第七章多元函数微分法及其应用 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.若二元函数：=列在点R化)处的两个偏号数会·等存在，则（人 A.fx,)在卫点连续： B.一元函数z=fx,)和：=fx,y)分别在x=和y=%处连续： Cx功在P点的微分为止=温本+小： D.化)在R点的梯度为grad)=标。 2.极限my（) A.等于0. B.等于1. C.等于 D.不存在. 3.函数fx,y)=x2-2(a>0为常数)在(0,0)处( ). A.不取极值 B.取极小值. C.取极大值. D.是否取极值与a有关. 4.设z=fu,),其中u=e,v=x+y,且有下面的运算： du ov 1.a0 对此(). A.I、Ⅱ都不正确， B.I正确，Ⅱ不正确 C.I不正确，Ⅱ正确 D.I、Ⅱ都正确. 5.曲面e严+x-y+:=3上点(，0，)处的切平面(). A.通过y轴. B.平行于y轴. C.垂直于y轴. D.A,B,C都不对. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数：=√xsiny的定义域为_
1 第七章 多元函数微分法及其应用 A 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．若二元函数 z f x y = ( , ) 在点 0 0 0 0 P x y z ( , , ) 处的两个偏导数 z x ， z y 存在，则（ ）． A． f x y ( , ) 在 P0 点连续； B．一元函数 0 z f x y = ( , ) 和 0 z f x y = ( , ) 分别在 0 x x = 和 0 y y = 处连续； C． f x y ( , ) 在 P0 点的微分为 0 0 P P z z dz dx dy x y = + ； D． f x y ( , ) 在 P0 点的梯度为 0 0 ( ) , P z z f P x y = grad ． 2．极限 2 2 4 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + （ ）． A．等于 0． B．等于 1． C．等于 1 2 ． D．不存在． 3．函数 2 2 f x y x ay ( , ) = − （ a 0 为常数）在 (0,0) 处（ ）． A．不取极值． B．取极小值． C．取极大值． D．是否取极值与 a 有关． 4．设 z f u v = ( , ) ，其中 x u e − = ， v x y = + ，且有下面的运算： Ⅰ． z f f x e x u v − = − + ； Ⅱ． 2 2 2 z f x y v = ． 对此（ ）． A．Ⅰ、Ⅱ都不正确． B．Ⅰ正确，Ⅱ不正确． C．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 D．Ⅰ、Ⅱ都正确． 5．曲面 3 xyz e x y z + − + = 上点 (1,0,1) 处的切平面（ ）． A．通过 y 轴． B．平行于 y 轴． C．垂直于 y 轴． D．A，B，C 都不对． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．函数 z x y = sin 的定义域为 ．
2.设fx+八，x-y)=y+y2，则fxy)= 3.函数u=ln(x2+y2+2)在点M0,2,-2)处的梯度grad4u= 4.设=6加子则在口中处的教为 5.已知曲面：=y上的点P处的法线1平行于直线1：，6-y-3-2-,则法线1 2 -1 1 的方程为」 三、解答下列各题（每小题6分，共30分） 1.设：=(，川由方程：+x=ey所确定，求 a 2.已知曲线x=0s1,y=如1，：=am在(0,1)处的一个切向量与0x轴正向夹角 为锐角，求此向量与O:轴的夹角， 3.求函数：=y在闭区域D:x≥0，y≥0，x+ys1上的最大值 4.设函数：=f(2x-y)+g(x,y),其中∫是二阶可导函数，g具有二阶连续的偏导数， 5.求曲面x2+y2+2=25上点(2,3,25)处的切平面方程和法线方程. 四、设“=fx,y,)有连续偏导数，且 x=rsinecoso,y=rsinesino,==rcos0, 证明若密学+是0，则与r无关(8分) 五、设n是曲面：=+号在L2)处指向外侧的法向量，求函数 ++在点P处沿方向n的方向导数8分) 六、求曲面√F+√+E=1的一切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。(8 分) X=COSV 七、设y=usinv确定函数z=(x,),求，·(8分) =w
2 2．设 2 f x y x y xy y ( , ) + − = + ，则 f x y ( , ) = ． 3．函数 2 2 2 u x y z = + + ln( ) 在点 M(1,2, 2) − 处的梯度 M grad u = _． 4．设 sin x x u e y − = ，则 2 u x y 在 1 (2, ) 处的值为 ． 5．已知曲面 z xy = 上的点 P 处的法线 l 平行于直线 1 6 3 2 1 : 2 1 1 x y z l − − − = = − ，则法线 l 的方程为 ． 三、解答下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1．设 z z x y = ( , ) 由方程 z y z x e − + = 所确定，求 2 z y x ． 2．已知曲线 x t = cos ， y t = sin ， tan 2 t z = 在 (0,1,1) 处的一个切向量与 Ox 轴正向夹角 为锐角，求此向量与 Oz 轴的夹角． 3．求函数 z xy = 在闭区域 D x y x y : 0, 0, 1 + 上的最大值． 4．设函数 z f x y g x xy = − + (2 ) ( , ) ，其中 f 是二阶可导函数，g 具有二阶连续的偏导数， 求 2 z x y ． 5．求曲面 2 2 2 x y z + + = 25 上点 (2,3,2 3) 处的切平面方程和法线方程． 四、设 u f x y z = ( , , ) 有连续偏导数，且 x r = sin cos ， y r = sin sin ， z r = cos ， 证明：若 0 u u u x y z x y z + + = ，则 u 与 r 无关．（8 分） 五、设 n 是曲面 2 2 2 2 y z x = + 在 P(1,2, 3) 处指向外侧的法向量，求函数 2 2 2 3 3 x y z u x + + = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数． （8 分） 六、求曲面 x y z + + =1 的一切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．（8 分） 七、设 cos sin x u v y u v z uv = = = 确定函数 z z x y = ( , ) ，求 x z ， y z ．（8 分）
八、求曲面：=++1上同时平行直线马=：与直线L:2x=y=:的切平面 方程.(8分) B级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） xy L.(97研)设红，)=+>任列00 ,则fx,y)在0,0)处( 10 (x,y)=(0.0) A.连续且存在偏导数： B.不连续但存在偏导数： C.连续但不存在偏导数： D.不连续也不存在偏导数 2.设fx,)在(。乃)处偏导数存在且a邱≠0，则 画+4)-f飞-A2.( ). Ar A.(a-B)f(0%) B.af(xo-y)-Bf(xo-Yo): C.(a+B)f,%): D.af(xo>Yo)+Bf(xo-yo). 3.当()成立时能够推出x,)在()点可微，且全微分d=0. A.(x,)在点()处两个偏导数=0，)=0： B.fx,y)在点(o%)处的全增量A= △r△y Vx)2+(△y)F C.f)在点化)处的全增量ymAP+] V△x)2+(△y)2 D.f,)在点(，)处的全增量4=Ax+A]sin (A)+ 4.曲线y=2 =x2+y2 上点(L,1,2)处的切线方程为(). 3
3 八、求曲面 2 2 z x y = + +1 上同时平行直线 1 : 2 2 x y L z = = − 与直线 2 L x y z : 2 = = 的切平面 方程．（8 分） B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．（97 研）设 2 2 ,( , ) (0,0) ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y = + = ，则 f x y ( , ) 在 (0,0) 处（ ）． A．连续且存在偏导数； B．不连续但存在偏导数； C．连续但不存在偏导数； D．不连续也不存在偏导数． 2．设 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 处偏导数存在且 0 ，则 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x x y x → + − − =（ ）． A． 0 0 ( ) ( , ) x − f x y ； B． 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y f x y f x y − ； C． 0 0 ( ) ( , ) x + f x y ； D． 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y f x y f x y + ． 3．当（ ）成立时能够推出 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 点可微，且全微分 df = 0 ． A． f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处两个偏导数 0 x f = ， 0 y f = ； B． f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量 2 2 ( ) ( ) x y f x y = + ； C． f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量 2 2 2 2 sin[( ) ( ) ] ( ) ( ) x y f x y + = + ； D． f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处的全增量 2 2 2 2 1 [( ) ( ) ]sin ( ) ( ) f x y x y = + + ． 4．曲线 2 2 2 y x z x y = = + 上点 (1,1,2) 处的切线方程为（ ）．
A分安 B+岁岩 6 C.x=+.+4: D.=.-2 2 6 1 -2 8 5.设fx,)=0y-x20y-x),P0,0),M,),则以下结论成立的是(). A.P,M均为fx,)的极值点： B.P,M均不是f(x,)的极值点： C.P是∫x,)的极值点，而M不是： D.M是fx)的极值点，而P不是， 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.由方程+√+)y严+2=√万所确定的函数：=(x,)在点1,0，-)处的全微分 为 2.函数：x=。5dh在P0,)处的最大方向导数为 3.设：=r+y,则在 4.曲线3x+2广=2绕)轴旋转一周所得旋转曲面在点05.)处指向外侧的单 Ξ=0 位法向量为 5.设u-x+m+o-am小+易5d5,其中p与w分别具有连续的一二 的号改共中为故等器 三、解答下列各题（每小题6分，共30分） 1.设fx,以，)=x2z3,=(x,)是由方程x2+y2+2-302=0确定的隐函数，求 ,) 2及功及油方程组仁8所南定的通或，季会会 3.求函数：=x2+y2-12x+16y在区域D:x2+y2≤25内的最大值和最小值. 「u=f(x,y) 4.设函数u=x)由方程组{g(x,y,)=0所确定，其中∫，g,h具有连续的一阶偏导数 hx,)=0
4 A． 1 1 2 1 2 8 x y z − − − = = ； B． 1 1 2 1 2 6 x y z − − − = = ； C． 1 4 2 6 y z x + + = = ； D． 1 1 2 1 2 8 x y z − − − = = − ． 5．设 2 4 f x y y x y x ( , ) ( )( ) = − − ， P(0,0)， M (1,1) ，则以下结论成立的是（ ）． A．P，M 均为 f x y ( , ) 的极值点； B．P，M 均不是 f x y ( , ) 的极值点； C．P 是 f x y ( , ) 的极值点，而 M 不是； D．M 是 f x y ( , ) 的极值点，而 P 不是． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． 由方程 2 2 2 xyz x y z + + + = 2 所确定的函数 z z x y = ( , ) 在点 (1,0, 1) − 处的全微分 为 ． 2．函数 2 2 2 0 ( , ) t x y z x y e dt + − = 在 P(0,1) 处的最大方向导数为 _ ． 3．设 arctan x y y z x y = + ，则 z x = _ ， z y = _ ． 4．曲线 2 2 3 2 12 0 x y z + = = 绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面在点 (0, 3, 2) 处指向外侧的单 位法向量为 ． 5．设 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x at x at u x at x at d a + − = + + − + ，其中 与 分别具有连续的一、二 阶导数，其中 a 为常数， 2 2 2 2 2 u u a t x − = ． 三、解答下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1．设 2 3 f x y z x yz ( , , ) = ， z z x y = ( , ) 是由方程 2 2 2 x y z xyz + + − = 3 0 确定的隐函数，求 (1,1,1) x f ． 2．设 u u x y = ( , ) 及 v v x y = ( , ) 由方程组 2 2 0 0 u v x u v y − + = + − = 所确定的隐函数，求 u x ， v x ． 3．求函数 2 2 z x y x y = + − + 12 16 在区域 2 2 D x y : 25 + 内的最大值和最小值． 4．设函数 u u x = ( ) 由方程组 ( , ) ( , , ) 0 ( , ) 0 u f x y g x y z h x z = = = 所确定，其中 f g h , , 具有连续的一阶偏导数
且k≠0，g≠0，求 dx 5.求由方程2x2+2y2+2+8x-+8=0确定的函数：=(x,)的极值 风、已蜘知函数=)w()其中p,v均有连续的=阶号数。求证。 +2r0.剂 五、(97研)设直线1：F+y+b=0 x+y-:-3=0 在平面x上，而平面x与曲面：=+少相切 于点(L-2,5),求a、b之值.(8分) 六、抛物面：=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短 距离.(8分) 七、正明：唐面（仁二二）-0的切平面总通过一定点，其中函数心，)可微，。 b、c为常数.(8分). 八、若函数fx,y)恒满足关系式f红，少，)=广x,以，)，就称此函数为k次齐次函 数。证明：k次齐次函数fx,y,)必满足关系式 景+影+是=.8分)
5 且 0 z h ， 0 y g ，求 du dx ． 5．求由方程 2 2 2 2 2 8 8 0 x y z xz z + + + − + = 确定的函数 z z x y = ( , ) 的极值． 四、已知函数 y y u x x x = + ，其中 ， 均有连续的二阶导数，求证： 2 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u x xy y x x y y + + = ．（8 分） 五、（97 研）设直线 0 : 3 0 x y b l x ay z + + = + − − = 在平面 上，而平面 与曲面 2 2 z x y = + 相切 于点 (1, 2,5) − ，求 a 、b 之值．（8 分） 六、抛物面 2 2 z x y = + 被平面 x y z + + =1 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短 距离．（8 分） 七、证明：曲面 , 0 x a y b f z c z c − − = − − 的切平面总通过一定点，其中函数 f u v ( , ) 可微， a 、 b 、 c 为常数．（8 分）． 八、若函数 f x y z ( , , ) 恒满足关系式 ( , , ) ( , , ) k f tx ty tz t f x y z = ，就称此函数为 k 次齐次函 数．证明： k 次齐次函数 f x y z ( , , ) 必满足关系式 ( , , ) f f f x y z kf x y z x y z + + = ．（8 分）