三、典型例题解析 例1求∬Va-x产-k,其中D={x,川x2+y广≤d,x20,y20,a>0 分析fxy)=√层-y严在D上非负，如图8-1所示，其 对应图形是以原点为中心、a为半径的上半球面：D是以xOy面上 原点为中心、α为半径的圆域在第一象限的部分.根据被积函数和 积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算. 解法1根据二重积分的几何意义，川√后-x2-少d就是 图8-1 以原点为中心、α为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以 解法2采用极坐标直接进行计算。 令x=pcos8,y=psin,则D=(x,0≤p≤a,0s0s ∬F-x-y=∬匠-pdpd0=-aoa-pdd2-p) =d-pr=(孕（号=a 例2设积分区域D由圆(x-2y+心-1=1所围成，且1=∬x+y旷d(k=L2,3), 则(. A.1>12>1.B.11,>2. D.1>1>12 分析要比较二重积分值的大小，根据性质4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较. -26-=1 解选B.如图8-2所示，当(K)eD时，1≤x≤3， 0≤y≤2.因此，1≤x+y≤5，故有 Is(x+y)s(x+y)s(x+y), 由二重积分的性质即得1<1<： 图8-2 倒3设D=红水+广sr}.试计算极限m守eco+ 分析此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理米求解。 解区域D的面积为Sn=2.因为fx,)=e-yco0s(x+)在闭区域D上连续，由积 分中值定理可知，至少存在一点（传，）eD,使得
三、典型例题解析 例1 求 2 2 2 D a x y dxdy − − ，其中 2 2 2 D x y x y a x y a = + {( , ) | , 0, 0, 0}． 分析 2 2 2 f x y a x y ( , ) = − − 在 D 上非负，如图 8－1 所示，其 对应图形是以原点为中心、 a 为半径的上半球面； D 是以 xOy 面上 原点为中心、 a 为半径的圆域在第一象限的部分．根据被积函数和 积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算． 解法 1 根据二重积分的几何意义， 2 2 2 D a x y dxdy − − 就是 以原点为中心、 a 为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以 2 2 2 3 3 1 4 1 8 3 6 D a x y dxdy a a − − = = ． 解法 2 采用极坐标直接进行计算． 令 x y = = cos , sin , 则 {( , ) | 0 ,0 } 2 D x y a = ． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 2 a D D a x y dxdy a d d d a d a − − = − = − − − 3 2 2 2 0 1 2[ ( ) ] 2 2 3 a a = − − 2 1 3 3 ( ) ( ) 4 3 6 a a = − − = ． 例 2 设积分区域 D 由圆 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y − + − = 所围成，且 ( ) ( 1,2,3) k k D I x y dxdy k = + = ， 则（ ）． A． 1 2 3 I I I ． B． 1 2 3 I I I ． C． 1 3 2 I I I ． D． 3 1 2 I I I ． 分析 要比较二重积分值的大小，根据性质 4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较． 解 选 B．如图 8－2 所示，当 ( , ) x y D 时， 1 3 x ， 0 2 y ．因此， 1 5, + x y 故有 2 3 1 ( ) ( ) ( ) , + + + x y x y x y 由二重积分的性质即得 1 2 3 I I I ． 图 8－2 例 3 设 2 2 2 D x y x y r = + ( , ) ．试计算极限 2 2 2 0 1 lim cos( ) x y r D e x y dxdy r + − → + ． 分析 此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理来求解． 解 区域 D 的面积为 2 D S r = ．因为 2 2 ( , ) cos( ) x y f x y e x y − = + 在闭区域 D 上连续，由积 分中值定理可知，至少存在一点 ( , ) , D 使得 o x y 1 2 1 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y − + − = o x y z a a a D 图 8－1
小e2camr+h-之coG+5-eoG+ 令r→0，则(5，)→0,0)，故 p∬ecox+h=6 mcod5+》l. 例4利用重积分的性质估计积分I-川10o+cosx+os丁6的值，其中 D={(x,y)川+b以≤10. 分析根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计. 解法1利用被积函数在积分区域上的单调性估值。积分区域如 图8-3所示.由于 0≤c0s2x≤1,0≤c0s2v≤1 故有100≤100+cos2x+cos2y≤102，因此 图8-3 1 102≤i100+c0s'x+cos'y100 区域D的面积。=200，根据二重积分的性质可知 200 解法2利用二重积分的中值定理估值.由于被积函数在区域D上连续，故在D上至少 存在-点(5小.使得1m+o+7”,又因为 1025100+cs5+es7510a=20, 例5将二重积分1=∬化为二次积分，其中区域D: (1)由抛物线y=x2-1及直线y=1-x所围成： (2)由x=0与曲线y=x2+1以及y=2x所围成. 解(1)区域D如图8一4所示，下面用两种方法来求解。 解法1若将区域D看作X-型区域，即先对y积分。 再对x积分，首先将区域D向x轴投影，得x轴上的区间 [-2,则变量x满足-2≤x≤1，过区间-2，刂上的任一点x作 平行于y轴的直线由下往上穿过区域D,穿入D时经过的边 界曲线方程为y=x2-1,穿出D时经过的边界曲线方程为 y=1-x则y满足-1≤y≤1-x,即
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos( ) cos( ) cos( ) x y D D e x y dxdy e S e r r − − − + = + = + ． 令 r 0 → +，则 ( , ) (0,0) → ，故 2 2 2 0 1 lim cos( ) x y r D e x y dxdy r + − → + = 2 2 ( , ) (0,0) lim cos( ) e − → + =1． 例 4 利用重积分的性质估计积分 2 2 1 100 cos cos D I d x y = + + 的值，其中 D x y x y = + {( , ) | 10}． 分析 根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计． 解法 1 利用被积函数在积分区域上的单调性估值．积分区域如 图 8－3 所示．由于 2 0 cos 1 x ， 2 0 cos 1 y ， 故有 2 2 100 100 cos cos 102, + + x y 因此 图 8－3 2 2 111 102 100 cos cos 100 x y + + ， 区域 D 的面积 = 200, 根据二重积分的性质可知 100 200 200 2. 51 102 100 = = I 解法 2 利用二重积分的中值定理估值．由于被积函数在区域 D 上连续，故在 D 上至少 存在一点 ( , ) ，使得 2 2 1 100 cos cos I = + + ，又因为 2 2 111 , 102 100 cos cos 100 + + = 200, 所以 100 200 200 2 51 102 100 = = I ． 例 5 将二重积分 ( , ) D I f x y dxdy = 化为二次积分，其中区域 D ： （1）由抛物线 2 y x = −1 及直线 y x = −1 所围成； （2）由 x = 0 与曲线 2 y x = +1 以及 y x = 2 所围成． 解 （1）区域 D 如图 8－4 所示．下面用两种方法来求解． 解法 1 若将区域 D 看作 X − 型区域，即先对 y 积分， 再对 x 积分，首先将区域 D 向 x 轴投影，得 x 轴上的区间 [ 2,1], − 则变量 x 满足 − 2 1, x 过区间 [ 2,1] − 上的任一点 x 作 平行于 y 轴的直线由下往上穿过区域 D ，穿入 D 时经过的边 界曲线方程为 2 y x = −1 ，穿出 D 时经过的边界曲线方程为 y x = −1 , 则 y 满足 2 x y x − − 1 1 ，即 图 8－4 1 2 −2 −1 −1 2 1 o x y y x = −1 2 y x = −1 o x y 10 10 10 10
D={,川x2-1≤y≤1-x-2≤x≤ 于是 I=∬fxy=∫，fx,y 解法2若将区域D看作Y一型区域，即先对x积分，再对y积分，用上述“穿线法” 时注意到当y在[-1,3引中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把D划分为两部 分 D={xy川-+isx≤+，-1sy≤03，D,={x,y川-√y+1≤x≤1-y,0≤y≤3， 则有D=DUD,于是 1=/chd=fc,+nf压达 (2)区域D如图8一5所示.下面用两种方法求解。 解法1若将区域D看作X-型区域，则有 D={xl2x≤y≤x2+l,0≤x≤1， 于是 1=j∬fx,d=广fx,y 解法2若将区域D看作Y-型区域，则D=D,UD,其中 D={x,川0≤x≤号，0≤y≤，D=x,川-可≤x≤51≤y≤2 1=j∬fx,hd=fx,+∫ffxy 注化二重积分为二次积分是计算二重积分的关键，难点在于确定二次积分的上、下限， 通常采用“穿线法”： 如果区域D是X一型区域，则要先对y积分后对x积分，即先将积分区域投影在x轴上， 得到x的变化范围，在其上任取x点作平行于y轴的直线，由下向上穿过区域D,则可以得 到y的变化范围，从而得到二次积分的上、下限. 如果区域D是Y-型区域，则要先对x积分后对y积分，即先将积分区域投影在y轴上， 得到y的变化范围，在其上任取y点作平行于x轴的直线，由左向右穿过区域D,则可以得 到x的变化范围。 如果D既不是X-型区域，又不是Y-型区域，则需要添加辅助线，将D分成一些X 型区域和Y-型区域分别计算，然后利用积分区域可加性即可. 化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常 数，而外层积分的上、下限一定为常数
2 D x y x y x x = − − − {( , ) | 1 1 , 2 1}， 于是 2 1 1 2 1 ( , ) ( , ) x x D I f x y dxdy dx f x y dy − − − = = ． 解法 2 若将区域 D 看作 Y −型区域，即先对 x 积分，再对 y 积分，用上述“穿线法” 时注意到当 y 在 [ 1,3] − 中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把 D 划分为两部 分 1 D x y y x y y = − + + − {( , ) | 1 1, 1 0}, 2 D x y y x y y = − + − {( , ) | 1 1 ,0 3}, 则有 D D D = 1 2 ，于是 ( , ) D I f x y dxdy = 0 1 3 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) y y y y dy f x y dx dy f x y dx + − − − + − + = + ． （2）区域 D 如图 8－5 所示．下面用两种方法求解． 解法 1 若将区域 D 看作 X − 型区域，则有 D = 2 {( , ) | 2 1,0 1}, x y x y x x + 于是 ( , ) D I f x y dxdy = 2 1 1 0 2 ( , ) x x dx f x y dy + = ． 解法 2 若将区域 D 看作 Y − 型区域，则 D D D = 1 2 ，其中 1 {( , ) | 0 ,0 1}, 2 y D x y x y = 2 {( , ) | 1 ,1 2}, 2 y D x y y x y = − 则 ( , ) D I f x y dxdy = 1 2 2 2 0 0 1 1 ( , ) ( , ) y y y dy f x y dx dy f x y dx − = + ． 注 化二重积分为二次积分是计算二重积分的关键，难点在于确定二次积分的上、下限， 通常采用“穿线法”： 如果区域 D 是 X − 型区域，则要先对 y 积分后对 x 积分，即先将积分区域投影在 x 轴上， 得到 x 的变化范围，在其上任取 x 点作平行于 y 轴的直线，由下向上穿过区域 D ，则可以得 到 y 的变化范围，从而得到二次积分的上、下限． 如果区域 D 是 Y −型区域，则要先对 x 积分后对 y 积分，即先将积分区域投影在 y 轴上， 得到 y 的变化范围，在其上任取 y 点作平行于 x 轴的直线，由左向右穿过区域 D ，则可以得 到 x 的变化范围． 如果 D 既不是 X − 型区域，又不是 Y − 型区域，则需要添加辅助线，将 D 分成一些 X − 型区域和 Y −型区域分别计算，然后利用积分区域可加性即可． 化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常 数，而外层积分的上、下限一定为常数． 2 y x = +1 o x y 1 2 1 2 y x = 2 图 8－5
例6交换下列二重积分的次序： )(o1研)1=fx: (2)4=恤 3)1=fw+w 解(1)由已知的二次积分可知，积分区域为 D={x,y川1-y≤x≤2，-1≤y≤0： 如图8一6阴影部分所示.按照新的积分次序，即先对y后对x积 分，由穿线法可得 D={(xy川l-x≤y≤0,1≤x≤2， 于是 图8-6 1=-,fxh=心fx, (2)由己知的二次积分可知，积分区域为 D={x,-4-y≤x≤4y-y,0≤y≤4. 画出积分区域D,如图8一7所示，按照新的积分次序，即先对 4 y后对x积分，由穿线法可得 D={(x,y川0≤y≤4-x2,-2≤x≤0， 图B D,={x川2-4-F≤y≤2+4-F0≤x≤25 于是 r. (3)由己知的二次积分可知，积分区域 D={x,y10≤y≤V2x-x,0≤x≤l. D={x,)川0≤y≤2-x,1≤x≤2， 画出积分区域D如图8一8所示，按照新的积分次序，即先对x 后对y积分，由穿线法可得 D={xy川1-√-yF≤x≤2-y0≤y≤1， 图8一8 于是 ⅓=x, 注交换二次积分的积分次序的一般步骤为： (1)根据己知的二次积分的上、下限画出积分区域D的草图： (2)交换积分次序，利用“穿线法”得到积分区域D的新的描述方法： (3)写出交换次序后的二次积分
例 6 交换下列二重积分的次序： （1）（01 研） 0 1 1 1 2 ( , ) y I dy f x y dx − − = ； （2） 2 4 4 2 0 4 ( , ) y y y I dy f x y dx − − − = ； （3） 2 1 2 2 2 3 0 0 1 0 ( , ) ( , ) . x x x I dx f x y dy dx f x y dy − − = + 解 （1）由已知的二次积分可知，积分区域为 D x y y x y = − − {( , ) |1 2, 1 0}， 如图 8－6 阴影部分所示．按照新的积分次序，即先对 y 后对 x 积 分，由穿线法可得 D x y x y x = − {( , ) |1 0,1 2}， 于是 0 2 1 1 1 ( , ) y I dy f x y dx − − = − 2 0 1 1 ( , ) x dx f x y dy − = − ． 图 8－6 （2）由已知的二次积分可知，积分区域为 2 D x y y x y y y = − − − {( , ) | 4 4 ,0 4}, 画出积分区域 D ，如图 8－7 所示，按照新的积分次序，即先对 y 后对 x 积分，由穿线法可得 2 1 D x y y x x = − − {( , ) | 0 4 , 2 0}, 2 2 2 D x y x y x x = − − + − {( , ) | 2 4 2 4 ,0 2}, 图 8－7 于是 2 2 2 0 4 2 2 4 2 2 0 0 2 4 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy − + − − − − = + ． （3）由已知的二次积分可知，积分区域 2 1 D x y y x x x = − {( , ) | 0 2 ,0 1}, 2 D x y y x x = − {( , ) | 0 2 ,1 2}, 画出积分区域 D 如图 8－8 所示，按照新的积分次序，即先对 x 后对 y 积分，由穿线法可得 2 D x y y x y y = − − − {( , ) |1 1 2 ,0 1}, 图 8－8 于是 2 1 2 3 0 1 1 ( , ) y y I dy f x y dx − − − = ． 注 交换二次积分的积分次序的一般步骤为： （1）根据已知的二次积分的上、下限画出积分区域 D 的草图； （2）交换积分次序，利用“穿线法”得到积分区域 D 的新的描述方法； （3）写出交换次序后的二次积分． x y o y x = −2 2 2 ( 1) 1 x y − + = 1 2 1 2 x y o 4 −2 2 2 y x = −4 2 2 x y + − = ( 2) 4 −1 1 2 o x y 1 −1 2
例7求de 分析这是一个先对y后对x的二次积分，由于∫e山不能用初等 函数表示，因此无法直接计算。可考虑先交换积分次序再计算。 解法1积分区域D,如图8一9所示。交换积分次序，则 D={(x川I0≤x≤y,0≤y≤2 图8 从而 [dedy =fdy[evdx=fyedy=-1-e) 解法2利用分部积分法。 心aier=[ferd-aerj =er=,l-e). 分次序. 例8设函数fx)在区间0，上连续，并设∫fx达=A,求1=∫fx)f: 解法11=dfxy)d=fxf0yd,其中 D=(xsys10sxsl), 如图8一10所示，设D关于y=x对称的区域为D,则 D=[0sysx,0sxsl. 对换x、y,被积函数x)不变，则有 图8-10 I/e/oa-/oad 21=()f(yydxdy=[f(x)d[fy)dy=, 因此1=). 解法2利用分部积分法 frr=rd)rd=frdd(rod) "sd"rdndd'f(d) +(["f(rdnd(["f(ndr)
例 7 求 2 2 2 0 y x dx e dy − ． 分析 这是一个先对 y 后对 x 的二次积分，由于 2 y e dy − 不能用初等 函数表示，因此无法直接计算．可考虑先交换积分次序再计算． 解法 1 积分区域 D ，如图 8－9 所示．交换积分次序，则 D x y x y y = {( , ) | 0 ,0 2}， 从而 图 8－9 2 2 2 0 y x dx e dy − 2 2 0 0 y y dy e dx − = 2 2 0 y ye dy − = 1 4 (1 ) 2 e − = − ． 解法 2 利用分部积分法． 2 2 2 0 y x dx e dy − ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 y y x x x e dy xd e dy − − = − 2 2 4 0 1 (1 ) 2 x xe dx e − − = = − ． 注 如果先被积的函数为 2 2 2 sin cos 1 ,sin ,cos , , , , ln y x x x x e x x e x x x 等形式时，一定要交换积 分次序． 例 8 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续，并设 1 0 f x dx A ( ) = ，求 1 1 0 ( ) ( ) x I dx f x f y dy = ． 解法 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x D I dx f x f y dy f x f y dxdy = = ，其中 D x y x = { 1,0 1}， 如图 8－10 所示，设 D 关于 y x = 对称的区域为 D1 ，则 1 D y x x = {0 ,0 1}． 对换 x y 、 ，被积函数 f x f y ( ) ( ) 不变，则有 图 8－10 1 ( ) ( ) ( ) ( ) D D f x f y dxdy f x f y dxdy = ． 故 1 1 1 2 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D D I f x f y dxdy f x dx f y dy A = = = ， 因此 1 2 2 I A = ． 解法 2 利用分部积分法． ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x dx f x f y dy f y dy f x dx f y dy d f t dt = = 1 1 1 1 0 1 0 1 [( ( ) )( ( ) )] ( ( ) ) ( ( ) ) x x x x = − f y dy f t dt f t dt d f t dt 1 2 0 1 1 ( ( ) ) ( ( ) ) x x = + A f t dt d f t dt D x y o y x = 1 y x = x y o 2 2 D
=+05=8-=5f 例9计算二重积分1=+-少d6,其中D为直线y=xx=-1y=1所围成的区 域. 解法1积分区域D如图8一11所示.若将D视为X-型区域，则 D={x,川x≤y≤1，-1≤x≤1 于是， 1=[dx[y+x-ydy =-L+x- -L- - 图8-11 解法2将D视为Y-型区域，D=x川-1≤x≤y,-1≤y≤.于是， 1=f+x- =y[-r++-yx+r+ =+2-y+0-yrh+0+心2-n2-了-] =+0-yn+明s=[Dy+0-nl+] =立[4-2y+4r2+y)-402-1+= 解法3利用奇偶对称性。将被积区域D分成三部分，如图8一1所示.被积函数是关 于x的偶函数，关于y的奇函数，因此 I=∬fx,yd+∬fx,ya+j∬fx,yd =0+2可xd=2可Wi+-y4=2×好 注比较解法1和解法2，虽然两种划分积分区域的方法都得到一个二次积分，但是显 然解法2要复杂得多，由此可见积分次序选择的重要性。因此计算二重积分时，要同时考虑 到被积函数和积分区域的特点，寻求一种较简单的计算方法，如果有奇偶对称性可用，则将 大大简化计算. 例10(o2研)计算二重积分厂em产d,其中D=低训0≤x≤L0sys. 分析被积函数实际上是分段函数，在区域D中，当(x,)∈{(x,川0≤x≤L0≤y≤对
2 2 1 2 2 2 0 1 1 1 1 [( ( ) ) ] 2 2 2 x = + = − = A f t dt A A A ． 例 9 计算二重积分 2 2 1 , D I y x y d = + − 其中 D 为直线 y x x y = = − = , 1, 1 所围成的区 域． 解法 1 积分区域 D 如图 8－11 所示． 若将 D 视为 X − 型区域，则 D x y x y x = − {( , ) | 1, 1 1}． 于是， 1 1 2 2 1 1 x I dx y x y dy − = + − 3 1 2 2 1 2 1 1 [(1 ) ] 3 x x y dx − = − + − 3 1 2 2 1 1 [( ) 1] 3 x dx − = − − ( ) 1 3 0 2 1 1 3 2 = − − = x dx ． 解法 2 将 D 视为 Y − 型区域， D x y x y y = − − {( , ) | 1 , 1 1} ．于是， 1 2 2 1 1 1 y I ydy x y dx − − = + − 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 )ln( 1 ) 2 y y x y x y x y x dy − − = − + + − + − + 1 2 2 2 2 1 1 2 (1 )ln(1 ) ( 1)ln( 2 1) 2 y y y y y y y dy − = + − + − + + − − − 1 1 2 2 3 1 1 1 1 (1 )ln(1 ) ( )ln(1 ) 2 2 y y y y dy y y y y dy − − = + − + = + − + 1 2 3 2 2 1 1 1 (4 2 4 ) 4( 1) ln(1 ) 32 2 y y y y y y − = − + + − − + = ． 解法 3 利用奇偶对称性．将被积区域 D 分成三部分，如图 8－11 所示．被积函数是关 于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，因此 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) D D D I f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = + + 3 0 2 ( , ) D = + f x y dxdy 1 1 2 2 0 1 1 2 1 2 x 4 2 = + − = = dx y x y dy ． 注 比较解法 1 和解法 2，虽然两种划分积分区域的方法都得到一个二次积分，但是显 然解法 2 要复杂得多，由此可见积分次序选择的重要性．因此计算二重积分时，要同时考虑 到被积函数和积分区域的特点，寻求一种较简单的计算方法，如果有奇偶对称性可用，则将 大大简化计算． 例 10（02 研） 计算二重积分 2 2 max{ , } x y D e dxdy ，其中 D x y x y = {( , ) | 0 1,0 1}． 分析 被积函数实际上是分段函数，在区域 D 中， 当 ( , ) {( , ) | 0 1,0 } x y x y x y x y x = y =1 1 x =−1 −1 −1 x y o D1 D2 D3 1 图 8－11
时，x2≥y:当(k,川∈{x,)10≤x≤L,x≤y≤时，X≤y2.因此需要将D分为两部分计 算 解设D={x,y川0≤x≤L,x≤y≤)， D={x,川0≤x≤1,0≤y≤x对 如图8-12所示，则 ds=.(eD -12 le,(x.y)ED. 从而 ∬edd=∬ernd+小end =∬ed+∬ew=e+e =[ye'dy+[xe'dx=e-1. 例11计算1=-，其中积分区域为 D={x,y川l≤1,0≤y≤2 分析如果被积函数表达式中含有绝对值，首先要考虑去掉绝 对值符号，把被积函数写成分段函数的形式，用类似例10的方法 图8-13 来计算。 解如图8一13所示，将积分区域D划分为两部分： D={x,y川-1≤x≤1,0sysx},D={x,-1sx≤1，x2sy≤2， 则-F-yx列eD,从而 y-x (x.y)ED, 1=川by-x=∬x2-k+∬o-xd =-+,5o- =号+2-2r+= 例12设D={(x,y)+ys1,x20,y≥0}， D,=x,l+l≤l,且4=j∬e,k=l2), 则(2
时， 2 2 x y ；当 ( , ) {( , ) | 0 1, 1} x y x y x x y 时， 2 2 x y ．因此需要将 D 分为两部分计 算． 解 设 1 D x y x x y = {( , ) | 0 1, 1}， 2 D x y x y x = {( , ) | 0 1,0 }， 如图 8－12 所示，则 2 2 2 2 max{ , } 1 2 , ( , ) , ( , ) y x y x e x y D e e x y D = ， 图 8－12 从而 2 2 2 2 2 2 1 2 max{ , } max{ , } max{ , } x y x y x y D D D e dxdy e dxdy e dxdy = + 2 2 1 2 y x D D = + e dxdy e dxdy 1 1 2 2 0 0 0 0 y x y x = + dy e dx dx e dy 1 1 2 2 0 0 1 y x = + = − ye dy xe dx e ． 例 11 计算 2 , D I y x dxdy = − 其中积分区域为 D x y x y = {( , ) | 1,0 2}． 分析 如果被积函数表达式中含有绝对值，首先要考虑去掉绝 对值符号，把被积函数写成分段函数的形式，用类似例 10 的方法 来计算． 解 如图 8－13 所示，将积分区域 D 划分为两部分： 图 8－13 2 1 D x y x y x = − {( , ) | 1,0 } １ ， 2 2 D x y x x y = − {( , ) | 1 1, 2}， 则 2 2 1 2 2 ( , ) ( , ) x y x y D y x y x x y D − − = − ，从而 2 D I y x dxdy = − 1 2 2 2 ( ) ( ) D D = − + − x y dxdy y x dxdy 2 2 1 1 2 2 2 1 0 1 ( ) ( ) x x dx x y dy dx y x dy − − = − + − 4 1 1 4 2 1 1 1 46 (2 2 ) . 2 2 15 x x dx x dx − − = + − + = 例 12 设 D x y x y x y 1 = + {( , ) 1, 0, 0}， 2 D x y x y = + {( , ) 1} ，且 k x y k D I e dxdy + = ，( 1,2) k = ， 则（ ）． x y o 1 1 −1 −1 D2 D1 | | | | 1 x y + = y = 2 2 y x = x =−1 o x =1 y x x y 1 1 y x = D1 D2 o
A.1=12·B.2弘=42C.4=2弘2D.4H=h2 图8-14 分析被积函数与积分区域的表达式中均含有绝对值符号，应先将积分区域表达式中的 绝对值符号去掉，画出积分区域，然后用类似例10、11中的方法来计算，但本题根据积分 区域的特点应考虑用奇偶对称性则更简单。 解选D.积分区域如图8一4所示.由于被积函数fx,)=是关于x和y的偶函 数，而且D,是关于xy轴都称的区域，D,恰好是D,位于第一象限的区域，故正确答案为 D. 例13计算1=∬edo,其中D={x川+以s. 分析积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，而被积 函数y关于x或y都不具有奇偶性，因此不能利用奇偶对称性计 算 解积分区域如图8一15所示.y轴将区域D分为两部分， 分别记为D和D,则 1=j∬e"rdo=∬eva+j∬e"dd =fededy+fedfed =2+5*2=-日 错误解答记积分区域在第一象限的部分为D,则 I-feda-ddd(e-lyh-4. 错解分析此解法注意到了积分区域关于x、y轴对称，想利用对称性简化计算，但是 被积函数却既非奇函数也非偶函数，所以川e“dc≠4∬e“d. 注利用对称性简化计算时一定要兼顾积分区域的对称性和被积函数的奇偶性 例14设区线D=训2+护s,则后后-一 分析如果二重积分的被积函数中含有x+少，或者积分区域是圆形、扇形、环形等 形状，通常采用极坐标的形式进行计算较简单。本题积分区域为圆域，宜采用极坐标计算。 解法1小告+长h-0pg0,9o o up
A． 1 2 I I = ． B． 1 2 2I I = ． C． 1 2 I I = 2 ． D． 1 2 4I I = ． 图 8－14 分析 被积函数与积分区域的表达式中均含有绝对值符号，应先将积分区域表达式中的 绝对值符号去掉，画出积分区域，然后用类似例 10、11 中的方法来计算，但本题根据积分 区域的特点应考虑用奇偶对称性则更简单． 解 选 D．积分区域如图 8－14 所示．由于被积函数 ( , ) x y f x y e + = 是关于 x 和 y 的偶函 数，而且 D2 是关于 xy, 轴都对称的区域， D1 恰好是 D2 位于第一象限的区域，故正确答案为 D． 例 13 计算 , x y D I e d + = 其中 D x y x y = + ( , ) | 1． 分析 积分区域 D 既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，而被积 函数 x y e + 关于 x 或 y 都不具有奇偶性，因此不能利用奇偶对称性计 算． 解 积分区域如图 8－15 所示． y 轴将区域 D 分为两部分， 分别记为 D1 和 2 D , 则 图 8－15 1 2 x y x y x y D D D I e d e dxdy e dxdy + + + = = + 0 1 1 1 1 1 0 1 x x x y x y x x e dx e dy e dx e dy + − − − − − = + 3 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 e e e e e e = − + + = − ． 错误解答 记积分区域在第一象限的部分为 0 D , 则 0 1 1 1 1 0 0 0 4 4 4 ( 1) 4 x x y x y x y x x D D I e d e dxdy e dx e dy e e dx − + + − = = = = − ＝ ． 错解分析 此解法注意到了积分区域关于 x y 、 轴对称，想利用对称性简化计算，但是 被积函数却既非奇函数也非偶函数，所以 0 4 x y x y D D e d e dxdy + + ． 注 利用对称性简化计算时一定要兼顾积分区域的对称性和被积函数的奇偶性． 例 14 设区域 2 2 2 D x y x y R = + {( , ) | } ，则 2 2 2 2 D x y dxdy a b + = ( ) ． 分析 如果二重积分的被积函数中含有 2 2 x y + ，或者积分区域是圆形、扇形、环形等 形状，通常采用极坐标的形式进行计算较简单．本题积分区域为圆域，宜采用极坐标计算． 解法 1 2 2 2 2 D x y dxdy a b + ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 cos sin ( ) R d d a b = + 2 2 2 3 2 2 0 0 cos sin ( ) R d d a b = + x −1 1 D2 D1 | | | | 1 x y + = y 1 −1 o
=as90+r0a0-r =1+200+l-200,R =哈+方-浮分+》 解法2注意到区域D的对称性，对换被积函数中太y的位置积分值不变，因此 后+后h=小后+点 =后+点+片+云h =信++h =行+心ao。pdp 香宁+京 注运用极坐标计算二重积分最好是能同时简化积分区域和被积函数，如果二者不能兼 顾，通常选择能简化积分区域的方法。也有些积分，尽管用直角坐标能够更简单的描述积分 区域，但是由于被积函数的特殊性（如积分不能计算），则只有通过变换坐标来计算，例如 下面的例15. 例15计算二重积分1=川e市dd,其中D由x+y=Lx=0,y=0围成. 分析积分区域如图8一6所示.观察此被积函数的特点，如果 y 采用直角坐标直接进行计算，虽然容易化为二次积分，但是二次积分 中的定积分难以计算出来.可以考虑用极坐标来计算。 解用极坐标来计算， 1=jea品9pdp 图8-16 品 1 (sino -就六dn。六i-0-n 错误解答由x+y=1,x=0,y=0,得 1=∬e产=∬ed=∬e'=∬= 错解分析这是微积分初学者常犯的错误，将二重积分与曲线积分相混。对于二重积
2 2 2 2 4 2 2 0 0 cos sin 1 ( ) 4 d d R a b = + 2 2 4 2 2 0 0 1 1 cos 2 1 1 cos 2 1 ( ) 2 2 4 d d R a b + − = + 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ). 4 4 R R a b a b = + = + 解法 2 注意到区域 D 的对称性，对换被积函数中 x y 、 的位置积分值不变，因此 2 2 2 2 D x y dxdy a b + ( ) 2 2 2 2 ( ) D y x dxdy a b = + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 [( ) ( )] 2 D x y y x dxdy a b a b = + + + 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 D x y dxdy a b = + + 2 3 2 2 0 0 1 1 1 ( ) 2 R d d a b = + 4 2 2 1 1 ( ) 4 R a b = + ． 注 运用极坐标计算二重积分最好是能同时简化积分区域和被积函数，如果二者不能兼 顾，通常选择能简化积分区域的方法．也有些积分，尽管用直角坐标能够更简单的描述积分 区域，但是由于被积函数的特殊性（如积分不能计算），则只有通过变换坐标来计算，例如 下面的例 15． 例 15 计算二重积分 , y x y D I e dxdy + = 其中 D 由 x y x y + = = = 1, 0, 0 围成． 分析 积分区域如图 8－16 所示．观察此被积函数的特点，如果 采用直角坐标直接进行计算，虽然容易化为二次积分，但是二次积分 中的定积分难以计算出来．可以考虑用极坐标来计算． 解 用极坐标来计算． sin 1 2 cos sin cos sin 0 0 I e d d + + = 图 8－16 sin 2 cos sin 2 0 1 1 2 (cos sin ) e d + = + sin sin 2 2 cos sin cos sin 0 0 1 sin 1 1 [ ] ( 1) 2 cos sin 2 2 e d e e + + = = = − + ． 错误解答 由 x y x y + = = = 1, 0, 0 ，得 0 1 0 1 2 y x y D D D D I e dxdy e dxdy e dxdy dxdy + = = = = = ． 错解分析 这是微积分初学者常犯的错误，将二重积分与曲线积分相混淆．对于二重积 x y + =1 x y o 1 1
分∬fx,a,被积函数fx)是定义在整个平面区域D上的，而不仅仅是定义在D的边 界曲线（本题为x+y=Lx=0,y=0)上，因此不能将边界曲线满足的关系直接代入被积函 数的表达式中. 注若二重积分1=川fx,yG的被积函数fx,)可以写成fx,)=g(白的形式，则 可以用极坐标将被积函数分高变量，即1=厂1x,以o=厂g(吕ad0d0.一餐情况 下，这样可以使积分的计算变得容易一些 例16(05研)计算二重积分∬+x+y1,其中 D={x川x2+y≤V5,x20,y20, 几+x2+y]表示不超过1+2+y2的最大整数. 分析积分区域为扇形域，如图8一17所示。采用极坐标计算为 图8-17 宜。被积函数实际上是分段函数，应将积分区域分开考虑. 解法1∬l+x2+y广=dosin8cos印+p'Hp sim0cos0do(dp+dp) -odo-[2040)- 解法2可先将积分区域分开，再作极坐标变换。记 D={(xy川x2+y2<1x20,y209, D,={xy1≤x2+y2≤2x≥0，y≥0， 则当()eD时，1+x2+y]=1:当(x,y)∈D,时，1+x2+y]=2,于是 o+r+yht=ot+2odt =dapsin0cos6dp+信da2psin9cos6dp 好 例17用二重积分求曲线(x2+y2?=9x2-y2)所围成区域的面积4. 分析由二重积分的几何意义可知，当被积函数为1时，曲项柱体的体积在数值上 等于积分区域D的面积。即A=∬.又因为曲线方程中含有？+少广项，可以考虑在 极坐标系下计算此二重积分
分 ( , ) , D f x y d 被积函数 f x y ( , ) 是定义在整个平面区域 D 上的，而不仅仅是定义在 D 的边 界曲线（本题为 x y x y + = = = 1, 0, 0 ）上，因此不能将边界曲线满足的关系直接代入被积函 数的表达式中． 注 若二重积分 ( , ) D I f x y d = 的被积函数 f x y ( , ) 可以写成 ( , ) ( ) y f x y g x = 的形式，则 可以用极坐标将被积函数分离变量，即 cos ( , ) ( ) sin D D I f x y d g d d = = ．一般情况 下，这样可以使积分的计算变得容易一些． 例 16（05 研） 计算二重积分 2 2 [1 ] D xy x y dxdy + + ，其中 2 2 D x y x y x y = + {( , ) | 2, 0, 0}， 2 2 [1 ] + + x y 表示不超过 2 2 1+ + x y 的最大整数． 分析 积分区域为扇形域，如图 8－17 所示．采用极坐标计算为 宜．被积函数实际上是分段函数，应将积分区域分开考虑． 图 8－17 解法 1 4 2 2 2 3 2 2 0 0 [1 ] sin cos [1 ] D xy x y dxdy d d + + = + 4 1 2 3 3 2 0 0 1 sin cos ( 2 ) d d d = + 4 1 2 3 3 0 1 1 3 ( 2 ) 2 8 = + = d d ． 解法 2 可先将积分区域分开，再作极坐标变换．记 2 2 1 D x y x y x y = + {( , ) | 1, 0, 0}， 2 2 2 D x y x y x y = + {( , ) |1 2, 0, 0}， 则当 1 ( , ) x y D 时， 2 2 [1 ] 1 + + = x y ；当 2 ( , ) x y D 时， 2 2 [1 ] 2 + + = x y ，于是 1 2 2 2 [1 ] 2 D D D xy x y dxdy xydxdy xydxdy + + = + 4 1 2 2 2 3 3 0 0 0 1 d d d d sin cos 2 sin cos = + 1 1 3 8 4 8 = + = ． 例 17 用二重积分求曲线 2 2 2 2 2 ( ) 9( ) x y x y + = − 所围成区域的面积 A ． 分析 由二重积分的几何意义可知，当被积函数为 1 时，曲顶柱体的体积在数值上 等于积分区域 D 的面积．即 D A dxdy = ．又因为曲线方程中含有 2 2 x y + 项，可以考虑在 极坐标系下计算此二重积分． x y o 1 2 1 2