第十一章微分方程 三、典型例题解析 例1求通解为y=Ge+c,x的微分方程，其中G、6,是任意常数. 分析所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的. 解由y=Ge+6,y=Ge,解得G=二6=y-y,将G,6代入y=6e+Gr整 理得(x-1)y-y+y=0,此即为所求微分方程 例2试证y=c心-w-1是方程y-9y=9的解，但不是它的通解，其中c,9是任 意常数. 分析这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数， 代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式. 证y=cex-1可以写成 y=ce"xew-l,记c=cee 则有y=ce-1,将其代入方程y”-9y=9得 左端=(ce-)'-9cea-l)=（-3cey-9ce+9 =9ce-9ceu+9=9=右端， 所以y=c-x-1是方程的解，由于解中只含有一个独立的任意常数，故它不是该方程 的通解. 注需要弄清楚解、通解的定义，通解中独立常数的个数应与方程的阶数相同。 例3求下列微分方程的通解： (1)y=(x+ay+b): (2)y'-[ln()-月=0. 分析在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后根据不同类型，确定解题 方法. 解(1)方程两端同时除以x(y+b),则有 中62 积分得 378
第十一章 微分方程 378 三、典型例题解析 例 1 求通解为 1 2 x y c e c x = + 的微分方程，其中 1 c 、 2 c 是任意常数． 分析 所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的． 解 由 1 2 1 , x x y c e c y c e = + = ，解得 1 2 , x y c c y y e = = − ，将 1 2 c c, 代入 1 2 x y c e c x = + 整 理得 ( 1) 0 x y xy y − − + = ，此即为所求微分方程． 例 2 试证 2 3 1 1 c x y c e − = − 是方程 y y − = 9 9 的解，但不是它的通解，其中 1 2 c c, 是任 意常数． 分析 这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数， 代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式． 证 2 3 1 1 c x y c e − = − 可以写成 2 3 1 1 c x y c e e − = − ，记 2 1 c c c e = ， 则有 3 1 x y ce − = − ，将其代入方程 y y − = 9 9 得 左端 3 ( 1) x ce − = − 3 9( 1) x ce − − − 3 ( 3 )x ce − = − 3 9 9 x ce − − + 3 3 9 9 9 9 x x ce ce − − = − + = 右端， 所以 2 3 1 1 c x y c e − = − 是方程的解，由于解中只含有一个独立的任意常数，故它不是该方程 的通解． 注 需要弄清楚解、通解的定义，通解中独立常数的个数应与方程的阶数相同． 例 3 求下列微分方程的通解： （1） xyy x a y b = + + ( )( ) ； （2） xy y xy − − = [ln( ) 1] 0 ． 分析 在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后根据不同类型，确定解题 方法． 解 （1）方程两端同时除以 x y b ( ) + ，则有 y x a dy dx y b x + = + ， 积分得
第十一章微分方程 y-binly+bEx+alnlxl+c 故通解为 Ixly+b的=e9er-a, 令ea=C,则 lxply+b[=Ce, 而y=-b是方程的解，如果在上述通解中允许C=0,则y=-b也包含在该通解中，因 而，原方程的通解是 IxPly+b/=Ce, 其中C是任意常数. (2)令u=y,则有=y+y,代入原方程得 -y-nu-)=0, 即=yh,所以，W=“nu,分离变量得血-查，于是 ulnu x In|in=Inx|+ing, ,得适解 即有血 r ln(y=C(这里C=±G). 注1如果题目要求是求方程的所有解，本题(1)中，当用xy+b)去除方程时， 可能导致方程失去满足x心y+b)=0的解，即y=-b,所以要对此解进行分析. 注2当方程中出现f,.了x士以白等形式的项时，相应地，通常要做如下 些变量替换u=y,=x士y,u=上等。 例4解方程密=广cs,并求满是初始条件儿=1时的特解 解分离变量得空=c0sxh,两边积分则有 1 从而可得通解为 379
第十一章 微分方程 379 1 y b y b x a x c − + = + + ln | | ln | | ， 故通解为 1 | | | | a b y x c x y b e e − − + = ， 令 1 c e C − = ，则 | | | | a b y x x y b Ce − + = ， 而 y b =− 是方程的解，如果在上述通解中允许 C = 0 ，则 y b =− 也包含在该通解中，因 而，原方程的通解是 | | | | a b y x x y b Ce − + = ， 其中 C 是任意常数． （2）令 u xy = , 则有 u y xy = + ，代入原方程得 u y y u − − − = (ln 1) 0 ， 即 u y u = ln ，所以， ln u u u x = ，分离变量得 ln du dx u u x = ，于是 1 ln | ln | ln | | ln u x c = + ， 即有 1 ln u c x = ， 1 ln u c x = ，得通解 ln( ) xy Cx = （这里 C c = 1 ）． 注 1 如果题目要求是求方程的所有解，本题（1）中，当用 x y b ( ) + 去除方程时， 可能导致方程失去满足 x y b ( ) 0 + = 的解，即 y b =− ，所以要对此解进行分析． 注2 当方程中出现 ( ), ( ), ( ) y f xy f x y f x 等形式的项时，相应地，通常要做如下一 些变量替换 u xy = ，u x y = ， y u x = 等． 例 4 解方程 2 cos dy y x dx = ，并求满足初始条件 0 1 x y = = 时的特解． 解 分离变量得 2 cos dy xdx y = ，两边积分则有 1 sin x c y − = + ， 从而可得通解为
第十一章微分方程 y=-sinx+c (其中c是任意常数).另外，方程还有解y=0,不包含在该通解中，故需补上. 为了求特解，将x=0,y=1代入通解得c=-1,故所求的特解为 y=1-sinx 例5(o1研)设函数)在Q+o内连续，0-且对任意x1e0o)有 "f(uduf(udu+xfudu, 求fx). 分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导， 将积分方程转化为解微分方程。解此微分方程，并利用己知条件即可求出函数∫(x) 解在等式 fuh=j广fud+x对ffu 两端关于1求导，得 xf(t)=[广fu)d+xf0）, 令1=1可得 xfx)=广fu)du+xf), 由于f四=子，从而有 x)-广fuda+x 对上式两端关于x求导，得 +=+ 即了=是所以 f(x)-3Ix+C. 将0=代入上式，得C=多，故 fx)=2nx+). 380
第十一章 微分方程 380 1 sin y x c = − + （其中 c 是任意常数）．另外，方程还有解 y = 0 ，不包含在该通解中，故需补上． 为了求特解，将 x y = = 0, 1 代入通解得 c =−1 ，故所求的特解为 1 1 sin y x = − ． 例５（01 研） 设函数 f x( ) 在 (0, ) + 内连续， 5 (1) 2 f = ，且对任意 x t, (0, ) + 有 1 1 1 ( ) ( ) ( ) xt x t f u du t f u du x f u du = + ， 求 f x( ). 分析 条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导， 将积分方程转化为解微分方程．解此微分方程，并利用已知条件即可求出函数 f x( ) ． 解 在等式 1 1 1 ( ) ( ) ( ) xt x t f u du t f u du x f u du = + 两端关于 t 求导，得 1 ( ) ( ) ( ) x xf xt f u du xf t = + ， 令 t = 1 可得 1 ( ) ( ) (1) x xf x f u du xf = + ， 由于 5 (1) 2 f = ，从而有 1 5 ( ) ( ) 2 x xf x f u du x = + ， 对上式两端关于 x 求导，得 5 ( ) ( ) ( ) 2 f x xf x f x + = + ， 即 5 ( ) 2 f x x = ，所以 5 ( ) ln 2 f x x C = + ， 将 5 (1) 2 f = 代入上式，得 5 2 C = ，故 5 ( ) (ln 1) 2 f x x = + ．
第十一章微分方程 例6(98研)已知函数y=x)在任意点x处的增量 且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，O)=π，则等于(). A.2x. B. C.e D.xei 分析由微分定义及原题设可知小=告， 解此方程可求得x),进而可求得 ). 解法1由于A=得+a,且当Ax→0时，a是△x的高阶无穷小由微分的定 义可知 本血，即虫中 y1+x 两边积分得 Inly arctanx+C y=Cectmnx, 其中C=e9,由0)=π，则有C=π，于是 l=e=πe 故选D. 然法2等式=学+e丙边除以并令→0，得 四是品+四名 1 即安以下过程同解法1. 例7求方程y+y=2√何的通解 分折原方程可化为齐次方程兰-2店：也可写成y+=云还可装元 令y=u. 解法1将方程化为齐次方程+兰-2眼，令兰，则有=+，代入原方 程得 381
第十一章 微分方程 381 例 6（98 研） 已知函数 y y x = ( ) 在任意点 x 处的增量 2 1 y x y x = + + ， 且当 →x 0 时， 是 x 的高阶无穷小， y(0) = ，则 y(1) 等于（ ）． A． 2 ． B． ． C． 4 e ． D． 4 e ． 分析 由微分定义及原题设可知 2 1 ydx dy x = + ， 解此方程可求得 y x( ) ， 进而可求得 y(1) ． 解法 1 由于 2 1 y x y x = + + ，且当 →x 0 时， 是 x 的高阶无穷小，由微分的定 义可知 2 2 1 1 y x y dy dx x x = = + + ，即 2 1 dy dx y x = + ， 两边积分得 1 ln | | arctan y x C = + 即 arctan x y Ce = ， 其中 C eC1 = ．由 y(0) = ，则有 C = ．于是 arctan1 4 y e e (1) , = = 故选 D． 解法 2 等式 2 1 y x y x = + + 两边除以 x 并令 →x 0 ，得 2 0 0 lim lim x x 1 y y x x x → → = + + ， 即 2 , 1 dy y dx x = + 以下过程同解法 1． 例 7 求方程 xy y xy + = 2 的通解． 分析 原方程可化为齐次方程 2 y y y x x + = ；也可写成 1 2 1 2 y y y x x + = ；还可换元 令 xy u = ． 解法 1 将方程化为齐次方程 2 y y y x x + = ，令 y u x = ，则有 y u xu = + ，代入原方 程得
第十一章微分方程 u+x+u=2√a, 即 du G习0， 于是 会”0 积分得 Inlxl+Inlvu-1=C 将上=山代入该式，故通解为 √历-x=C(这里C=e). 据法2原方程可写成了+=云为时对应的伯努利方配。食：= 得线性方程 止1 1 在+云左 由一阶非齐次线性方程的通解公式可得 j(So(x)+. 其中A云Q在·积分求出：并代入：=)户得酒解 -x=C, 其中C取任意常数. 解法3令xy=u,则xy+y=,可得 =26即=2， 积分得 382
第十一章 微分方程 382 u xu u u + + = 2 ， 即 ( ) 2 0 1 du dx x u u + = − ， 于是 0 1 dx d u x u + = − ， 积分得 1 ln | | ln | 1| x u C + − = ， 将 y u x = 代入该式，故通解为 xy x C − = （这里 1 c C e = ）． 解法 2 原方程可写成 1 2 1 2 y y y x x + = ， 为 1 2 n = 时对应的伯努利方程， 令 1 2 z y = ， 得线性方程 1 1 2 dz z dx x x + = ， 由一阶非齐次线性方程的通解公式可得 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dx z e Q x e dx C − = + ， 其中 1 1 ( ) , ( ) 2 P x Q x x x = = ．积分求出 z 并代入 1 2 z y = 得通解 xy x C − = ， 其中 C 取任意常数． 解法 3 令 xy u = ，则 xy y u + = , 可得 u u = 2 即 2 du dx u = ， 积分得
第十一章微分方程 2.u=2x+C 即有 x-y=C, 其中C为任意常数. 例8求做分方程安3y=产的解。 分析这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可直接利用公式. 解法1套用公式直接求其通解.这里P(x)=3,Qx)=e2,将其代入公式 y=ea恤eea恤+CO, 得原方程的通解为 y-ef f+c)=+ce. 解法2用常数变易法求其通解。其对应的齐次线性方程为安+3少=0，分离变量 后求得其通解为y=Ce,假设y=C(x)e是原方程的解，代入原方程得C(x)=e, 积分则有 C()=+C 故原方程的通解为 例9求微分方程客古的解。 解法1原方程化为少。工 恋4此为济次方程，令，得 业+x=1* 分离变量有( 。, 383
第十一章 微分方程 383 1 2 2 u x C = + ， 即有 x xy C − = ， 其中 C 为任意常数． 例 8 求微分方程 2 3 dy x y e dx + = 的解． 分析 这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可直接利用公式． 解法 1 套用公式直接求其通解．这里 P x( ) 3 = ， 2 ( ) x Q x e = ，将其代入公式 ( ) ( ) ( ( ) ) P x dx P x dx y e Q x e dx C − = + ， 得原方程的通解为 3 3 2 2 3 1 ( ) 5 dx dx x x x y e e e dx C e Ce − − = + = + ． 解法 2 用常数变易法求其通解，其对应的齐次线性方程为 3 0 dy y dx + = ，分离变量 后求得其通解为 3x y Ce− = ，假设 3 ( ) x y C x e− = 是原方程的解，代入原方程得 5 ( ) x C x e = ， 积分则有 1 5 ( ) 5 x C x e C = + ， 故原方程的通解为 3 2 1 5 x x y Ce e − = + ． 例 9 求微分方程 dy y dx x y = + 的解． 解法 1 原方程化为 1 y dy x dx y x = + ，此为齐次方程，令 y u x = ，得 1 u u u x u + = + ， 分离变量有 2 1 1 1 ( )du dx u u x − − = ， 积分得 1 ln | | ln | | u x C u − = +
第十一章微分方程 将“=士代入上式得该方程通解为 x=Cy+ylnlyl. 茶法2原方程可变形为停，此为价成准木衣方起其中0)：一子 Q)=1,由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为 x=Cy+yInlyl. 例10设曲线积分 [[f(x)-e']sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数且fO)=0,且cosy不恒等于零，则f(x)等 于(）. A.(e-e). B.(e-e). C.(e'+e)-1. D.1-e+e) 分析由曲线积分 [[f(x)-e']sinydx-f(x)cosydy 与路径无关的充分必要条件可知， 会-a-/-e小sm 从而可得关于x)的微分方程，解此微分方程即可. 解由题设可得 云-/@ea=U-e1Bsm 于是结合cosy不恒等于零，即得 f'(x)+fx)=e', 解得 =G+C). 由0)=0得C=号故有 )-e 2 384
第十一章 微分方程 384 将 y u x = 代入上式得该方程通解为 x Cy y y = + ln | | ． 解法 2 原方程可变形为 1 1 dx x dy y − = ，此为一阶线性非齐次方程，其中 1 P y( ) y = − ， Q y( ) 1 = ，由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为 x Cy y y = + ln | | ． 例 10 设曲线积分 [ ( ) ]sin ( )cos x L f x e ydx f x ydy − − 与路径无关，其中 f x( ) 具有一阶连续导数且 f (0) 0 = ，且 cos y 不恒等于零，则 f x( ) 等 于（ ）． A． 1 ( ) 2 x x e e − − ． B． 1 ( ) 2 x x e e − − ． C． 1 ( ) 1 2 x x e e − + − ． D． 1 1 ( ) 2 x x e e − − + ． 分析 由曲线积分 [ ( ) ]sin ( )cos x L f x e ydx f x ydy − − 与路径无关的充分必要条件可知， ( ( )cos ) ([ ( ) ]sin ) x f x y f x e y x y − = − ， 从而可得关于 f x( ) 的微分方程，解此微分方程即可． 解 由题设可得 ( ( )cos ) ([ ( ) ]sin ) x f x y f x e y x y − = − 于是结合 cos y 不恒等于零，即得 ( ) ( ) x f x f x e + = ， 解得 1 2 ( ) ( ) 2 x x f x e e C − = + ． 由 f (0) 0 = 得 1 2 C = − 故有 ( ) 2 x x e e f x − − =
第十一章微分方程 故选B. 例11(00研)设对于半空间x>0内任意光滑有向封闭曲面S都有 ∯rMt-/rth-e”:d=0, 其中函数fx)在(0，+o)内具有连续的一阶导数，且1mf)=1,求f) 解不失一般性，假设曲面S取外侧，设所围成的立体为Ω，根据高斯公式，有 ∯xwt-yet-e:hd =+f-)-e产=0， 由S的任意性，知 f'(x)+fx)-y(x)-e=0, 即 f)+(g-W=e2, 此为一阶线性非齐次方程，解得其通解为 f=e可e+c=ge+O. p=p产+)= 故im(e2+Ce)=0,即有C+1=0,得c=-l,于是 Au)-e-. 例12求方程虫=6之-9少的通解。 分折原方程可写成盘=以，这是-2时的伯好利方程 dx x 解令：广=，得会-少安代入原方程则有会+，即 dx 此为一阶线性非齐次方程，利用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为
第十一章 微分方程 385 故选 B． 例 11（00 研） 设对于半空间 x 0 内任意光滑有向封闭曲面 S 都有 2 ( ) ( ) 0 x S xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy − − = ， 其中函数 f x( ) 在 (0, ) + 内具有连续的一阶导数，且 0 lim ( ) 1 x f x → + = ，求 f x( ) ． 解 不失一般性，假设曲面 S 取外侧，设 S 所围成的立体为 ，根据高斯公式，有 2 ( ) ( ) x S xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy − − 2 ( ( ) ( ) ( ) )x xf x f x xf x e dv = + − − = 0 ， 由 S 的任意性，知 2 ( ) ( ) ( ) 0 x xf x f x xf x e + − − = ， 即 1 1 2 ( ) ( 1) ( ) x f x f x e x x + − = ， 此为一阶线性非齐次方程，解得其通解为 1 1 (1 ) ( 1) 1 2 ( ) [ ] ( ) x dx dx x x x x e f x e e e dx C e C x x − − = + = + ． 又 2 0 0 lim ( ) lim( ) 1 x x x x e Ce f x x → → + + + = = ， 故 2 0 lim( ) 0 x x x e Ce → + + = ，即有 C + =1 0 ，得 C = −1 ，于是 ( ) ( 1) x e x f x e x = − ． 例 12 求方程 2 6 dy y xy dx x = − 的通解． 分析 原方程可写成 dy 6 2 y xy dx x − = − ，这是 n = 2 时的伯努利方程． 解 令 1 1 n z y y − − = = ，得 dz dy 2 y dx dx − = − ，代入原方程则有 dz dx = 6 z x x − + ，即 dz 6 z x dx x + = ， 此为一阶线性非齐次方程，利用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为
第十一章微分方程 号+8 于是得 }+后 即为原方程的通解。 例13判断下列方程是否为全微分方程，并求出其解 (1)(ysinx-1)dx-cosxdy=0: (2)t+(y-x)y=0 分析方程 P(x,y)dx+(x,y)dy=0 为全微分方程的充要条件是P.0.如果 dy dx P(x,y)dr+(x,y)dy=0 不是全微分方程，此时若存在一个积分因子(x,),使得 u(x.y)P(x.y)dx+ux.y)Q(x.y)dy=0 是全微分方程，则方程可转化为全微分方程来求解。 解（1)这里P=ysinx-1,Q=-0sx由于吧=5mx=9,该方程是全微分方程，设 dy (ysinx-1)dx-cosxdy=du(x,y). 则(x,y)=C即为所求的通解，以下用三种方法米求(x,y)。 解法1选择积分路径为折线路径：(0,0)→(x,0)→(x,y)则 x川=(yinx-h-cos =∫(-Id+∫'(-cosx)d =-x-ycosx. 解法2方程左端=-d本+(ysinxdx-cosxdy) =-d-d(ycosx)=d(-x-ycosx), 所以 u(x.y)=-x-ycosx. 解法3由于》=ysinx-,u》=-c0sx.则 u(x.y)=[(-cosx)dy=-ycosx+C(x), 386
第十一章 微分方程 386 2 6 8 c x z x = + ， 于是得 2 6 1 8 c x y x = + ， 即为原方程的通解． 例 13 判断下列方程是否为全微分方程，并求出其解． （1） ( sin 1) cos 0 y x dx xdy − − = ； （2） ydx y x dy + − = ( ) 0． 分析 方程 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 为全微分方程的充要条件是 P Q y x = ．如果 P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) 0 + = 不是全微分方程，此时若存在一个积分因子 ( , ) x y ，使得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y P x y dx x y Q x y dy + = 是全微分方程，则方程可转化为全微分方程来求解． 解 （1）这里 P y x Q x = − = − sin 1, cos ， 由于 sin P Q x y x = = ，该方程是全微分方程．设 ( sin 1) cos ( , ) y x dx xdy du x y − − = ． 则 u x y C ( , ) = 即为所求的通解，以下用三种方法来求 u x y ( , ) ． 解法 1 选择积分路径为折线路径： (0,0) ( ,0) ( , ), → → x x y 则 ( , ) (0,0) ( , ) ( sin 1) cos x y u x y y x dx xdy = − − 0 0 ( 1) ( cos ) x y = − + − dx x dy = − −x y x cos ． 解法 2 方程左端 = − + − dx y xdx xdy ( sin cos ) = − − dx d y x ( cos ) = − − d x y x ( cos ) ， 所以 u x y x y x ( , ) cos = − − ． 解法 3 由于 ( , ) sin 1 u x y y x x = − ， ( , ) cos u x y x y = − ．则 u x y x dy y x C x ( , ) ( cos ) cos ( ) = − = − +
第十一章微分方程 其中C(x)为待定的可微函数，上式两端分别对x求导，得 ax,=ysinx+C' dx 由 a》=ysinx-1得ysinx+Ce)=ysinx-l, Ox 所以C(x)=-1故可取C(x)=-x,故 u(x.y)=-x-ycosx. 由上面的任意一种方法都可以解得此方程的通解为 -x-yCOSx=C(其中C为任意的常数)】 卫。-1，原方程不是全微分方程。可考虑寻求 原方程的积分因子， 解法】原方程可化为)k-迹=一，此时，方程的左端有积分因子“=了、 口一士等。由于右端只有y,故取一宁为积分因子，即有 从而可得其通解为 +nlyC. y 此外，y=0亦为原方程的解。 去少即云广之此为齐次方程，令兰，则有 解法2原方程可写为少=上即少。王 盘+品 即 d 得其通解为 -lwxl-C. 于是原方程通解为 387
第十一章 微分方程 387 其中 C x( ) 为待定的可微函数，上式两端分别对 x 求导，得 ( , ) sin ( ) u x y y x C x x = + 由 ( , ) sin 1 u x y y x x = − 得 y x C x y x sin ( ) sin 1 + = − ， 所以 C x ( ) 1. = − 故可取 C x x ( ) = − ，故 u x y x y x ( , ) cos = − − ． 由上面的任意一种方法都可以解得此方程的通解为 − − = x y x C cos （其中 C 为任意的常数）． （2） P y = ，Q y x = − ， 1 P y = ， 1 Q x = − ，原方程不是全微分方程．可考虑寻求 原方程的积分因子． 解法 1 原方程可化为 ydx xdy ydy − = − ，此时，方程的左端有积分因子 2 1 y = 、 2 1 x = 等．由于右端只有 y ，故取 2 1 y = 为积分因子，即有 2 ydx xdy 1 dy y y − = − ， 从而可得其通解为 ln | | x y C y + = ． 此外， y = 0 亦为原方程的解． 解法 2 原方程可写为 dy y dx x y = − 即 1 y dy x dx y x = − ，此为齐次方程，令 y u x = ，则有 1 du u x u dx u + = − ， 即 2 1 u dx du u x − = ， 得其通解为 1 ln | | ln | | u x C u − − = − ， 于是原方程通解为