第八章重积分 A级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.设D和D,为xO平面上的非空有界闭区域，D,cD,函数fx,)在区域D,上连 续，则下列结论中正确的是(). A.dG不-定存在.B.fxda≤f,aa C.das川do.D.∬/xda≠fsdo. 2.设D={x川x2+y≤d,则二重积分小ydd的值为（). A.0.B. C.a'. D.na' 3.设D={x,y川x2+y2≤d}(a>0为常数)，f川V后-x2-ydkd=π，则a的值为 (). A.1. B5c语n得 4.设2是锥体：5√F+少（仁≥0）介于：=1和：=2之间的部分，则三重积分 I=∬x++:dw化为三次积分为(). A.∫a0fp2+)pdp. B.dod2+t。 C."dofdsin odr. D."do dsinodr. 5.设有空间区域2：x2+y2+2≤R2,≥0及2，：x2+y2+2≤R2,x≥0， y≥0，：≥0，则(）. A.h=4们h B.们=4h
1 第八章 重积分 A 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 D1 和 D2 为 xOy 平面上的非空有界闭区域， 1 2 D D , 函数 f x y ( , ) 在区域 D2 上连 续，则下列结论中正确的是（ ）． A． 1 ( , ) D f x y d 不一定存在． B． 1 2 ( , ) ( , ) D D f x y d f x y d ． C． 1 2 | ( , ) | | ( , ) | D D f x y d f x y d ． D． 1 2 ( , ) ( , ) D D f x y d f x y d ． 2．设 2 2 2 D x y x y a = + {( , ) | }, 则二重积分 | | D xy dxdy 的值为（ ）． A． 0 ． B． 4 a ． C． 1 4 2 a ． D． 4 a ． 3．设 2 2 2 D x y x y a = + {( , ) | } （ a 0 为常数）， 2 2 2 − − = D a x y dxdy ，则 a 的值为 （ ）． A．1． B． 3 1 2 ． C． 3 3 4 ． D． 3 3 2 ． 4．设 是锥体 2 2 z x y z + ( 0) 介于 z =1 和 z = 2 之间的部分，则三重积分 2 2 2 ( ) = + + I f x y z d 化为三次积分为（ ）． A． 2 2 2 2 1 0 0 ( ) + z dz d f z d ． B． 2 2 1 2 2 0 1 0 ( ) + d d f z dz ． C． 2 2 4 2 2 0 0 1 ( ) sin d d f r r dr ． D． 2 2 2 2 2 0 1 4 ( ) sin d d f r r dr ． 5．设有空间区域 2 2 2 2 1 + + : , 0 x y z R z 及 2 2 2 2 2 + + : , x y z R x 0, y 0, z 0 ，则（ ）． A． 1 2 xdv xdv 4 = ． B． 1 2 ydv ydv 4 = ．
C.∬h=4∬. D.∬xz=4∬z. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.改变1=厘化的积分次序，则1=— 2.设D是由x=0,y=0,x+y=)x+y=1围成，且 =n(x+川'da,4=∬c+do,4=∬sm'r+a 则1,12,13的大小顺序为 3.设n是由：=+少，y=x=y=0:=0围成。则巨重积分顶化地表示成 柱坐标下的累次积分是 4.设平面薄片所占区域D由曲线y=x和x+y=2a(a>0)所围成，其面密度μ是常 数，则此薄片的重心为 5.设Ω是由r+少+子=心围成的区域，则1=∬e示dw=一 三、解答题（每小题6分，共30分） .计算二重积分1=广xsin上dkd,其中D由直线y=0,y=xx=1所围成. 2.设fx)=ied,求jx. 3.(o6研)设区诚D=c水+y≤L2,计第二重职分1-，的 4.计算I=∬zd心，其中2是由x=a(a>0),y=x,:=y,:=0围成. 5.求曲面：=4-（x2+y)与平面z=2所围成的立体的体积 四、计算1=r2+y-4其中D=x川2+y≤.(8分) 五、计算1=川e-du,其中2是由x2+y2≤1,0s:s1围成.(8分)
2 C． 1 2 zdv zdv 4 = ． D． 1 2 xyzdv xyzdv 4 = ． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．改变 2 2 2 2 0 2 ( , ) − = − a a y a y a I dx f x y dy 的积分次序，则 I = ． 2．设 D 是由 1 0, 0, , 1 2 x y x y x y = = + = + = 围成，且 7 1 = + ln( ) , D I x y d 7 2 = + ( ) , D I x y d 7 3 = + sin ( ) , D I x y d 则 1 2 3 I I I , , 的大小顺序为 ． 3．设 是由 2 2 z x y y x x y z = + = = = = , , 1, 0, 0 围成，则三重积分 ( , , ) f x y z d 表示成 柱坐标下的累次积分是 ． 4．设平面薄片所占区域 D 由曲线 2 ay x = 和 x y a a + = 2 ( 0) 所围成，其面密度 是常 数，则此薄片的重心为 ． 5．设 是由 2 2 2 2 x y z R + + = 围成的区域，则 2 2 2 + + = = x y z I e d ． 三、解答题（每小题 6 分，共 30 分） 1．计算二重积分 = sin , D y I x dxdy x 其中 D 由直线 y y x x = = = 0, , 1 所围成． 2．设 2 1 ( ) , − = x t f x e dt 求 1 0 ( ) f x dx ． 3．（06 研）设区域 2 2 D x y x y x = + {( , ) 1, 0} ，计算二重积分 2 2 1 1 + = + + D xy I dxdy x y ． 4．计算 , = I xyzd 其中 是由 x a a y x z y z = = = = ( 0), , , 0 围成． 5．求曲面 1 2 2 4 ( ) 2 z x y = − + 与平面 z = 2 所围成的立体的体积． 四、计算 2 2 = + − 4 , D I x y dxdy 其中 2 2 D x y x y = + {( , ) | 9}．（8 分） 五、计算 2 2 , − − = x y I e d 其中 是由 2 2 x y z + 1,0 1 围成．（8 分）
六、设F0=∬fr2+y广+du,其中n为2+y2+2≤ru>0,f0为连续函数， 且/0=0=0.证明：册9-督.8分 七、设均匀薄片（面密度为1）所占闭区域D是由少2=？x和直线x=2所围成，求此 薄片对x、y轴的转动惯量.(8分) 八、在底半径为R高为H的均匀圆柱体上拼加一个同材质同半径的半球，使半球的 底圆与圆柱体的一个底圆重合，要使整个立体的重心位于球心处，求R与H的关系.(8 分) B级自测题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.设m、n为正数，D={(x,)川x2+y2≤d2}(a>0为常数)，若积分川x"yd=0, 则下列结论中正确的是(). A.m、n可以为任意正整数 B.m、n至少有一个是偶数 C.m、n至少有一个是奇数， D.这样的m、n不存在. 2r7D-0e05y8则=重分 fx的值为(). AB.} c. D.6 3.(06研)设fx,)为连续函数，则d0fcos0,rsin8r等于 AFxw。 .r.y c.∫耐，可。 D.∫5可 4.设Ω是：=x+y与：=1所围区域在第一卦限的部分，则川(x,y,=)d心≠()， A.pd"fx.y. B.dov.y C.dof,rdrff(rcoso.rsin0.d. D.jlFkxxt
3 六、设 2 2 2 ( ) ( ) , = + + F t f x y z d 其中 为 2 2 2 2 x y z t t f u + + ( 0), ( ) 为连续函数， 且 f f (0) 1, (0) 0 = = ．证明： 5 0 ( ) 4 lim 5 → + = t F t t ．（8 分） 七、设均匀薄片（面密度为 1）所占闭区域 D 是由 2 9 2 y x = 和直线 x = 2 所围成，求此 薄片对 x y 、 轴的转动惯量．（8 分） 八、在底半径为 R, 高为 H 的均匀圆柱体上拼加一个同材质同半径的半球，使半球的 底圆与圆柱体的一个底圆重合，要使整个立体的重心位于球心处，求 R 与 H 的关系．（8 分） B 级自测题 一、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 m 、n 为正数， 2 2 2 D x y x y a = + {( , ) | } （ a 0 为常数），若积分 = 0 m n D x y dxdy ， 则下列结论中正确的是（ ）． A． m 、 n 可以为任意正整数． B． m 、 n 至少有一个是偶数． C． m 、 n 至少有一个是奇数． D．这样的 m 、 n 不存在． 2．设 1 , 1 ( , ) , 0, 1 − − + = + x y x y f x y x y D x y x y = {( , ) | 0 1,0 1} ，则二重积分 ( , ) D f x y dxdy 的值为（ ）． A． 1 2 ． B． 1 3 ． C． 1 4 ． D． 1 6 ． 3．（06 研）设 f x y ( , ) 为连续函数，则 1 4 0 0 ( cos , sin ) d f r r rdr 等于 A． 2 2 1 2 0 ( , ) − x x dx f x y dy ． B． 2 2 1 2 0 0 ( , ) − x dx f x y dy ． C． 2 2 1 2 0 ( , ) − y y dy f x y dx ． D． 2 2 1 2 0 0 ( , ) − y dy f x y dx ． 4．设 是 2 2 z x y = + 与 z =1 所围区域在第一卦限的部分，则 ( , , ) f x y z d （ ）． A． 2 1 0 0 0 ( , , ) − z z x dz dx f x y z dy ． B． 2 2 2 1 1 0 0 0 ( , , ) − + x x y dx dy f x y z dz ． C． 2 1 1 2 0 0 ( cos , sin , ) r d rdr f r r z dz ． D． 2 2 2 1 1 1 0 0 ( , , ) − + x x y dx dy f x y z dz ．
5.设D是xOy平面上以L,(-1,)和(-L,-)为顶点的三角形区域。D是D在第一象 限的部分，则∬(+cosxsin幼等于（). A.2 cosxsin ydxdy. B.2xdrdy. C.4∬(y+cosxsiny)dd. D.0. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.改变1=fx,+宁fx的积分次序，则1= 2=次积分严在一 3.设Q是由双曲抛物面z=y及x+y=1和：=0围成，则三重积分∬f(x,y,)dw按 “先：，再y最后x”的积分顺序的三次积分是 4.设两圆p=2sin0及p=4sin8所围成的均匀薄片重心为（仅，），则)可用极坐标下 的二次积分表示为 5.设D={x,川x2+y2≤，fx,)为D上的连续函数，且 fx,y）=sinx2+y2)+j∬fu,)du, 则函数∫x,)的表达式为 三、解答题（每小题6分，共30分） 1.(06研)计算二重积分∬VF-k,其中D是由曲线y=x,y=1,x=0所 围成的平面区域。 1.D={x,y川x2+y≤1x≥20，y≥0，计算1=J川(N2+y2-2y+2)dd. 3.计算三重积分1=川3d心，其中Q由：=V2+严，：=√4-x2-y所围成. 4.求曲面c=y2+x产(a>0)及：=√2+x2所围成的立体的体积 5.求锥面：=√X2+y2被柱面：2=2x所截下部分的面积。 四、计算三重积分1=川sin2+y+:)d,其中2由：=R-r-乎(R>0)及 z=√3(x2+y围成.(8分)
4 5．设 D 是 xOy 平面上以 (1,1),( 1,1) − 和 ( 1, 1) − − 为顶点的三角形区域。 D1 是 D 在第一象 限的部分，则 ( cos sin ) + D xy x y dxdy 等于（ ）． A． 1 2 cos sin D x ydxdy． B． 1 2 D xydxdy ． C． 1 4 ( cos sin ) + D xy x y dxdy ． D．0． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1．改变 2 3 1 3 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) − = x x I dx f x y dy dx f x y dy + 的积分次序，则 I = ． 2．二次积分 1 0 sin = y y x dy dx x ． 3．设 是由双曲抛物面 z xy = 及 x y + =1 和 z = 0 围成，则三重积分 ( , , ) f x y z d 按 “先 z, 再 y, 最后 x ”的积分顺序的三次积分是 ． 4．设两圆 = 2sin 及 = 4sin 所围成的均匀薄片重心为 ( , ) x y ，则 y 可用极坐标下 的二次积分表示为 ． 5．设 2 2 D x y x y = + {( , ) | } ， f x y ( , ) 为 D 上的连续函数，且 2 2 ( , ) sin( ) ( , ) = + + D f x y x y f u v dudv ， 则函数 f x y ( , ) 的表达式为 ． 三、解答题（每小题 6 分，共 30 分） 1．（06 研）计算二重积分 2 − D y xydxdy ，其中 D 是由曲线 y x = ， y =1， x = 0 所 围成的平面区域． 1． 2 2 D x y x y x y = + {( , ) | 1, 0, 0}，计算 2 2 ( 2 2) D I x y xy dxdy = + − + ． 3．计算三重积分 , = I xyz d 其中 由 2 2 2 2 z x y z x y = + = − − , 4 所围成． 4．求曲面 2 2 az y x a = + ( 0) 及 2 2 z y x = + 所围成的立体的体积． 5．求锥面 2 2 z x y = + 被柱面 2 z x = 2 所截下部分的面积． 四、计算三重积分 3 2 2 2 2 sin( ) , = + + I x y z d 其中 由 2 2 2 z R x y = − − ( 0) R 及 2 2 z x y = + 3( ) 围成．（8 分）
五、计算三重积分1=∬2+y+:,其中n由少=2：绕：轴旋转一周而成的曲 x=0 面与平面：=4所围成的立体.(8分) 六、计算三重积分1=∬ed,其中n为1sx+ys2,x≥0，y≥0,0s:3.(8分) 七、在一个形为旋转体（侧面为旋转抛物面：=x2+y2)的容器内已经盛有8π(cm)的 水，现在又注入120x(c)的水，问水面比原来升高多少？(8分) 八、设有一个由曲线y=nx,直线x=e及x轴所围成的密度为1的匀质薄片，求此薄 片绕x=1旋转的转动惯量)，并问1为何值时1)最小.(8分)
5 五、计算三重积分 2 2 2 ( ) , = + + I x y z d 其中 由 2 2 0 = = y z x 绕 z 轴旋转一周而成的曲 面与平面 z = 4 所围成的立体．（8 分） 六、计算三重积分 2 ( ) , + = x y I ze d 其中 为 1 2, 0, 0,0 3. + x y x y z （8 分） 七、在一个形为旋转体（侧面为旋转抛物面 2 2 z x y = + ）的容器内已经盛有 3 8 ( ) cm 的 水，现在又注入 3 120 ( ) cm 的水，问水面比原来升高多少？（8 分） 八、设有一个由曲线 y x = ln , 直线 x e = 及 x 轴所围成的密度为 1 的匀质薄片，求此薄 片绕 x t = 旋转的转动惯量 It( ), 并问 t 为何值时 It() 最小．（8 分）