Ax,yo)=f(xo-yo).lim f(xo.yo+Ay)=f(xo.Yo). 这说明：x,)在点（化，）处存在偏导数，只能保证f八x,)在点（化，）处沿x方向和y方 向的连续性，而f(化)在点(，%)处连续，即 m03+A,6+Ay)=f,%), 要求,)在点(，)处沿不同路径均连续，因此偏导数存在不能导出函数连续 例求下列的偏导数会和号 (1)=xy-yx: (2):=√n(: (3)==sin(xy)+cos'(x): (4)Ξ=(1+y 解w会-户，等-可 (2)-1.1y1 11 本2网y2x√nm'2my2Wn (3)年=-[cos(y+24cosg-sin=ycos(o）-ysin2. 同理，克-xo)-sn2. (4)解法1两边取对数得lnz=yln1+y),因此 鉴中 接++y
注 易知 2 4 f x y x y ( , ) = + 在点 (0,0) 处连续，而其偏导数可以不存在，在一元函数中 亦有类似的现象．但是对一元函数有“可导一定连续”的结论，对于多元函数，偏导数存在 并不能保证函数连续，甚至函数可以在该点不存在极限．这是因为偏导数仅刻画了函数沿坐 标轴方向的变化情况，而函数的极限存在或连续则要求沿不同路径变化时函数有相同的极 限，下面以 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处存在偏导数为例进行具体分析．由于 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y → x + − = 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y ( , ) lim y f x y y f x y f x y → y + − = ， 即有 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) x f x x y f x y f x y x x + − = + ， 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) y f x y y f x y f x y y y + − = + ， 其中 1 0 lim 0 x → = ， 2 0 lim 0 y → = ， 由此有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( , ) ( , ), lim ( , ) ( , ) x y f x x y f x y f x y y f x y → → + = + = ． 这说明： f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处存在偏导数，只能保证 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处沿 x 方向和 y 方 向的连续性，而 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续，即 0 0 0 0 ( , ) (0,0) lim ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y → + + = ， 要求 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处沿不同路径均连续，因此偏导数存在不能导出函数连续． 例 9 求下列函数的偏导数 z x 和 z y ： （1） 3 3 z x y y x = − ； （2） z xy = ln( ) ； （3） 2 z xy xy = + sin( ) cos ( ) ； （4） (1 )y z xy = + ． 解 （1） 2 3 3 z x y y x = − ， 3 2 3 z x xy y = − ． （2） 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z y x xy xy x xy = = ， 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z x y xy xy y xy = = ． （3） [cos( )] 2[cos( )] [ sin( )] cos( ) sin(2 ) z xy y xy xy y y xy y xy x = + − = − ． 同理， cos( ) sin(2 ) z x xy x xy y = − ． （4）解法 1 两边取对数得 ln ln(1 ) z y xy = + ，因此 1 1 z y y z x xy = + 1 ln(1 ) 1 z x xy y z y xy = + + + 即
会=0+w户，亭=0+py0+o+0+o 解法2因为2=e+,故 12 年-e10+m+=+wy++0+r 注多元函数对某个自变量求偏导数的基本方法是将其余的自变量视为常数，用一元 函数的求导公式与法则来求导即可. 例10设f任功=2到，求，孕： cos(x+y) 解法1先求偏导函数∫3，再求∫（π，）.由于 2sm(-2y)co)+co()n cos(x+y川 故，π，)=-2反 解法2利用偏导数(x,)即为一元函数fx)在处的导数，f(化%)为 -2，功-22p+e2yny fx,%)在x,处的导数.由于 cos(π+y)cosy (cosy) 故（π，）=-22. (2)=x 解(1)产 侣 1 -2y 等·需{小品 （2)=m, 容-b,装0- 需如小+
2 1 (1 ) z y y xy x − = + ， 1 (1 ) ln(1 ) (1 ) z y y xy xy xy xy y − = + + + + ． 解法 2 因为 y xy ln(1 ) z e + = ，故 2 ln(1 ) 2 1 (1 ) 1 z y y xy y e y xy x xy + − = = + + ， ln(1 ) 1 [ln(1 ) ] (1 ) ln(1 ) (1 ) 1 z xy y xy y y e xy xy xy xy xy y xy + − = + + = + + + + + ． 注 多元函数对某个自变量求偏导数的基本方法是将其余的自变量视为常数， 用一元 函数的求导公式与法则来求导即可． 例 10 设 cos( 2 ) ( , ) cos( ) x y f x y x y − = + ，求 ( , ) 4 y f ． 解法 1 先求偏导函数 ( , ) y f x y ，再求 ( , ) 4 y f ．由于 2 2sin( 2 )cos( ) cos( 2 )sin( ) ( , ) [cos( )] y x y x y x y x y f x y x y − + + − + = + 故 ( , ) 2 2 4 y f = − ． 解法 2 利用偏导数 0 0 ( , ) y f x y 即为一元函数 0 f x y ( , ) 在 0 y 处的导数， 0 0 ( , ) x f x y 为 0 f x y ( , ) 在 0 x 处的导数．由于 cos( 2 ) cos2 ( , ) cos( ) cos y y f y y y − = = + ， 2 2sin 2 cos cos2 sin ( , ) (cos ) y y y y y f y y − + = ， 故 ( , ) 2 2 4 y f = − ． 例 11 求下列函数的二阶偏导数 2 2 z x ， 2 2 z y ， 2 z x y ： （1） arctan x y z x y + = − ； （2） y z x = ． 解 （1） 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 z y y x x y x y x y x y − = = − − + + + − ， 2 2 2 2 1 2 ( ) 1 z x x y x y x y x y x y = = − + + + − ， 2 2 2 2 2 2 ( ) z xy x x y = + ， 2 2 2 2 2 2 ( ) z xy y x y = − + ， 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z y y x x y y x y x y − = − = + + ． （2） z y 1 yx x − = ， ln z y x x y = ， 2 2 2 ( 1) z y y y x x − = − ， 2 2 2 ln z y x x y = ， ( ) 2 1 1 1 ln z y y y yx x yx x x y y − − − = = + ．
o x2+y2=0 解当x2+y2=0时， fa0)=画f0f0.0=m9=0: Ar 当x2+y2≠0时， 功号+2+2边，4 x2-y2 x2+v22 x+ 所以 4,+0 (x,y)= (x+ 0. x+1y2=0 同理 0 +2=0 于是 人a0=g900=-是- 人00=色00-0-1 Ar 注二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，但混合偏导数不连 续时，二阶混合偏导数与求导次序有关。 例13设：=(x,)= sin ,x2+y2≠0 试讨论 0, x2+y2=0 (1)函数fx,)在(0,0)处是否连续？ (2)偏导数(x,y,了(x,)在(0,0)处是否连续 (3)fx,)在(0,0)处是否可微？ 解(1)因为 心功=+F方细方0(=f+. 即im。fx,)=f0,0),所以函数fx,)在(0,0)点处连续 (2)当(x)≠(0,0)时
例 12 设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 x y xy x y f x y x y x y − + = + + = ，求 (0,0), (0,0) xy yx f f ． 解 当 2 2 x y + = 0 时， 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f → → x x − − = = = ； 当 2 2 x y + 0 时， 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 ( , ) ( ) ( ) x x y x x y x x y x x y y f x y y xy y x y x y x y − + − − + − = + = + + + ． 所以 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 , 0 ( , ) ( ) 0, 0 x x x y y y x y f x y x y x y + − + = + + = ； 同理 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 , 0 ( , ) ( ) 0, 0 y x x y y x x y f x y x y x y − − + = + + = ； 于是 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1 x x xy y y f y f y f → → y y − − = = = − ， 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1 y y yx x x f x f x f → → x x − = = = ． 注 二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关，但混合偏导数不连 续时，二阶混合偏导数与求导次序有关． 例 13 设 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0 ( , ) 0, 0 x y x y z f x y x y x y + + = = + + = ，试讨论： （1）函数 f x y ( , ) 在 (0,0) 处是否连续？ （2）偏导数 ( , ), ( , ) x y f x y f x y 在 (0,0) 处是否连续？ （3） f x y ( , ) 在 (0,0) 处是否可微？ 解 （1）因为 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 2 2 1 1 lim ( , ) lim ( )sin lim sin 0 ( ) x y x y u f x y x y u u x y x y u → → → = + = = = + + 令 ， 即 ( , ) (0,0) lim ( , ) (0,0) x y f x y f → = ，所以函数 f x y ( , ) 在 (0,0) 点处连续． （2）当 ( , ) (0,0) x y 时
1 1列=2F+行F+FF+7 当(x,)=(0,0)时， 1 a旷s- f(0,0)=lim Ar =Arsm=0 所以了()= 2m疗+0 0 x2+y2=0 因为 w功=2F+7F+FoF+ 不存在，所以x,)在(0,0)处不连续 同理可求 2ysin (x,)= +行F*厅o疗+y0 0. x2+y2=0 所以(x,y)在(0,0)处不连续 (3)因为 a-s-U00x+00 Ar)+(4v) [(△x'+(4y]sin 00 +4-0 (Ar)+(v) -A旷)+(4可sn a+40, 由全微分定义知fx)在(0.0)处可微，且d0,0)=0. 注例13说明了二元函数在一点的偏导数连续只是函数在该点可微的充分条件而非必 要条件。 例14证明：函数fx,)=√可在点(0,0)处连续，偏导数存在，但不可微. 证明显然fx)在点(0,0)是连续的，由偏导数定义
2 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) 2 sin cos x x f x y x x y x y x y = − + + + ； 当 ( , ) (0,0) x y = 时， ( ) 2 2 0 0 1 sin 0 ( ) 1 (0,0) lim lim sin 0 x x x x x f x → → x x − = = = ． 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin cos , 0 ( , ) 0, 0 x x x x y f x y x y x y x y x y − + = + + + + = ． 因为 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2 2 2 2 1 1 lim ( , ) lim 2 sin cos x x y x y x f x y x x y x y x y → → = − + + + 不存在，所以 ( , ) x f x y 在 (0,0) 处不连续． 同理可求 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin cos , 0 ( , ) 0, 0 y y y x y f x y x y x y x y x y − + = + + + + = ， 所以 ( , ) y f x y 在 (0,0) 处不连续． （3）因为 ( ) ( ) ( , ) (0,0) 2 2 [ (0,0) (0,0) ] lim x y x y z f x f y x y → − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 [ ]sin 0 lim x y x y x y x y → + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 lim sin 0 x y x y x y → = + = + ， 由全微分定义知 f x y ( , ) 在 (0,0) 处可微，且 df (0,0) 0 = ． 注 例 13 说明了二元函数在一点的偏导数连续只是函数在该点可微的充分条件而非必 要条件． 例 14 证明：函数 f x y xy ( , ) = 在点 (0,0) 处连续，偏导数存在，但不可微． 证明 显然 f x y ( , ) 在点 (0,0) 是连续的，由偏导数定义
00==0+0/00-=2-0, 同理，0,0)=0 令1=上-L/0,0Ar+00ay.Axa AxA可 llAxl 婴++xA“+友 则当p→0时，1不存在极限，所以x)在点(0,0)处不可微. 注1若函数：=x,)在点（化，%）处的偏导数存在，则fx)在点（低，%）处可微的 等价定义是 g-+0. p 其中 =f+Ax,+A)-fp=VA2+Ay 通常可用验证上式是否成立来判断函数的可微性. 注2二元函数在一点的偏导数存在只是函数在该点可微的必要条件，这是二元函数与 一元函数的重要区别之一， 例15(02研)考虑二元函数x,)的下面4条性质： ①任，)在点（化，%）处连续：②x,)在点（优，为）处的两个偏导数连续： ③fx,)在点（伍，）处可微：④x,)在点(x%)处的两个偏导数存在。 若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q,则有() A②→③→① B③→②→① C③→④→0 D③→①→0 解选A,因为两个偏导数连续→可微→连续 注在可微的假定下，函数连续、偏导存在都是必要条件.若偏导数连续，则可保证可 微，它是可微的充分条件.二元函数可微、偏导数、方向导数、连续、极限各概念之间的关 系请参阅本章内容提要。 例16设：=+学，求会，导 解法1根据多元函数求导法则，直接求偏导数 会2告，心+rm4]-2立，学
0 0 (0 ,0) (0,0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x x x f x f f → → x x + − − = = = ， 同理， (0,0) 0 y f = ． 令 2 2 [ (0,0) (0,0) ] ( ) ( ) x y z f x f y x y I x y − + = = + ，因 2 2 2 2 2 2 0 0 lim lim ( ) ( ) (1 )( ) 1 y k x x x x y k x k x y k x k = → → = = + + + ， 则当 →0 时， I 不存在极限，所以 f x y ( , ) 在点 (0,0) 处不可微． 注 1 若函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的偏导数存在，则 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处可微的 等价定义是 0 0 0 0 0 [ ( , ) ( , ) ] lim 0 x y z f x y x f x y y → − + = ， 其中 2 2 0 0 0 0 = + + − = + z f x x y y f x y x y ( , ) ( , ), ． 通常可用验证上式是否成立来判断函数的可微性． 注 2 二元函数在一点的偏导数存在只是函数在该点可微的必要条件，这是二元函数与 一元函数的重要区别之一． 例 15（02 研）考虑二元函数 f x y ( , ) 的下面 4 条性质： ① f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续； ② f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数连续； ③ f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处可微； ④ f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的两个偏导数存在． 若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ，则有（ ） A ② ③ ① B ③ ② ① C ③ ④ ① D ③ ① ④ 解 选 A．因为两个偏导数连续 可微 连续． 注 在可微的假定下，函数连续、偏导存在都是必要条件．若偏导数连续，则可保证可 微，它是可微的充分条件．二元函数可微、偏导数、方向导数、连续、极限各概念之间的关 系请参阅本章内容提要． 例 16 设 2 2 2 2 ( ) x y xy z x y e + = + ，求 z x ， z y ． 解法 1 根据多元函数求导法则，直接求偏导数 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) x y x y x y xy xy xy z x xy x y y x y x y xe x y e e x x y x y + + + − + − + = + + =
类似地可求广-+2兴 解法2利用全微分形式的不变性，求出全微分后可同时得到两个偏导数.因为 等e3e等） :x号ah+4+e号+）-+型 ( =e(2位k+42n x'y 微会立，房如兰 x'y 注利用全微分形式不变性求多元复合函数的偏导数的方法不但在许多场合显得简捷 方便，更重要的是在这个过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错. 例7设：=个y其中了有=路偏号数，求器 解令=护，=士，则：=u),可知∫的函数复合关系图如下 f,r 由链式求导法则可得 会影装盘2r 需-引-5小-4或+2w0-n 注意到，仍是以，v为中间变量的复合函数，其函数复合关系图与∫的函数复合关系图 类似，故 U0=0+/r8=2x+, 号0=号+等=2m+, 所以 *2wr+小宁r-xx+
类似地可求 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z y x xy e y xy + − + = ． 解法 2 利用全微分形式的不变性，求出全微分后可同时得到两个偏导数．因为 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y x y xy xy dz e d x y x y d e + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) ( ) x y x y xy xy x y e xdx ydy x y e d xy + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) x y x y xy xy xyd x y x y d xy e xdx ydy x y e xy + + + − + = + + + 2 2 4 4 3 4 4 3 2 2 2 2 x y xy x y x y y x xy e dx dy x y xy + − + − + = + ， 所以 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z x y x y e x x y + − + = ， 2 2 4 4 3 2 2 x y xy z y x xy e y xy + − + = ． 注 利用全微分形式不变性求多元复合函数的偏导数的方法不但在许多场合显得简捷 方便，更重要的是在这个过程中不必区分自变量与中间变量，因而不易出错． 例 17 设 2 2 , y z f x y x = ，其中 f 有二阶偏导数，求 2 z x y ． 解 令 2 2 u x y = ， y v x = ，则 z f u v = ( , ) ，可知 f 的函数复合关系图如下 由链式求导法则可得 2 2 2 u v z f u f v y xy f f x u x v x x = + = − ， 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 ( ) ( ) u v u u v v z y y xy f f xyf xy f f f x y y x y x x y = − = + − − ． 注意到 , u v f f 仍是以 uv, 为中间变量的复合函数，其函数复合关系图与 f 的函数复合关系图 类似，故 2 1 ( ) 2 u uu uv uu uv u v f f f x yf f y y y x = + = + ， 2 1 ( ) 2 v vu vv vu vv u v f f f x yf f y y y x = + = + ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 2 2 2 u uu uv v vu vv z y xyf xy x yf f f x yf f x y x x x x = + + − − + f u v x y , u v f f u v x y