第十章微分方程与差分方程 A级自测题 一、选择题（每小题5分，共20分） 1.下列方程中为可分离变量方程的是() A.y'=e'. B.xy'+y=e*. C.(x+2)dk+y+x2y)d=0. D.y+y-x=0. 2.下列方程中为可降阶的方程是(). A.y+xy'+y=1.B.y+0y?=5.C.y=xe+y.D.(1-x2)y=(1+x)y 3.若连续函数fx)满足关系式fx)=fd+n3,则fx)等于（). A.e'In3.B.es In3. C.e'+In3.D.es+In3. 4.函数y,=A2+8是差分方程()的通解。 A.y2-3y1+2y.=0. B.y-3y1+2y-2=0 C.y4-2y=-8 D.y-2y,=8. 二、填空题（每小题5分，共20分） 1.微分方程2+p=sin20的阶数为 de 2.一阶线性微分方程y+g(x)y=f(x)的通解为 3.微分方程y+'=0满足初始条件)=0的特解为 4.差分方程y1-y=2的通解为 三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分） 1.ydx+x'dy-4dy=0: 2.(x2+y2）k-x=0:
1 第十章 微分方程与差分方程 A 级自测题 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）． A． xy y e = ． B． x xy y e + = ． C． 2 2 ( ) ( ) 0 x xy dx y x y dy + + + = ． D． yy y x + − = 0 ． 2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）． A．y xy y + + =1．B． 2 yy y + = ( ) 5．C． x y xe y = + ．D． 2 (1 ) (1 ) − = + x y x y ． 3．若连续函数 f x( ) 满足关系式 3 0 ( ) ( ) ln 3 3 x t f x f dt = + ，则 f x( ) 等于（ ）． A． ln 3 x e ． B． 3 ln 3 x e ． C． ln 3 x e + ． D． 3 ln 3 x e + ． 4．函数 2 8 x x y A = + 是差分方程（ ）的通解． A． 2 1 3 2 0 x x x y y y + + − + = ． B． 1 2 3 2 0 x x x y y y − + = − − ． C． 1 2 8 x x y y + − = − ． D． 1 2 8 x x y y + − = ． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1．微分方程 2 sin d d + = 的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程 y g x y f x + = ( ) ( ) 的通解为_． 3．微分方程 0 y y e + = 满足初始条件 y(1) 0 = 的特解为_． 4．差分方程 1 2 x x y y + − = 的通解为 ． 三、求下列微分方程的通解（每小题 5 分，共 40 分） 1． 2 ydx x dy dy + − = 4 0 ； 2．( ) 2 2 x y dx xydy + − = 0 ；
4.y+y=0: 5.-osh+o@s=0:6.r盘+0= 7.y"-4y+4y=0: 8.y-3y+2y=2e. 四、求下列差分方程的通解.（每小题5分，共10分） 1.y-y=2x2: 2.y1-2y=2. 五、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总 相交，交点记为A已知网O,且L过点(，求L的方程(10分) B级自测题 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.下面函数中不是方程)2=41-y)的解是(). A.cos2x:B.sin2x: C.(cos2x+1):D.sin2x. 2.微分方程xdy-yt=ye'少的通解为(). A.y=x(e*+C):B.x=y(e"+C):C.x=y(C-e):D.y=x(C-e*). 3.若y=x)是xy+y=广的满足条件y儿=1的解，则x)本=() A.In5.B.In3.C.In2. D.In7. 4.已知函数y=)在任意点x处的增量△=+a,且当△r→0时，口 是△x的高阶无穷小，y0)=π，则y)等于(). A.2π. B.π.c.e D.ze 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.通解为y=Ce+Ce-x(C,C2为任意常数)的微分方程是_
2 3． 3 dy y dx x y = + ； 4． xy y + = 0 ； 5．( cos ) cos 0 y y x y dx x dy x x − + = ； 6． 2 2 dy x xy y dx + = ； 7． y y y − + = 4 4 0 ； 8． 3 2 2 x y y y e − + = ． 四、求下列差分方程的通解．（每小题 5 分，共 10 分） 1． 2 1 2 x x y y x + − = ； 2． 1 2 2x x x y y + − = ． 五、设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内， L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总 相交， 交点记为 A. 已知 | | | | MA OA = ，且 L 过点 3 3 ( , ) 2 2 ，求 L 的方程．（10 分） B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 1．下面函数中不是方程 2 ( ) 4 (1 ) y y y = − 的解是（ ）． A． 2 cos x ； B． 2 sin x ； C． 1 (cos 2 1) 2 x + ； D．sin 2x ． 2．微分方程 2 y xdy ydx y e dy − = 的通解为（ ）． A． ( ) x y x e C = + ； B． ( ) y x y e C = + ； C． ( )y x y C e = − ； D． ( )x y x C e = − ． 3．若 y y x = ( ) 是 2 2 x y xy y + = 的满足条件 1 | 1 x y = = 的解, 则 3 1 y x dx ( ) = ( )． A．ln5． B．ln3． C．ln 2 ． D．ln7 ． 4．已知函数 y y x = ( ) 在任意点 x 处的增量 2 1 y x y x = + + ，且当 →x 0 时， 是 x 的高阶无穷小， y(0) = ，则 y(1) 等于（ ）． A． 2 ． B． ． C． 4 e ． D． 4 e ． 二、填空题 （每小题 3 分，共 12 分） 1．通解为 1 2 x x y C e C e x − = + − （ 1 2 C C, 为任意常数）的微分方程是 ．
2.方程(1+x2)y=2y满足条件y儿。=1，y儿o=3的特解是 3.方程y+2y=xnx满足)=-。的解为 4.某公司每年的工资额在比上一年增加10%的基础上再追加三百万元.若以 ,表示第1年的工资总额，则W,满足的差分方程是 三、求下列微分方程的通解.（每小题5分，共35分） 1.1+1 dx x-y 2.e 少0： dx 3.xcos兰+ysin当)h=x0ysin二-xcos)d: 4.1+y2)dk+(y-V1+y2cosy)=0: 5密= 6.y"+2y+10y=0: 7.y-3y+2y=xe. 四、设可导函数p(x)满足px)cosx+2p)sin1d=x+1,求p(x).(6分) 五、求方程y”-(y)-y=0满足初始条件0)=1，y0)=1的特解.(6分) 六、设函数y(x)x≥0)二阶可导，且y(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任 意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴围成的三角 形的面积记为S,区间[0，x上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S,并 设2S,-S2=1,求此曲线y-y(x)的方程.(9分) 七、某公司的净资产W因资产本身产生的利息以5%的年利率增长，同时公司 还必须以每年二百万元的数额连续地支付职工工资
3 2．方程 2 (1 ) 2 + = x y xy 满足条件 0 | 1 x y = = ， 0 | 3 x y = = 的特解是 ． 3．方程 xy y x x + = 2 ln 满足 1 (1) 9 y = − 的解为 ． 4．某公司每年的工资额在比上一年增加 10%的基础上再追加三百万元．若以 Wt 表示第 t 年的工资总额，则 Wt 满足的差分方程是 ． 三、求下列微分方程的通解．（每小题 5 分，共 35 分） 1． 1 1 dy dx x y = + − ； 2． 2 3 0 y x dy e dx y + − = ； 3． ( cos sin ) ( sin cos ) y y y y y x y dx x y x dy x x x x + = − ； 4． 2 2 (1 ) ( 1 cos ) 0 + + − + = y dx xy y y dy ； 5． dy 5 y xy dx − = ． 6． y y y + + = 2 10 0 ； 7． 3 2 x y y y xe − + = ． 四、设可导函数 ( ) x 满足 0 ( )cos 2 ( )sin 1 x x x t tdt x + = + ，求 ( ) x ．（6 分） 五、求方程 2 yy y y − − = ( ) 0 满足初始条件 y(0) 1 = ， y (0) 1 = 的特解．（6 分） 六、设函数 y x x ( )( 0) 二阶可导，且 y x ( ) 0 ，y(0) 1 = ，过曲线 y y x = ( ) 上任 意一点 P x y ( , ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴围成的三角 形的面积记为 1 S ，区间 0, x 上以 y y x = ( ) 为曲边的曲边梯形面积记为 2 S ，并 设 1 2 2 1 S S − = ，求此曲线 y y x = ( ) 的方程．（9 分） 七、某公司的净资产 W 因资产本身产生的利息以 5%的年利率增长，同时公司 还必须以每年二百万元的数额连续地支付职工工资．
(1)给出描述该公司净资产W(万元)的微分方程： (2)求解该方程，并分别给出初始资产值为W。=4000,5000,3000三种情 况下的特解，并讨论今后公司财务变化特点.(10分) 八、某产品在时刻1的价格、总供给与总需求分别为P,S,和D,且满足条 件：(1)S,=2P+1:(2)D=-4P+5:(3)S,=D.求证：由(1)、(2)、 (3)可导出差分方程P,+2P=2;己知P时，求上述方程的解.(10分)
4 （1）给出描述该公司净资产 W （万元）的微分方程； （2）求解该方程，并分别给出初始资产值为 0 W = 4000,5000,3000 三种情 况下的特解，并讨论今后公司财务变化特点．（10 分） 八、某产品在时刻 t 的价格、总供给与总需求分别为 Pt ， t S 和 Dt ，且满足条 件：（1） 2 1 t t S P = + ；（2） 1 4 5 D P t t = − + − ；（3） t t S D= ．求证：由（1）、（2）、 （3）可导出差分方程 1 2 2 P P t t + + = ；已知 P0 时，求上述方程的解．（10 分）