三、典型例题解析 例1判定下列级数的收敛性，若收敛，求其和。 )26-r6)a>0: 2》6+6*+6m-4W5m+n+. o》+.安+ 分析(1)一般项是两项之差，前项的和5，可以通过消项来求得：(2)一般项需先拆 项，然后前n项的和5，可以通过消项来求得：(3)级数前n项的和5，不容易求得，因此，1mS, 不易求出。但级数前2n项的部分和3，.和前(2n-)项的部分和5，却容易求出，于是可求 出1m5和1imsa,从而可求出im5, 解(1)由于 s,=(6-a)+(6-+(36-6a++(6-2m6+(26-2a=ya-a 故im=lm(6-a)=lim后-a=1-a,即原级数收敛且其和为1-a. 2)由于s6+6++5m-4W5m+ -名拾h+s司 -。.如4如司 11 1 0-3m+号8m+可 故细5兮细+行即原级数收敛且和为号 (3》级数行宁京++士-+.前2如装的部分和为 方写京家.+分字 传京++)得京**) 时
三、典型例题解析 例 1 判定下列级数的收敛性，若收敛，求其和． （1） 2 1 2 1 1 ( ) ( 0) n n n a a a + − = − ； （2） 1 1 1 1 6 6 11 (5 4)(5 1) n n + + + + − + ； （3） 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n − + − + + − + ． 分析 （1）一般项是两项之差，前 n 项的和 n s 可以通过消项来求得；（2）一般项需先拆 项，然后前 n 项的和 n s 可以通过消项来求得；（3）级数前 n 项的和 n s 不容易求得，因此， lim n n s → 不易求出．但级数前 2n 项的部分和 2n s 和前 (2 1) n − 项的部分和 2 1 n s − 却容易求出，于是可求 出 2 lim n n s → 和 2 1 lim n n s − → ，从而可求出 lim n n s → ． 解 （1）由于 3 5 3 7 5 2 1 2 3 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n s a a a a a a a a a a − − + − = − + − + − + + − + − 2 1 = n a a + − ． 故 2 1 lim lim( ) n n n n s a a + → → = − 2 1 lim n n a a + → = − = −1 a ，即原级数收敛且其和为 1− a ． （2）由于 1 1 1 1 6 6 11 (5 4)(5 1) n s n n = + + + − + = 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 5 6 5 6 11 5 5 4 5 1 n n − + − + + − − + = 1 1 1 1 1 1 (1 ) 5 6 6 11 5 4 5 1 n n − + − + + − − + = 1 1 1 1 (1 ) 5 5 1 5 5(5 1) n n − = − + + ． 故 1 1 1 lim lim 5 5(5 1) 5 n n n s → → n = − = + ，即原级数收敛且和为 1 5 ． （3）级数 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n − + − + + − + 前 2n 项的部分和为 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n n s = − + − + − + = 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n + + + − + + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 3 n n − − − − − = 1 1 1 2 2 2 3 n n − +
故m=又因为m=m(一=之从而5-号故原级数收敛且和为 例2设级数∑a,收敛，问级数∑a,2是否收敛？为什么？ 解级数立a,收敛，级数立a,可能收敛也可能发散.如级数(-少方收敛，但级 数却发散：又如级数-r片收敛，级数三是也收敛。 错误解者由于级数空a,收敛。所以一a0,故一受-0，从雨由比较审效法知 级数∑a,收敛 错解分析比较审敛法只适用于正项级数，而题目中并未告知级数∑，是正项级数。 故此种解法是错误的. 例3判别下列级数是否收敛？ (2)e6: (3)tam受： (4) 1 名白+天 分析（)所给级数是正项级数，其一般项是么，-2+少，由于 =2x+(,%≤岁3x。 故此级数的收敛性可用收敛级数的性质、比较审敛法或根值审敛法等方法来判别。 (2)所给级数是正项级数，其一般项是以，=e,由于 2=恤e=mem=e=i. 故比值审敛法失效，可用比较审敛法. (3)所给级数是正项级数，其一般项是%，=mm,注意到当n→∞时， 4,=㎡am2-交 因此原级数与级数∑”同时收敛同时发散.故只需判别级数∑”的收敛性就可以了。 =2 )所给级数是正项级数，其一般项是，”一由于一般项中含有定积分， 故用比较审敛法来判别其收敛性为宜
故 2 1 lim 2 n n s → = ，又因为 2 1 2 1 lim lim( ) 3 n n n n n s s − → → = − 1 2 = ，从而 1 lim 2 n n s → = ．故原级数收敛且和为 1 2 ． 例 2 设级数 1 n n a = 收敛，问级数 2 1 n n a = 是否收敛？为什么？ 解 级数 1 n n a = 收敛，级数 2 1 n n a = 可能收敛也可能发散．如级数 1 1 ( 1)n n n = − 收敛，但级 数 1 1 n n = 却发散；又如级数 1 1 ( 1)n n n = − 收敛，级数 2 1 1 n n = 也收敛． 错误解答 由于级数 1 n n a = 收敛，所以 lim 0 n n a → = ，故 2 lim 0 n n n a → a = ，从而由比较审敛法知 级数 2 1 n n a = 收敛． 错解分析 比较审敛法只适用于正项级数，而题目中并未告知级数 1 n n a = 是正项级数， 故此种解法是错误的． 例 3 判别下列级数是否收敛？ （1） 1 2 ( 1) 2 n n n = + − ； （2） 1 n n e − = ； （3） 2 2 tan 2 n n n = ； （4） 4 4 1 0 1 1 n n x dx = + ． 分析 （1）所给级数是正项级数，其一般项是 2 ( 1) 2 n n n u + − = ，由于 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 n n n u = + − ， 2 1 1 3 ( ) 2 2 n n n u + = ， 故此级数的收敛性可用收敛级数的性质、比较审敛法或根值审敛法等方法来判别． （2）所给级数是正项级数，其一般项是 n n u e − = ．由于 1 1 1 0 1 lim lim lim 1 n n n n n n n n n u e e e u − + − + + + → → → = = = = = ， 故比值审敛法失效，可用比较审敛法． （3）所给级数是正项级数，其一般项是 2 tan 2 n n u n = ，注意到当 n → 时， 2 2 tan 2 2 n n n n u n = ， 因此原级数与级数 2 2 2 n n n = 同时收敛同时发散．故只需判别级数 2 2 2 n n n = 的收敛性就可以了． （4）所给级数是正项级数，其一般项是 4 4 0 1 1 n n u x dx = + ．由于一般项中含有定积分， 故用比较审敛法来判别其收敛性为宜．
解（1)解法1由于”=2x分+(，而级数22×分和立都收敛，由 收敛级数的性质可知所给级数收敛。 解法2由于u2+,少>0m=12,故所给级数是正项级数。又由于 4s#3x分 且正项级数∑3×（分了收敛，故由比较审敛法知所给级数收敛。 解法3由于以.2+少>0m=12,故所给级数是正项级数。又由于 2 p=6-可- 故由根值审敛法知原级数收敛。 错误解答因为极限 义24r把 2+(-1 不在圆为若则驼有两个子爱→.→因 此园一回不有在)自比值审效法可知医经的收数性不能案定 错解分析在比值审敛法中，极限一存在仅仅是判别正项级数收敛性的充分条件， 而不是必要条件 (2)由于，=e5>0(n=1,2,),故所给级数是正项级数.由幂级数展开式： 可得 =s 1 24 +万+++@1 而正项级数得收敛，由比较审敛法知原级数收敛。 (3)由于，=㎡tan>0(n=2,3,4,故所给级数是正项级数.又由于当n→o时 令元一受，由比较审敛法知服级数与正项级数交同时收效同时发散。注意到
解 （1）解法 1 由于 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 n n n u = + − ，而级数 1 1 2 ( ) 2 n n = 和 1 1 ( ) 2 n n = − 都收敛，由 收敛级数的性质可知所给级数收敛． 解法 2 由于 2 ( 1) 0 ( 1,2, ) 2 n n n u n + − = = ，故所给级数是正项级数．又由于 2 1 1 3 ( ) 2 2 n n n u + = ， 且正项级数 1 1 3 ( ) 2 n n = 收敛，故由比较审敛法知所给级数收敛． 解法 3 由于 2 ( 1) 0 ( 1,2, ) 2 n n n u n + − = = ，故所给级数是正项级数．又由于 2 ( 1) 1 lim lim 1 2 2 n n n n n n n u → → + − = = = ， 故由根值审敛法知原级数收敛． 错误解答 因为极限 1 1 1 1 2 ( 1) 2 1 2 ( 1) lim lim lim 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) n n n n n n n n n n n u u + + + → → → + + − + − = = + − + − 不存在.（因为，若令 1 2 ( 1) 2 ( 1) n n n x + + − = + − ，则它有两个子数列： 2 1 3 k x − → ， 2 1 3 k x → （ k → + ）．因 此， 1 2 ( 1) lim lim 2 ( 1) n n n n n x + → → + − = + − 不存在．）由比值审敛法可知原级数的收敛性不能确定． 错解分析 在比值审敛法中，极限 1 lim n n n u u + → 存在仅仅是判别正项级数收敛性的充分条件， 而不是必要条件． （2）由于 0 ( 1,2, ) n n u e n − = = ，故所给级数是正项级数．由幂级数展开式： 2 1 . ( ) 2! ! n x x x e x x n = + + + + + − + ， 可得 234 2 1 1 24 ( ) ( ) ( ) 1 2! 3! 4! n n u e n n n n n = + + + + ， 而正项级数 2 1 24 n n = 收敛，由比较审敛法知原级数收敛． （3）由于 2 tan 0 ( 2,3,4, ) 2 n n u n n = = ，故所给级数是正项级数．又由于当 n → 时 2 2 tan 2 2 n n n n u n = ， 令 2 2 n n n v = ，由比较审敛法知原级数与正项级数 2 n n v = 同时收敛同时发散．注意到
p=2gr品-1 可知级数∑，收敛，因此原级数也收敛。 心由于r3京么>0a=12藏所价级数是正项级数。又由于 1 “C-vaapan 1 且正项级数子收敛。故由比较审敛法知原级数收敛。 注1用比较审敛法米判别正项级数的收敛性时 a.若用不等式形式，则应该将原级数的一般项放大为一个收敛级数的一般项（此时可 断定原级数收敛)，或者将原级数的一般项缩小为一个发散级数的一般项（此时可断定原级 数发散). b.若用极限形式，则应该考察级数一般项趋于无穷小时的阶。当它是。的k(化>)阶 无穷小时，则可断定原级数收敛：当它是二的同阶或低阶无穷小时，则断定原级数发散 注2判别级数收敛性时必须先确定级数的类型，然后用相应的审敛法. 例4判别下列级数的收敛性： (2)∑mB”(a为任意实数，B20): 分析D所合经数是正项级数。其一酸暖是收一侣高，含有阶乘，做用比值审数法北 较好. (2)所给级数是正项级数，其一般项是认='P广，含有n次幂，故可用根值审敛法也 可用比值审敛法来判别. (3)所给级数是正项级数。其一般项是以，一，含有阶乘，故用比值审敛法判别收 敛性比较好. n2 解(D由于，一20，(m=123.》故所给级数是正项级数、又由于 兰f器- (n+1
2 1 1 2 ( 1) 2 lim lim 2 n n n n n n v n v n + → → + + = = 2 2 ( 1) 1 lim 1 n 2 2 n → n + = = ， 可知级数 2 n n v = 收敛，因此原级数也收敛． （4）由于 4 4 0 1 0 ( 1,2,3, ) 1 n n u n x dx = = + ，故所给级数是正项级数．又由于 2 4 4 4 4 0 0 0 1 1 1 2 1 n n n n u n x dx x dx xdx = = = + ， 且正项级数 2 1 2 n n = 收敛，故由比较审敛法知原级数收敛． 注 1 用比较审敛法来判别正项级数的收敛性时 a．若用不等式形式，则应该将原级数的一般项放大为一个收敛级数的一般项（此时可 断定原级数收敛），或者将原级数的一般项缩小为一个发散级数的一般项（此时可断定原级 数发散）． b．若用极限形式，则应该考察级数一般项趋于无穷小时的阶．当它是 1 n 的 k k ( 1) 阶 无穷小时，则可断定原级数收敛；当它是 1 n 的同阶或低阶无穷小时，则断定原级数发散． 注 2 判别级数收敛性时必须先确定级数的类型，然后用相应的审敛法． 例 4 判别下列级数的收敛性： （1） 2 1 ( !) n (2 )! n n = ； （2） 2 n n n = （ 为任意实数， 0 ）； （3） 1 ! n n n a n n = （ a 0 ）． 分析（1）所给级数是正项级数，其一般项是 2 ( !) (2 )! n n u n = ，含有阶乘，故用比值审敛法比 较好． （2）所给级数是正项级数，其一般项是 n n u n = ，含有 n 次幂，故可用根值审敛法也 可用比值审敛法来判别． （3）所给级数是正项级数，其一般项是 ! n n n a n u n = ，含有阶乘，故用比值审敛法判别收 敛性比较好． 解 （1）由于 2 ( !) >0 (2 )! n n u n = ，（ n =1,2,3, ），故所给级数是正项级数．又由于 2 2 1 2 [( 1)!] (2 )! ( 1) 1 lim lim lim 1 [2( 1)]! ( !) (2 2)(2 1) 4 n n n n n u n n n u n n n n + → → → + + = = = + + + =
故由比值审敛法知原级数收敛. (2)由于，=㎡B≥0(n=2,3,4),故所给级数是正项级数.又由于 p=lim=lim㎡F=B1im原=B, 或 p-发-a-(告a 故由根值审敛法（或比值审敛法）知：当0≤B1时，原级数发散 而当B=时，原级数变为∑㎡，当a1,a为任意实数时， 原级数发散：当=1，a0m=123,故所给级数是正项级数。又由于 a= 故由比值审敛法知当0e时，原级数发散：当a=e时，考察 e 的值。由极限m+月=e的推导过程可知：数列1+广=12,3)是单调增加的，并且 有上界e,即有 0+r4，(n=L2,3).而4=，故1im机，≠0，由级数收敛的必要条件可知原级 数发散 综上所述：当0<a<e时，原级数收敛：当a≥e时，原级数发散. 例5正明级数0+片广收敛。并由此证明=三0+以0 分析所给级数是正项级数，其一般项是化=子+片，含有n次幂，故用根值审敛
故由比值审敛法知原级数收敛． （2）由于 0 ( 2,3,4, ) n n u n n = = ，故所给级数是正项级数．又由于 lim lim lim n n n n n n n n u n n → → → = = = = ， 或 1 1 ( 1) 1 lim lim lim ( ) n n n n n n n u n n u n n + + → → → + + = = = = ， 故由根值审敛法(或比值审敛法)知：当 0 1 时，原级数收敛；当 >1 时，原级数发散； 而当 =1 时，原级数变为 n 1 n = ，当 −1 时，级数收敛；当 −1 时，级数发散． 综上所述：当 0 1 ， 为任意实数时，原级数收敛；当 1， 为任意实数时， 原级数发散；当 =1， −1 时，原级数收敛；当 =1， −1 时，原级数发散． （3）由于 ! >0 ( 0, 1,2,3, ) n n n a n u a n n = = ，故所给级数是正项级数．又由于 1 1 1 ( 1)! lim lim lim ( 1) ! 1 (1 ) n n n n n n n n n n u a n n a a u n a n e n + + → → → + + = = = = + + ， 故由比值审敛法知当 0 a e 时，原级数收敛；当 a e 时，原级数发散；当 a e = 时，考察 1 ( 1,2,3, ) 1 (1 ) n n n u e n u n + = = + , 的值．由极限 1 lim(1 )n n e → n + = 的推导过程可知：数列 1 (1 ) ( 1,2,3, ) n n n + = 是单调增加的，并且 有上界 e ，即有 1 (1 ) ( 1,2,3, ) n e n n + = ， 因此有 1 1 1 (1 ) n n n u e u n + = + ， 由此可得 1 ( 1,2,3, ) n n u u n + = ．而 1 u e = ，故 lim 0 n n u → ，由级数收敛的必要条件可知原级 数发散． 综上所述：当 0 a e 时，原级数收敛；当 a e 时，原级数发散． 例 5 证明级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n = + 收敛，并由此证明 2 1 1 1 1 lim (1 ) 0 3 n k k x n k k → = + = ． 分析 所给级数是正项级数，其一般项是 1 1 2 (1 ) 3 n n n u n = + ，含有 n 次幂，故用根值审敛
法米判别其收敛性.注意到三+刚好是级数+片的部分和，若级数收 敛，则5，有界，从而可得所要证的结论 证明由于 %=0+0m=l23 故所给级数是正项级数。又由于 p=m6-mF+-+片-， 故由根值审敛法知所给级数收敛。由此可知该级数的部分和数列5，}有界，所以 =2+=0. 注在证明级数+片广收敛时，若用比值审敛法，则求p时较复杂。 例6(1)下列说法正确的是(). A.若∑4，收敛，则∑收敛。 B。若∑“收敛，则∑，收敛 C.若∑，收敛，则limm,=0。 D.若∑4.收敛且m么=1，则∑y不一定收敛 (2)(06研)若级数∑a.收敛，则级数(). A.∑la.收敛. B.∑(-1ra,收敛。 Ca,an收敛 D三2收做 解(D取=r方，则可知A,B及C错误。故选D.另外，如果取，=八方 =(-H少方+分则可知虽然级数立，收敛且有m兰=1，但级数立发散：若级数立 收敛且一警=1，当和，都是正项级数时，由比较审敛可知，也收敛，这从另 一方面说明了D是正确的. (2)因为级数∑a,收敛，故级数∑a也收敛，由收敛级数的性质可知D正确.另
法来判别其收敛性．注意到 2 1 1 1 (1 ) 3 n k k k = k + 刚好是级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n = + 的部分和 n s ，若级数收 敛，则 n s 有界，从而可得所要证的结论． 证明 由于 1 1 2 (1 ) >0 ( 1,2,3, ) 3 n n n u n n = + = ， 故所给级数是正项级数．又由于 1 1 1 1 2 lim lim (1 ) lim (1 ) 1 3 3 3 n n n n n n n n n e u n n → → → = = + = + = ， 故由根值审敛法知所给级数收敛．由此可知该级数的部分和数列 { }n s 有界，所以 2 1 1 1 1 1 lim (1 ) lim 0 3 n k k n n n k s → → n k n = + = = ． 注 在证明级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n = + 收敛时，若用比值审敛法，则求 时较复杂． 例 6 （1）下列说法正确的是（ ）． A．若 1 n n u = 收敛，则 1 n n u = 收敛． B．若 1 n n u = 收敛，则 2 1 n n u = 收敛． C．若 1 n n u = 收敛，则 lim 0 n n nu → = ． D．若 1 n n u = 收敛且 lim 1 n n n u → v = ，则 1 n n v = 不一定收敛． （2）（06 研）若级数 1 n n a = 收敛，则级数（ ）． A． 1 n n a = 收敛． B． 1 ( 1)n n n a = − 收敛． C． 1 1 n n n a a + = 收敛． D． 1 1 2 n n n a a + = + 收敛． 解 （1）取 1 ( 1)n n u n = − ，则可知 A，B 及 C 错误．故选 D．另外，如果取 1 ( 1)n n u n = − ， 1 1 ( 1)n n v n n = − + ，则可知虽然级数 1 n n u = 收敛且有 lim 1 n n n u → v = ，但级数 1 n n v = 发散；若级数 1 n n u = 收敛且 lim 1 n n n u → v = ，当 1 n n u = 和 1 n n v = 都是正项级数时，由比较审敛可知 1 n n v = 也收敛。这从另 一方面说明了 D 是正确的． （2）因为级数 1 n n a = 收敛，故级数 1 1 n n a + = 也收敛，由收敛级数的性质可知 D 正确．另
外如果取a=r石，则可知。B及C销误 例7判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 学 (2)2-r-: o8r w名 分析这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴.判别其收敛性的一般方法是：先根 据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成：若不 是，再判别该级数本身是否收敛.若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条 件收敛，判别工作完成：若它不满足菜布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收 敛性。值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若>1，则 该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散. 据，上宁故当p>1时，名收数即原级数能对收效当 01，回420，因此根级数发散 (-
外，如果取 1 ( 1)n n a n = − ，则可知 A，B 及 C 错误． 例 7 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） 1 1 ( 1)n p n n − = − ； （2） 1 ( 1) ( 1 ) n n n n = − + − ； （3） 1 1 ( 1) ( 1)! n n n n n + = − + ； （4） 2 ( 1) ( 1) n n n n = − + − ． 分析 这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴．判别其收敛性的一般方法是：先根 据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成；若不 是，再判别该级数本身是否收敛．若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条 件收敛，判别工作完成；若它不满足莱布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收 敛性．值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若 1 ，则 该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散． 解 （1） 1 ( 1)n n p u n − − = ， 1 n p u n = ．故当 p 1 时， 1 n n u = 收敛，即原级数绝对收敛；当 0 1 p 时， 1 n n u = 发散，但由莱布尼茨定理知 1 n n u = 收敛，即原级数条件收敛；当 p 0 时， lim 0 n n u → ，原级数发散． （2） ( 1) ( 1 ) n n u n n = − + − ， 1 1 1 1 2 n u n n n n n = + − = + + （ n → ），而 1 1 n 2 n = 发散，故由比较审敛法知 1 n n u = 发散．注意到 1 n n u = 收敛（满足莱布尼茨定理条件）， 故原级数条件收敛． （3） 1 ( 1) ( 1)! n n n n u n + = − + ， 1 ( 1)! n n n u n + = + ．由于 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1)! 1 ( 1) lim lim lim ( 2)! 2 n n n n n n n n n u n n n n u n n n n + + + → → → + + + + + + = = = + + 1 1 1 lim (1 )(1 ) 1 2 n n n e → n n n + = + + = + ， 故由比值审敛法知 1 n n u = 发散，注意到 1 lim 1 n n n u u + → ， lim 0 n n u → ，因此原级数发散． （4） 解法 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 = = [1 +o( )] ( 1) ( 1) 2 1+ n n n n n n n u n n n n n n − − − − = − + − − 3 ( 1) 1 ( 1) 1 = o( ) 2 n n n n n n − − − +
因为君条件收敛，级数空石和套白地对收数。，微服级监条件收效 解法2因为 点a=2 1 故级∑“，发散。（虽然原级数是交错级数，但不满足莱布尼茨定理条件，因此不能用莱布 尼茨定理来判别其收敛性)，下面用收敛定义来判别 .万万*店石*方店*+2mm =店方+店方+（方宏++（点园， 由此可见{5}是单调减少的。注意到 -万+万店后店万而+2m市 =-万+5F+(5石*+(2m=2+2m 故数列s.}有界，因而存在极限，不妨设m5.=5,又1im山=0，因此有 lims=lim()=s, 从而数列，}有极限m5,=5,即原级数条件收敛 例8设正项级数立a,与立4，均收敛，证明级数立点收敛. 证明正项级数立0，与立A均收敛，放由收敛级数的性质知级数立兰收敛。由 于a0.b0,则 5回63地. 由比较审敛法知级数5收敛 错误证明由于正项级数a,与6均收敛，故m。<1,一分<1
因为 2 ( 1)n n n = − 条件收敛，级数 3 2 1 n 2 n = 和 2 ( 1) 1 o( ) n n n n = − 绝对收敛，故原级数条件收敛． 解法 2 因为 ( 1) ( 1) n n n u n − = + − 1 ( 1) n n u n = + − 1 n 1 + 1 ( 2,3, ) 1 n n = + ， 故级 2 n n u = 发散．（虽然原级数是交错级数，但不满足莱布尼茨定理条件，因此不能用莱布 尼茨定理来判别其收敛性），下面用收敛定义来判别. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 4 7 6 2 1 2 n s n n = − + − + − + + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 4 7 6 2 1 2 n n = − + − + − + + − + ， 由此可见 2 { }n s 是单调减少的．注意到 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 2 2 1 n s n n = − + − + − + − − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 2 1 2 2 1 n n n = − + − + − + + − + − + 1 2 − ， 故数列 2 { }n s 有界，因而存在极限，不妨设 2 lim n n s s → = ．又 2 1 lim 0 n n u + → = ，因此有 2 1 2 2 1 lim lim( ) n n n n n s s u s + + → → = + = ， 从而数列 { }n s 有极限 lim n n s s → = ，即原级数条件收敛． 例 8 设正项级数 1 n n a = 与 1 n n b = 均收敛，证明级数 1 n n n a b = 收敛． 证明 正项级数 1 n n a = 与 1 n n b = 均收敛，故由收敛级数的性质知级数 1 2 n n n a b = + 收敛．由 于 >0, >0 n n a b ，则 2 2 ( ) ( ) 2 2 n n n n n n a b a b a b + + = ， 由比较审敛法知级数 1 n n n a b = 收敛． 错误证明 由于正项级数 1 n n a = 与 1 n n b = 均收敛，故 1 lim 1 n n n a a + → ， 1 lim 1 n n n b b + →
豪居辰后后 由比值审敛法知级数∑√，收敛。 错解分析正项级数的比值审敛法的逆命题不成立，也就是说，若<1，则正项级数 三a收敛：反之，若正项级数2a收敛，并非一定有p<1,也有可能1或极限m 不存在。同样需要注意的是，正项级数的根值审敛法的逆命题也不成立。 例9若幂级数∑a,x在x=2处收敛，则该级数在x=-1处（)人 A.绝对收敛.B.条件收敛C.发散.D.敛散性不能确定 解因为幂级数三a在x=2处收敛，由他e1定理可知，对于适合不等式<2的一 切x使该级数绝对收敛，即该级数在区间(-2,2)内绝对收敛.而-1(-2,2)，故该级数在 x=-1处绝对收敛，因此答案是A, 例10若幂级数a,(x-少在x=-1处收敛， (1)试讨论该幂级数在x=2处的敛散性 (2)该幂级数在x=4处收敛性如何？ 解(1)令1=x-1,则 Ea(-iy-Ear, 由幂级数(x-在x=-1处收敛知，幕级数∑r在1=-2处收敛，由b©1定理可知， 对于适合不等式川<2的一切1使该级数绝对收敛，即幂级数∑”在区间(-2,2)内绝对收 敛：从而可知∑4，(x-少在(-13)内绝对收敛.而x=2是区间(~L3)内的点，故幂级数 0,(-y在x=2处绝对收敛. (2)由(1)知，幂级数∑a,(x-1)°在x=4处的收敛性不能确定. 错误解答(1)因为幂级数∑a.(x-)在x=-1处收敛，由be1定理可知，对于适 合不等式x-<1的一切x使该级数绝对收敛，即该级数在区间(0,2)内绝对收敛.而x=2是 区间(0,2)的端点，故该级数在x=2处的收敛性不能确定.。 (2)由(1)知，该级数在x=4处的收敛性也不能确定
1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b + + + + + + → → → → = = = ， 由比值审敛法知级数 1 n n n a b = 收敛． 错解分析 正项级数的比值审敛法的逆命题不成立，也就是说，若 1 ，则正项级数 1 n n a = 收敛；反之，若正项级数 1 n n a = 收敛，并非一定有 1．也有可能 =1 或极限 1 lim n n n a a + → 不存在．同样需要注意的是，正项级数的根值审敛法的逆命题也不成立． 例 9 若幂级数 0 n n n a x = 在 x = 2 处收敛，则该级数在 x =−1 处（ ）． A．绝对收敛． B．条件收敛 C．发散． D．敛散性不能确定． 解 因为幂级数 0 n n n a x = 在 x = 2 处收敛，由 Abel 定理可知，对于适合不等式 x 2 的一 切 x 使该级数绝对收敛，即该级数在区间 ( 2,2) − 内绝对收敛．而 − − 1 ( 2,2) ，故该级数在 x =−1 处绝对收敛，因此答案是 A． 例 10 若幂级数 0 ( 1)n n n a x = − 在 x =−1 处收敛， （1）试讨论该幂级数在 x = 2 处的敛散性； （2）该幂级数在 x = 4 处收敛性如何？ 解 （1）令 t x = −1 ，则 0 0 ( 1)n n n n n n a x a t = = − = ， 由幂级数 0 ( 1)n n n a x = − 在 x =−1 处收敛知，幂级数 0 n n n a t = 在 t =−2 处收敛，由 Abel 定理可知， 对于适合不等式 t 2 的一切 t 使该级数绝对收敛，即幂级数 0 n n n a t = 在区间 ( 2,2) − 内绝对收 敛；从而可知 0 ( 1)n n n a x = − 在 ( 1,3) − 内绝对收敛．而 x = 2 是区间 ( 1,3) − 内的点，故幂级数 0 ( 1)n n n a x = − 在 x = 2 处绝对收敛． （2）由（1）知，幂级数 0 ( 1)n n n a x = − 在 x = 4 处的收敛性不能确定． 错误解答 （1）因为幂级数 0 ( 1)n n n a x = − 在 x =−1 处收敛，由 Abel 定理可知，对于适 合不等式 x − 1 1 的一切 x 使该级数绝对收敛，即该级数在区间 (0,2) 内绝对收敛．而 x = 2 是 区间 (0,2) 的端点，故该级数在 x = 2 处的收敛性不能确定． （2）由（1）知，该级数在 x = 4 处的收敛性也不能确定．
错解分析上面的错误原因在于错误地使用了Ab|定理，Ab1定理是对形如∑a,x的 级数适用。而对于空Q,-y则不能直接用。 例11求下列幂级数的收敛半径与收敛域： r六 8)=x 4-产 分析(1)所给幂级数不缺项，故可直接用公式来求幂级数的收敛半径，求ρ时可用 比值法也可用根值法，用后者时要用到结论：m所+1=1， 么，()=一X,幕级数缺少偶次项，故不能直接用公式求幂级数的半径 用比值法或根值法，这里用比值法较好. 《)1一，则级数可化为空。字，样可技前面的方法未求读帮级数的 收敛域，再利用关系1=x-3就可求得原级数的收敛域. (④)4=-广一号产，幂级数缺少奇次项，故不能直接用公式求幂级数的半径， 而用比值法或根值法，这里用根值法较好 解(1)由于 p-。 ㎡2+1 1+ 2 故所求幂级数的收敛半径为R=当x=时，原级最为区。，收敛：当=号时， 原级数为，收敛。故所求影级数的收敛城为岁 (2)由于 o-回r希-r-=-, 由比值审敛法知：当px)=1,即>1 时，幂级数发散.由幂级数收敛半径的定义知，所求幂级数的收敛半径为R=1,又因为当 一时，级数为空-收数。当时，级数为区广也收敛。故所 求幂级数的收敛域为[-1， 3)解法1令1=-。则原级数可化为空，由于
错解分析 上面的错误原因在于错误地使用了 Abel 定理，Abel 定理是对形如 0 n n n a x = 的 级数适用，而对于 0 0 ( )n n n a x x = − 则不能直接用． 例 11 求下列幂级数的收敛半径与收敛域： （1） 2 1 2 1 n n n x n = + ； （2） 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n + = − + ； （3） 0 ( 3) 3 n n n x n = − − ； （4） 1 2 1 4 ( 1) n n n n x n − = − ． 分析 （1）所给幂级数不缺项，故可直接用公式来求幂级数的收敛半径，求 时可用 比值法也可用根值法，用后者时要用到结论： 2 lim 1 1 n n n → + = ． （2） 2 1 ( ) ( 1) 2 1 n n n x u x n + = − + ，幂级数缺少偶次项，故不能直接用公式求幂级数的半径，而 用比值法或根值法，这里用比值法较好． （3）令 t x = − 3 ，则原级数可化为 0 1 3 n n n t n = − ，这样就可按前面的方法来求该幂级数的 收敛域，再利用关系 t x = − 3 就可求得原级数的收敛域． （4） 1 2 4 ( ) ( 1) n n n n u x x n − = − ，幂级数缺少奇次项，故不能直接用公式求幂级数的半径， 而用比值法或根值法，这里用根值法较好． 解 （1）由于 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 lim lim 2lim 2lim 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 1 (1 ) n n n n n n n n a n n n a n n n n + + → → → → + + + = = = = = + + + + + + ， 故所求幂级数的收敛半径为 1 1 2 R = = ．当 1 2 x = 时，原级数为 2 1 1 n n 1 = + ，收敛；当 1 2 x = − 时， 原级数为 2 1 ( 1) 1 n n n = − + ，收敛．故所求幂级数的收敛域为 1 1 [ , ] 2 2 − ． （2）由于 ( ) x = 1 ( ) lim ( ) n n n u x u x + → = 2 3 1 2 1 2 1 lim ( 1) ( 1) 2 3 n n n n n x n n x + + → + + − − + = 2 1 2 lim n 2 3 n x → n + + = 2 x ， 由比值审敛法知：当 2 ( ) 1 x x = ，即 x 1 时，幂级数绝对收敛；当 2 ( ) 1 x x = ，即 x 1 时，幂级数发散．由幂级数收敛半径的定义知，所求幂级数的收敛半径为 R =1 ．又因为当 x = 1 时，级数为 1 1 ( 1) 2 1 n n n = − + ，收敛；当 x =−1 时，级数为 1 1 1 ( 1) 2 1 n n n + = − + ，也收敛．故所 求幂级数的收敛域为 [ 1,1] − ． （3）解法 1 令 t x = − 3 ，则原级数可化为 0 1 3 n n n t n = − ，由于