第二章导数与微分 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分）. 1.设fx)在(a,b)内连续，且，∈(a,b),则在点处(. A.fx)的极限存在且可导. B.fx)的极限存在但不一定可导. C.∫x)的极限不存在但可导. D.fx)的极限不一定存在 2.设fx)可微，则d矿(e)=(). A.f(x)dx.B.f(e")dx.C.f(e")e'dx.D.f(e')e". 3.设fx)=ax”+a,x+.a,·则0(0)=(). A.an· B.a· C.nld. D.0. 4.设曲线y=x+a与曲线y=bx2+c在点(-1,0)处相切，其中a、b、c为常数.则 (). A.a=b=-1,c=1. B.a=-l1,b=2,c=-2. C.a=1,b=-2.c=2. D.a=c=1b=-1. 5.设是可导函数且m四-，0-出。-1.则曲线y=)在点L0》处的切 2x 线斜率为(). A.-1. B.-2. c.0. D.1. 二、填空题（每小题3分，共15分）. 1.已知x)=-小，则吗了6-2-%- 2.若fx)为可微函数，当△x→0时，则在点x处的△y-dy是关于△x的 3.设)-1+x ,则= 4.曲线y=arctanx在横坐标为1处的切线方程是 ，法线方程是 5.dsin dix (sinx, -π/2≤x<0 三、设函数f(x)={e-L,0≤x<ln3.讨论f(x)的连续性与可导性.(7分) 2x2, ln3≤x<3
1 第二章 导数与微分 A 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分）． 1．设 f x( ) 在 ( , ) a b 内连续，且 0 x a b ( , ) ，则在点 0 x 处（ ）． A． f x( ) 的极限存在且可导． B． f x( ) 的极限存在但不一定可导． C． f x( ) 的极限不存在但可导． D． f x( ) 的极限不一定存在． 2．设 f x( ) 可微，则 ( )x df e =（ ）． A． f x dx ( ) ． B． ( )x f e dx ． C． ( )x x f e e dx ． D． ( )x x f e e ． 3．设 1 0 1 ( ) n n n f x a x a x a − = + + ．则 ( ) (0) n f =（ ）． A． n a ． B． 0 a ． C． 0 n a! ． D．0 ． 4．设曲线 3 y x ax = + 与曲线 2 y bx c = + 在点 ( 1,0) − 处相切，其中 a 、b 、c 为常数．则 （ ）． A． a b c = = − = 1, 1． B． a b c = − = = − 1, 2, 2 ． C． a b c = = − = 1, 2, 2． D． a c b = = = − 1, 1． 5．设 f x( ) 是可导函数且 0 (1) (1 ) lim 1 x 2 f f x → x − − = − ．则曲线 y f x = ( ) 在点 (1, (1)) f 处的切 线斜率为（ ）． A． −1． B． −2 ． C．0 ． D．1． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）． 1．已知 0 f x ( ) 1 = − ，则 0 0 0 lim ( 2 ) ( ) x x → f x x f x x − − − =_． 2．若 f x( ) 为可微函数，当 →x 0 时，则在点 x 处的 −y yd 是关于 x 的_． 3．设 1 ( ) 1 x f x x − = + ，则 ( ) ( ) n f x =_． 4．曲线 y x = arctan 在横坐标为 1 处的切线方程是_，法线方程是_． 5． d x sin d x = _． 三、设函数 2 sin , / 2 0 ( ) 1, 0 ln 3 2 , ln 3 3 x x x f x e x x x − = − ．讨论 f x( ) 的连续性与可导性．（7 分）
四、计算题（每小题7分，共49分） L.求函数y=arctane的一阶导数. 2设y=F-口-号x+F-a.求与y 3.求(x2cosx)o 4.设fu)为可微函数.求y=fe)e四的导数 dx 5高要一哥价粉号数 6设=产.求要 7.求由方程c0(x+川=y确定的隐函数y=f)的导数与二阶导数片 dx 五、证明题（每小题7分，共14分）. 1.设fx)=(x-a)o(x),其中为o(x)连续函数.证明：fx)在点x=a处的导数存在 且等于p(a). 2.已知商数了=)二阶可号且满足方程0-密-密+=0，求证，若令 x=sin1,则此方程可以变换为+dy=0. 2 B级自测题 一、选择题（每小题3分，共12分）. 1.若函数y=)满足f)-之则当A→0时，L是（)， A.与△x等价的无穷小. B.与△x同阶但不等价的无穷小. C.比△x低阶的无穷小. D.比△r高阶的无穷小. 2.若fx)为(-0，+o)内的可导的奇函数，则f"(x)(). A.为(-0，+o)内的奇函数. B.为(-，+o)内的偶函数
2 四、计算题（每小题 7 分，共 49 分） 1．求函数 arctan x y e = 的一阶导数． 2．设 2 2 2 2 2 ln( ) 2 2 x a y x a x x a = − − + − ．求 dy 与 y ． 3．求 3 (10) ( cos ) x x ． 4．设 f u( ) 为可微函数．求 ( ) ( )x f x y f e e = 的导数 dy dx ． 5．函数 2 3 (1 ) (1 ) x x y x − = + 的一阶导数． 6．设 2 1 t x e = − ， 2 t y e = ．求 2 2 d y dx ． 7．求由方程 cos( ) x y y + = 确定的隐函数 y f x = ( ) 的导数 dy dx 与二阶导数 2 2 d y dx ． 五、证明题（每小题 7 分，共 14 分）． 1．设 f x x a x ( ) ( ) ( ) = − ，其中为 ( ) x 连续函数．证明： f x( ) 在点 x a = 处的导数存在 且等于 ( ) a ． 2．已知函数 y y x = ( ) 二阶可导且满足方程 2 2 2 2 (1 ) 0 d y dy x x a y dx dx − − + = ．求证：若令 x t = sin ，则此方程可以变换为 2 2 2 0 d y a y dt + = ． B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 12 分）． 1．若函数 y f x = ( ) 满足 0 1 ( ) 2 f x = ．则当 →x 0 时， 0 | x x dy = 是（ ）． A．与 x 等价的无穷小． B．与 x 同阶但不等价的无穷小． C．比 x 低阶的无穷小． D．比 x 高阶的无穷小． 2．若 f x( ) 为 ( , ) − + 内的可导的奇函数，则 f x ( ) （ ）． A．为 ( , ) − + 内的奇函数． B．为 ( , ) − + 内的偶函数．
C.为(-0，+o)内的非奇非偶函数.D.可能为(-0，+o)内的奇函数，可能为偶函数. 3.设周期函数f)在（一∞∞）内可导，周期为4，又m-0-。-1.则曲线 2r y=fx)在点(5，fS》处的切线斜率为(）. A. B.0 C.-1. D.-2 4.设f)(x-1x-2}(x-3)1.则∫(x)不存在的点的个数是（). A.0. B.1. C.2. D.3. 二、填空题（每小题4分，共12分. 1.设f(x)=x(x+1x+2)(x+).则f"(0)= 2.已知y=小货：.e=n,则安 3.曲线=1+「在1=2处的切线方程为 ly=p 三、解答题（每小题6分，共54分）. 1.设y=++派.求y 2.设y=In(xsecx)川.求. 主设y=m到且了二价可联.求杂 1 4.设y2-5x+4求ym, 5.求幂指数函数y=nx的一阶导数 6.求函数y=Vxsinx-e的一阶导数. 7设x=,m,.求空是 8.设y=+功，其中了具有二阶号数且其阶号数不等于1.求杂 又便数阳是由方盟传商院，求会 四、设函数y=f(x)三阶可导并且其反函数x=gy)存在且可导.试用"(x),f(x)和
3 C．为 ( , ) − + 内的非奇非偶函数． D．可能为 ( , ) − + 内的奇函数，可能为偶函数． 3．设周期函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内可导，周期为 4 ，又 0 (1) (1 ) lim 1 x 2 f f x → x − − = − ．则曲线 y f x = ( ) 在点 (5, (5)) f 处的切线斜率为（ ）． A． 1 2 ． B． 0 ． C． −1． D．−2 ． 4．设 2 3 f x x x x ( ) | ( 1)( 2) ( 3) | = − − − ．则 f x ( ) 不存在的点的个数是（ ）． A． 0 ． B．1． C．2 ． D．3． 二、填空题（每小题 4 分，共 12 分）． 1．设 f x x x x x n ( ) ( 1)( 2) ( ) = + + + ．则 f (0) =_． 2．已知 3 2 ( ) 3 2 x y f x − = + ， 2 f x x ( ) arctan = ．则 0 | x dy dx = =_． 3．曲线 2 3 x t 1 y t = + = 在 t = 2 处的切线方程为_． 三、解答题（每小题 6 分，共 54 分）． 1．设 3 3 3 y x = + + 1 1 ．求 y ． 2．设 2 y x x =[ln( sec )] ．求 dy ． 3．设 y f x = (ln ) 且 f 二阶可导．求 2 2 d y dx ． 4．设 2 1 5 4 y x x = − + ．求 (100) y ． 5．求幂指数函数 (ln )x y x = 的一阶导数． 6．求函数 sin 1 x y x x e = − 的一阶导数． 7．设 sin t x e = ， sin t y e = ， 2 z t = ．求 dx dz ， 2 2 d y dz ． 8．设 y f x y = + ( ) ，其中 f 具有二阶导数且其一阶导数不等于 1 ．求 2 2 d y dx ． 9．设函数 y y x = ( ) 是由方程组 2 arctan 2 5 t x t y ty e = − + = 所确定．求 dy dx ． 四、设函数 y f x = ( ) 三阶可导并且其反函数 x g y = ( ) 存在且可导．试用 f x ( )，f x ( ) 和
(x)表示gy).(6分) 五、证明题（每小题8分，共16分） 1.证明：(e)=e 2.设fx)在(-，+o)上有定义，对任何xy∈(-0，+o)满足fx+y)=fx∫)且 有f"0)=1.证明：当xe(-o,+o)时，f(x)=fx)
4 (3) f x( ) 表示 (3) g y( ) ．（6 分） 五、证明题（每小题 8 分，共 16 分）． 1． 证明： 1 1 1 1 ( 1) ( ) n n n x x n n d x e e dx x − + − = ． 2． 设 f x( ) 在 ( , ) − + 上有定义，对任何 x y 、 − + ( , ) 满足 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) + = 且 有 f (0) 1 = ．证明：当 x − + ( , ) 时， f x f x ( ) ( ) = ．