第三章微分中值定理与导数的应用 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.在区间-山，刂上满足罗尔定理条件的函数是(). A.y=tanx B.y=+x+1.C.y=e.D.y=5-. 2.(00研)设fx),gx)是恒大于零的可导函数，且fx)g(x)-fxg'《(x)f(b)g(x). B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.fx)g(x)>fb)g(b)· D.f(x)g(x)>f(a)g(a). 三.设n为正整数，则关于商数四=0+：+分.小总一的根值问愿是（力 A.有极小值 B.有极大值. C.既无极小值也无极大值. D.f(x)是否有极值依赖于n的具体数字. 4.(x)=0是(o,fx》为曲线y=fx)的拐点的(). A.必要条件. B.充分条件. C.充分必要条件 D.既非充分亦非必要条件。 5.下列曲线没有铅直渐近线的是(). A.f)=2-1 (x-1 B.f(r)=e C./()=x+I D.f闭=1+e 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设y=5x2-x+2在0，上满足拉格朗日定理，其中5= 2 3.m2-)“号= 4.函数y=(x-2x+1)3在区间[-2,2】上的最大值为 ,最小值为
1 第三章 微分中值定理与导数的应用 A 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．在区间 [ 1, 1] − 上满足罗尔定理条件的函数是（ ）． A． tan x y x = ． B． 2 y x x = + +1． C． 2 x y e − = ． D． 2 3 y x = −5 ． 2．（00 研）设 f x( ) ， g x( ) 是恒大于零的可导函数，且 f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 − ，则 当 a x b 时，有（ ）． A． f x g b f b g x ( ) ( ) ( ) ( ) ． B． f x g a f a g x ( ) ( ) ( ) ( ) ． C． f x g x f b g b ( ) ( ) ( ) ( ) ． D． f x g x f a g a ( ) ( ) ( ) ( ) ． 3．设 n 为正整数，则关于函数 2 ( ) (1 ) 2! ! n x x x f x x e n − = + + + + 的极值问题是（ ）． A．有极小值． B．有极大值． C．既无极小值也无极大值． D． f x( ) 是否有极值依赖于 n 的具体数字． 4． 0 f x ( ) 0 = 是 0 0 ( , ( )) x f x 为曲线 y f x = ( ) 的拐点的（ ）． A．必要条件． B．充分条件． C．充分必要条件． D．既非充分亦非必要条件． 5．下列曲线没有铅直渐近线的是（ ）． A． 2 2 1 ( ) ( 1) x f x x − = − ． B． 2 1 ( ) x f x e − = ． C． ln ( ) x f x x x = + ． D． 1 ( ) 1 x f x e − = + ． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 2 y x x = − + 5 2 在 [0,1] 上满足拉格朗日定理，其中 = _． 2． sin 1 lim x x e → x − − =_． 3． tan 2 1 lim(2 ) x x x → − =_． 4．函数 2 2 3 y x x = − + ( 2) ( 1) 在区间 [ 2,2] − 上的最大值为_，最小值为 _．
5.抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径R= 三、计算题（每小题6分，共30分） 1.计算e 2.计第四 3.求函数fx)=(x-5x+1)的单调区间和极值. 4求商致：任前回B区间与锅点 5.求函数f(x)=xnx在x=1的二阶泰勒公式. 四、试证方程x2-3x+c=0(c为任意常数)在0，)上不可能有两个根.(8分) 五、设f)在0，】上连续，在0，)内可导，且f0)=f0=0,f分=1，试证至少 存在一点5∈(0,1)，使f()=1.(8分) 六、设函数fx)在[a,b]可导，且fx)>0,证明至少存在一点5∈(a,b),使得 n-2b-a.(8分) f(a)f() 七、设e4b-a.(8分) 八、某窗的形状为半圆置于矩形之上，若此窗的周长为一定值1，试确定半圆的半径 r和矩形的高，使所能通过窗户的光线最为充足.(8分) B级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.当x→0时，下列四式： ①sinx=x+o(x) ②sinx=x+o(x2): 3 sinx=x-+o） 中，错误的是()
2 5．抛物线 2 y x x = − 4 在它的顶点处的曲率半径 R = _． 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1．计算 0 1 1 lim( ) 1 x x→ x e − − ． 2．计算 2 0 sin lim x arcsin x x → x x − ． 3．求函数 2 2 3 f x x ( ) ( 5) = − ( 1) x + 的单调区间和极值． 4．求函数 3 2 ( 1) ( ) ( 1) x f x x − = + 的凹凸区间与拐点． 5．求函数 3 f x x x ( ) ln = 在 x = 1 的二阶泰勒公式． 四、试证方程 3 x x c − + = 3 0 （ c 为任意常数）在 [0,1] 上不可能有两个根．（8 分） 五、设 f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f f (0) (1) 0 = = ， 1 ( ) 1 2 f = ，试证至少 存在一点 (0,1)，使 f ( ) 1 = ．（8 分） 六、设函数 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，且 f x( ) 0 ，证明至少存在一点 ( , ) a b ，使得 ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) f b f b a f a f = − ．（8 分） 七、设 2 e a b e ，证明： 2 2 2 4 ln ln ( ) b a b a e − − ．（8 分） 八、某窗的形状为半圆置于矩形之上， 若此窗的周长为一定值 l ，试确定半圆的半径 r 和矩形的高 h ，使所能通过窗户的光线最为充足．（8 分） B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．当 x → 0 时，下列四式： ① sin ( ) x x o x = + ； ② 2 sin ( ) x x o x = + ； ③ 3 5 sin ( ) 3! x x x o x = − + ； ④ 3 4 sin ( ) 3! x x x o x = − + 中，错误的是（ ）．
A.④. B.②，③，④ C.③. D.①，②，③，④. 2.已知了d在x=0的某个邻域内连续，且/0)=0，四-c0s f(x) =2,则在点x=0 处fx)（). A.不可导 B.可导，且f'(0)≠0 C.取得极大值， D.取得极小值. 3.(01研)设函数f(x)在定义域内可导，y=fx)的 图形如右图所示，则导函数y=(x)的图形为( 4.在区间(-0，+o)内，方程Ix下+1xP-cosx=0(). A.无实根. B.有且仅有一个实根。 C.有且仅有两个实根. D.有无穷多个实根. 5.(01研)曲线在y=(x-1)(x-2的拐点个数为(). A.0. B.1. C.2. D.3. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设fx)=xln1+x2),则f(0)= 2.吗=0+90+ e'-sinx-1_ 3.细1-
3 A．④． B．②，③，④． C．③． D．①，②，③，④． 2．已知 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内连续，且 f (0) 0 = ， 0 ( ) lim 2 1 cos x f x → x = − ，则在点 x = 0 处 f x( ) （ ）． A．不可导． B．可导，且 f (0) 0 ． C．取得极大值． D．取得极小值． 3．（01 研）设函数 f x( ) 在定义域内可导， y f x = ( ) 的 图形如右图所示，则导函数 y f x = ( ) 的图形为（ ）． A． B． C． D． 4．在区间 ( , ) − + 内，方程 1 1 4 2 | x x x | | | cos 0 + − = （ ）． A．无实根． B．有且仅有一个实根． C．有且仅有两个实根． D．有无穷多个实根． 5．（01 研）曲线在 2 2 y x x = − − ( 1) ( 2) 的拐点个数为（ ）． A．0． B．1． C．2． D．3． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 2 f x x x ( ) ln(1 ) = + ，则 (7) f (0) =_． 2． 2 0 (1 )ln(1 ) lim x x x x → x − + + =_． 3． 0 2 sin 1 lim 1 1 x x e x x → − − − − =_． x y o x y o x y o x y o x y o
特殊情况 4.设fx)=xe,则fo(x)在点x= 处取得极小值 5.函数y=x产在L,]上的值域为 三、计算题（每小题6分，共30分）》 1.计算g+m-+n x(e-1) 2.设倒在=a处有=阶号数，且/a)0,求回-f@-a回 1- 3.计算eosx-e)3sn 4.求函数一少的单调区间，凹凸区间，极值。拐点和渐近线。 5.求数列心-2n-1凸；的最大项（已知236>37）。 四、设fx)在[a,b(01时有e>(x2+).(8分) 六、设fx)在0，)上连续，在(0，)内可导，且f0)=f0=0,f分)=1，试证： (1)存在n∈(5)，使f)=7: (2)对任意的实数1，存在5∈0，)，使∫(5)-f(5)-】=1.(8分) 七、设fx)在0，+o)可导，且f(x)≥k>0,f0)<0,证明：方程fx)=0在(0，+o) 内有唯一的实根.(8分) 八、设函数fx)在0,2】上连续，在0,2)内有三阶连续可导，且f0)=3,f2)=4， f0=m曲)，试证明：至少存在一点5∈(0,2)，使∫"()=3.(8分) 4
4 4．设 ( ) x f x xe = ，则 ( ) ( ) n f x 在点 x = _处取得极小值_． 5．函数 1 x y x = 在 2 [1, ] e 上的值域为_． 三、计算题（每小题 6 分，共 30 分） 1．计算 2 0 1 tan 1 sin lim ( 1) x x x x x e → + − + − ． 2．设 f x( ) 在 x a = 处有二阶导数，且 f a( ) 0 ，求 1 lim[ ( ) ( ) x a → f x f a − 1 ] ( ) ( ) x a f a − − ． 3．计算 2 2 2 0 2 1 1 2 lim (cos )sin x x x x x e x → + − + − ． 4．求函数 3 2 ( 1) x y x = − 的单调区间，凹凸区间，极值，拐点和渐近线． 5．求数列 2 2 12 { } n n n e − − 的最大项（已知 23 37 e ）． 四、设 f x( ) 在 [ , ] a b (0 ) a b 上连续，在 ( , ) a b 可导，试证存在 , ( , ) a b 使 2 ( ) ( ) f f ab = ．（8 分） 五、证明： x 1 时有 2 ( 1) 2 x e e x + ．（8 分） 六、设 f x( ) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f f (0) (1) 0 = = ， 1 ( ) 1 2 f = ，试证： （1）存在 1 ( ,1) 2 ，使 f ( ) = ； （2）对任意的实数 ，存在 (0, ) ，使 f f ( ) [ ( ) )] 1 − − = ．（8 分） 七、设 f x( ) 在 [0, ) + 可导，且 f x k ( ) 0 ， f (0) 0 ，证明：方程 f x( ) 0 = 在 (0, ) + 内有唯一的实根．（8 分） 八、设函数 f x( ) 在 [0,2] 上连续，在 (0,2) 内有三阶连续可导，且 f (0) 3 = ， f (2) 4 = ， [0,2] (1) min ( ) x f f x = ，试证明：至少存在一点 (0,2) ，使 f ( ) 3 = ．（8 分） 特殊情况