第九章曲线积分与曲面积分 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.设L是从原点00,0)沿折线y=1-x-至点A(2,0)的折线段，则曲线积分 ∫-t+x等于(. A.0. B.-1. C.2. D.-2. 2.若微分(+4y2)+(am2y2-5y)d为全微分，则a等于(). A.0. B.6. C.-6. D.-2 3.空间曲线「：x=ecos1,y=esin1,z=e(0<1<+o)的弧长等于(）. A.1. B.5.C.5. D.6 4.设为球面x2+y2+2=1,公，为上半球面：=√-x2-y,8,为在第一卦限的 部分，则下列等式正确的是(). A.∯5=2jd. B.∯：S=4:s C.xds =4fx-ds D.∯dS=0. 5.设工为球面+y+:=1的外侧，则积分∬ydd等于(). A.0.B.2j∬-2-y2.C.1.D.-2∬1-2-y 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设平面曲线L为下半圆周y=-一子，则曲线积分(x2+广达=一 2。设工是以原点为球心，R为半径的球面。则年+了+一= 3.设L为正向圆周x2+y2=9,则曲线积分∮(2y-2y)冰+(x2-4y)妙= 4.设Σ为球面x2+y2+2=1的上半部分的下侧，则曲面积分川（仁-1）dy=
1 第九章 曲线积分与曲面积分 A 级自测题 一、 选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 L 是从原点 O(0,0) 沿折线 y x = − − 1 1 至点 A(2,0) 的折线段，则曲线积分 L − + ydx xdy 等于（ ）． A． 0 ． B． −1． C． 2 ． D．−2 ． 2．若微分 4 3 2 2 4 ( 4 ) ( 5 ) x xy dx ax y y dy + + − 为全微分，则 a 等于（ ）． A． 0 ． B． 6 ． C． −6 ． D．−2 ． 3．空间曲线 : cos , sin , (0 ) t t t x e t y e t z e t − − − = = = + 的弧长等于（ ）． A．1． B． 2 ． C． 3 ． D．6 ． 4．设 为球面 2 2 2 x y z + + =1，1 为上半球面 2 2 z x y = − − 1 ，2 为 在第一卦限的 部分，则下列等式正确的是（ ）． A． 1 zdS zdS 2 = ． B． 2 3 3 z dS z dS 4 = ． C． 1 2 2 2 xz dS xz dS 4 = ． D． zdS 0 = ． 5．设 为球面 2 2 2 x y z + + =1 的外侧，则积分 2 y dxdy 等于（ ）． A．0 ． B． 2 2 2 2 1 2 (1 ) x z x y dxdy + − − ． C．1． D． 2 2 2 2 1 2 (1 ) x z x y dxdy + − − − ． 二、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设平面曲线 L 为下半圆周 2 y x = − −1 ，则曲线积分 2 2 ( ) _ L x y ds + = ． 2．设 是以原点为球心， R 为半径的球面，则 2 2 2 1 dS _ x y z = + + ． 3．设 L 为正向圆周 2 2 x y + = 9 ，则曲线积分 2 (2 2 ) ( 4 ) L xy y dx x y dy − + − = _． 4．设 为球面 2 2 2 x y z + + =1 的上半部分的下侧，则曲面积分 ( 1) z dxdy − =_．
5.向量场A=(2:-3yi+(3x-)j+(0y-2x)k的旋度rotA= 三、计算题（每小题6分，共30分） 1.计算∮，(x2+y)“dk其中L为圆周x=acos1,y=asint(a>0,0≤1≤2x) 2.计算y-x,其中L沿上半圆x2+y=R以点4(-R,0)为起点，经过点 C(O,R)到终点B(R,O)的路径. 3.计算曲面积分∬：dS,其中x2+y2+2=Re之0)： 4.求(x2+2y-y2)k+(x2-2y-y2)的原函数. 5.计算曲线积分1=手.e-+x-炒+K-灶，「为椭圆周F+少=1 x-y+:=2 且从：轴正方向看去，Γ取顺时针方向， 四、计算曲面积分小仁+x址-d,其中Σ为：Ox上的抛物线F一2绕：轴 y=0 旋转一周所得的旋转曲面介于：=0和：=2之间的部分的下侧.(8分) 五、设一段锥面螺线x=ecos1,y=esint,:=e化≤1≤1，)上任一点处的线密度与该点 向径的长度成反比，且在点(L,0,)处线密度等于1，求它的质量.(8分) 六、计第曲面积分小+户达，其中是线段{60s:s线0：轴旋转一周所 得的旋转曲面.(8分) 七、设fx)具有一阶连续导数，积分∫∫xd+)在右半平面x>0内与路径无关， 试求满足条件f0)=1的函数f(x).(8分) 八、设空间区闭域2由曲面：=ad2-x2-y2与平面：=0围成，其中a为正常数，记2 表面的外侧为Σ，2的体积为V,证明： ∯x22小t-y2:2d止k+0+)d='.(8分） 2
2 5．向量场 A i j k = − + − + − (2 3 ) (3 ) ( 2 ) z y x z y x 的旋度 rot _ A = ． 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1．计算 2 2 ( ) n L x y ds + 其中 L 为圆周 x a t = cos , y a t = sin ( 0,0 2 ) a t ． 2．计算 2 2 L xy dy x ydx − ，其中 L 沿上半圆 2 2 2 x y R + = 以点 A R ( ,0) − 为起点，经过点 C R (0, ) 到终点 B R( ,0) 的路径． 3．计算曲面积分 zdS ，其中 2 2 2 2 x y z R z + + = ( 0)． 4．求 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) x xy y dx x xy y dy + − + − − 的原函数． 5．计算曲线积分 I z y dx x z dy x z dz ( ) ( ) ( ) = − + − + − ， 为椭圆周 2 2 1 2 x y x y z + = − + = 且从 z 轴正方向看去， 取顺时针方向． 四、计算曲面积分 2 ( ) z x dydz zdxdy + − ，其中 为 zOx 上的抛物线 1 2 2 0 z x y = = 绕 z 轴 旋转一周所得的旋转曲面介于 z = 0 和 z = 2 之间的部分的下侧．（8 分） 五、设一段锥面螺线 1 2 cos , sin , ( ) t t t x e t y e t z e t t t = = = 上任一点处的线密度与该点 向径的长度成反比，且在点 (1,0,1) 处线密度等于 1，求它的质量．（8 分） 六、计算曲面积分 2 2 ( ) x y dS + ，其中 是线段 0 z y x = = (0 1) z 绕 Oz 轴旋转一周所 得的旋转曲面．（8 分） 七、设 f x( ) 具有一阶连续导数，积分 ( )( ) L f x ydx dy + 在右半平面 x 0 内与路径无关， 试求满足条件 f (0) 1 = 的函数 f x( ) ．（8 分） 八、设空间区闭域 由曲面 2 2 2 z a x y = − − 与平面 z = 0 围成，其中 a 为正常数，记 表面的外侧为 ， 的体积为 V ，证明： 2 2 2 2 x yz dydz xy z dzdx xyz zdxdy V (1 ) − + + = ．（8 分）
B级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.若微分e[e'x-y+2)++e[e'(x-)+刂为全微分，则其原函数是(). A.e"(x-y+l)+ye'+C. B.e"(x+y+1)+ye'+C. C.e"(x-y-I)+ye"+C. D.e(x-y+1)-e2+C. 2.设Σ是由y=1+√F2+三，y=5-√F+F围成的闭曲面且取外侧，则曲面积分 +等于（ e A.0. B.2r(e3-e）.C.4z(e-e).D.2re(e2-l2. 3.(00研)设S:x+y2+2=d(≥0)，S,为S在第一卦限中的部分，则有(). A.∬xdS=4∬xdS. B.yds=4ffxds. c.J∬ds=4j∬xds. D.∬3zds=4xzds y22 4。设「为椭球面芳+若+=1和平面)y=的交线，且从：轴正向看去r为顺时针 方向，则积分∮y-+(仁-x)+(x-yt等于（). A.0.B.-2√2xac.C.2√2xac.D.3√2rac 5.设T是A(-1,O),B(-3,2)及C(3,0)为顶点的三角形区域的边界沿ABCA的方向，则 曲线积分重(3x-y达+(x-2y等于（） A.16. B.-16.C.8.D.-8 二、填空题（每小题3分，共15分） L(9阳霸)设L为格画营+兮=1，其同长为0，则手2四+3+4达= 2.(04研)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫xd-2k 的值为 3.设Σ是柱面X+少=1介于：=0和：=1之间部分的外侧，则对坐标的曲面积分
3 B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．若微分 [ ( 2) ] [ ( ) 1] x y x y e e x y y dx e e x y − + + + − + 为全微分，则其原函数是（ ）． A． ( 1) x y x e x y ye C + − + + + ． B． ( 1) x y x e x y ye C + + + + + ． C． ( 1) x y x e x y ye C + − − + + ． D． ( 1) x y x e x y ye C + − + − + ． 2．设 是由 2 2 2 2 y x z y x z = + + = − + 1 , 5 围成的闭曲面且取外侧，则曲面积分 2 2 y e dzdx x z + 等于（ ）． A． 0 ． B． 5 2 ( ) e e − ． C． 5 4 ( ) e e − ． D． 2 2 2 ( 1) e e − ． 3．（00 研）设 2 2 2 2 S x y z a z : ( 0) + + = ， 1 S 为 S 在第一卦限中的部分，则有（ ）． A． 1 4 S S xdS xdS = ． B． 1 4 S S ydS xdS = ． C． 1 4 S S zdS xdS = ． D． 1 4 S S xyzdS xyzdS = ． 4．设 为椭球面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 和平面 y x = 的交线，且从 x 轴正向看去 为顺时针 方向，则积分 ( ) ( ) ( ) y z dx z x dy x y dz − + − + − 等于（ ）． A． 0 ． B． −2 2 ac． C． 2 2 ac ． D．3 2 ac ． 5．设 是 A B ( 1,0), ( 3,2) − − 及 C(3,0) 为顶点的三角形区域的边界沿 ABCA 的方向，则 曲线积分 (3 ) ( 2 ) x y dx x y dy − + − 等于（ ） A．16 ． B． −16 ． C．8 ． D． −8 ． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．（98 研）设 L 为椭圆 2 2 1 4 3 x y + = ，其周长为 a ，则 2 2 (2 3 4 ) L xy x y ds + + = ． 2．（04 研）设 L 为正向圆周 2 2 x y + = 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 2 L xdy ydx − 的值为_． 3．设 是柱面 2 2 x y + =1 介于 z = 0 和 z =1 之间部分的外侧，则对坐标的曲面积分
I=[[P(x.y.=)dxdy+Q(x.y.=)d-dx 化为对面积的曲面积分为 4.(05研)设2是由锥面：=√2+了与半球面：=√R-x-y围成的空间区域， Σ是的整个边界的外侧，则川x山t+d止b+dkd=_一· 5.设r=F+y+2，则dh(gradr)la-22= 三、计算题（每小题6分，共30分） 上(0研》计算由线积分1=手染学，种L是以点L0)为心，R为半径的 圆周(R>1),取逆时针方向， 2.计算V5x2+,其中Γ为球面x2+y2+2=ad2与平面2x-y=0相交的圆周. 3.(99研)求I=(siny-b(x+y+(ecosy-ar)d,其中a,b为正的常数，L 为从点42a,0)沿曲线y=√2ar-x2到点00,0)的弧. 4.(04研)计算曲面积分I=「2xd山d+2y止dk+3(z2-1)dd,其中Σ是曲面 z=1-x2-y2(e≥0)的上侧. 5.球面x2+y2+2=25被旋转抛物面：=13-x2-y2分成三部分，求三部分曲面面积 之比 四、(01研)计算曲线积分1=∮0y2-2)k+(2:2-x2)+(3x2-y2)t,其中r是平 面x+y+z=2与柱面+以=1的交线，从z轴正向看去，Γ为逆时针方向.(8分) 五、计算1=于t+片+宁，r=+少+：，其中Σ为曲面 1-专2+少，≥0的上侧8分> 16 六、在变力F=+y+k的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 +1上第一限的点Mn.月当5n取何时，力F所作的功最大： 并求出W的最大值.(8分)
4 I P x y z dxdy Q x y z dzdx ( , , ) ( , , ) = + 化为对面积的曲面积分为_． 4．（05 研）设 是由锥面： 2 2 z x y = + 与半球面 2 2 2 z R x y = − − 围成的空间区域， 是 的整个边界的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy + + = _． 5．设 2 2 2 r x y z = + + ， 则 div r (grad ) | (1, 2,2) − = _． 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1．（00 研）计算曲线积分 2 2 L 4 xdy ydx I x y − = + ，其中 L 是以点 (1,0) 为中心， R 为半径的 圆周（ R 1 ），取逆时针方向． 2．计算 2 2 5x z ds + ， 其中 为球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与平面 2 0 x y − = 相交的圆周． 3．（99 研）求 ( sin ( )) ( cos ) x x L I e y b x y dx e y ax dy = − + + − ，其中 a b, 为正的常数， L 为从点 A a (2 ,0) 沿曲线 2 y ax x = − 2 到点 O(0,0) 的弧． 4．（04 研）计算曲面积分 3 3 2 I x dydz y dzdx z dxdy 2 2 3( 1) = + + − ，其中 是曲面 2 2 z x y z = − − 1 ( 0) 的上侧． 5．球面 2 2 2 x y z + + = 25 被旋转抛物面 2 2 z x y = − − 13 分成三部分，求三部分曲面面积 之比． 四、（01 研）计算曲线积分 2 2 2 2 2 2 I y z dx z x dy x y dz ( ) (2 ) (3 ) = − + − + − ，其中 是平 面 x y z + + = 2 与柱面 x y + =1 的交线，从 z 轴正向看去， 为逆时针方向．（8 分） 五 、 计 算 3 3 3 x y z I dydz dzdx dxdy r r r = + + ， 2 2 2 r x y z = + + ， 其 中 为曲面 2 2 ( 2) ( 1) 1 ( 0) 5 16 9 z x y z − − − = + 的上侧．（8 分） 六、在变力 F i j k = + + yz zx xy 的 作 用 下 ， 质 点由 原 点 沿 直线 运 动 到 椭球 面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 上第一卦限的点 M( , , ) ，问当 , , 取何值时，力 F 所作的功 W 最大？ 并求出 W 的最大值．（8 分）
七、(9研)设S为椭球面号+艺+：=1的上半都分，点Psx)eS,为5在点 P处的切平面。P为)为点0QQ0到平面x的距商。来S8分》 八、(03研)已知平面区域D={《x,川0≤x,y≤π}，L为D的正向边界，试证： (I)∮xe'-yen'dr=∮xem'-ye'd: (2)∮xe小-emdk≥2x2.(8分)
5 七、（99 研）设 S 为椭球面 2 2 2 1 2 2 x y + + = z 的上半部分，点 P x y z S ( , , ) ， 为 S 在点 P 处的切平面， ( , , ) x y z 为点 O(0,0,0) 到平面 的距离，求 . ( , , ) S z dS x y z （8 分） 八、（03 研）已知平面区域 D x y x y = ( , ) | 0 , ， L 为 D 的正向边界，试证： （1） sin sin sin sin y x y x L L xe dy ye dx xe dy ye dx − − − = − ； （2） sin sin 2 2 y x L xe dy ye dx − − ．（8 分）