§1.6函数的连续性与间断点 函数的连续性 1、每天的温度是随着时间而连续变化的。 2、行进中的列车的速度是随着时间而连续变化 的。 3、平面上的一条连续的曲线表现为纵坐标y随 着横坐标x而连续变化的
§1.6 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 1、每天的温度是随着时间而连续变化的。 2、行进中的列车的速度是随着时间而连续变化 的。 3、平面上的一条连续的曲线表现为纵坐标 y 随 着横坐标 x 而连续变化的
一般地，函数y=f(x),x∈U(x)在点x,有增量△x, 记△x=x一x。，称为自变量x(在点x)的增量。相应 的函数的增量记为： △y=f(x)-f(x)=f(x+△x)-f(xo)=y-yo 定义1设函数y=f(x)在某U(x)内有定义， Ax=xi(+Ax)-f()]=linAv=0, 则称函数f(x)在点x连续
0 0 0 0 = − = + − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) 定义 设函数 在某 内有定义， , 若 ， 则称函数 在点 连续。 y f x = ( ) 0 U x( ) f x( ) 0 x 0 = − x x x 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim 0 x x f x x f x y → → + − = = 1 记 ，称为自变量 （在点 ）的增量。相应 的函数的增量记为: 0 = − x x x 0 x x 一般地，函数 0 在点 有增量 , y f x x U x = ( ), ( ) 0 x x
定义2设函数y=f(x)在某U(x)内有定义，若 Iimf(x)=f(xo),则称f(x)在点x,连续。 定义3若Vε>0,36>0，当x-xx 3) lim f(x)=f(xo)
定义2 设函数 在某 内有定义, 若 ，则称 在点 连续。 y f x = ( ) 0 U x( ) 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = f x( ) 0 x 2） x x lim ( ) → 0 f x 存在； 1） f 在点 x0 处有定义; 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → 3） = 。 0 0 0, 0, ( ) ( ) x x f x f x − − 定义3 若 当 时，恒有 由上述定义可知，若函数 在点 连续，则 在 必须同时具备： f x( ) 0 x 0 f x( ) x
定义4设函数∫在某U,(xU(x,》内有定义，若 lim f(x)=f(xo)(lim f(x)=f(xo)) X0 则称f在点x右（左）连续。 定理1 函数f在点x,连续的充要条件是：f在点x。 既是右连续，又是左连续。 如果函数y=f(x)在某区间上每一点都是连续 的（如果该区间包含端点，且在左端点处右连续， 右端点处左连续)，则称函数y=f(x)在该区间上 是连续的
定义4 设函数 在某 内有定义，若 则称 在点 右（左）连续。 f 0 0 U x U x ( )( ( )) + − 0 0 0 0 lim ( ) ( )(lim ( ) ( )) x x x x f x f x f x f x → → + − = = f 0 x 定理1 函数 在点 连续的充要条件是： 在点 既是右连续，又是左连续。 f 0 x f 0 x 如果函数 在某区间上每一点都是连续 的（如果该区间包含端点，且在左端点处右连续， 右端点处左连续），则称函数 在该区间上 是连续的。 y f x = ( ) y f x = ( )
在闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如，P(x)=a0+a1x+.+anx” (有理整函数) 在(-0，+0)内连续. 又如，有理分式函数R(x)= P(x) e(x) 在其定义域内连续， 只要Q(xo)≠0，都有1imR(x)=R(x) x→x0
C[a, b]. 例如, 在 内连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = →
例1证明函数f(x)=sinx在（-oo,+o) 内连续。 例2讨论函数 x+2 x≥0 f(x)= x-2 x0 f(x)= b x=0 在x=O处连续。 1 x<0 (1+x)
例2 讨论函数 在点 的连续性。 2 0 ( ) 2 0 x x f x x x + = − x = 0 例3 确定 a b, 的值，使函数 1 sin 0 ( ) 0 0 0 (1 ) x x a x x f x b x x x x + = = = + 在 处连续。 2 • − 2 o x y 例1 证明函数 f x x ( ) sin = 在 (− + , ) 内连续
二函数的间断点及其分类 定义5设函数f(x)在点x,的某去心邻域内有 定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一： (1)函数f(x)在点x无定义； (2)虽然在x处有定义，但l1imf(x)不存在； (3)虽然在x,处有定义且limf(x)存在，但是 limf(x)≠f(xo) 则称函数f(x)在点处不连续，点xn称为函数的一 个间断点（或不连续点)
定义5 设函数 在点 的某去心邻域内有 定义，如果函数 有下列三种情形之一： （1）函数 在点 无定义； （2）虽然在 处有定义，但 不存在； （3）虽然在 处有定义且 存在，但是 则称函数 在点 处不连续，点 称为函数的一 个间断点（或不连续点）． f x( ) f x( ) f x( ) 0 x 0 x 0 x 0 lim ( ) x x f x → 0 x 0 lim ( ) x x f x → 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → f x( ) 0 x 0 x . 二 函数的间断点及其分类
间断点的分类： 1、可去间断点 若limf(x)=A,而f在点x 无定义，或有定义但f(x)≠A,则称x,为f的可去 间断点。 例4讨论函数 y=1+x [2x,0≤x1, 在x=1处的连续性. 0
间断点的分类： 1、可去间断点 若 ，而 在点 无定义，或有定义但 ，则称 为 的可去 间断点。 0 lim ( ) x x f x A → = f 0 x 0 f x A ( ) 0 x f 例4 1 . 1 , 1, 1 0 1, 1, 2 , ( ) 在 处的连续性 讨论函数 = + = = x x x x x x f x o x y 1 1 2 y = 1+ x y = 2 x
注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义，则可使其变为连续点. 如例4中，令f1)=2, 则f(x)= 2x,0≤x<1, 1+x, x≥1， 在x=1处连续
注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义, 则可使其变为连续点. 如例4中, 令 f (1) = 2, 1 . 1 , 1, 2 , 0 1, ( ) 在 处连续 则 = + = x x x x x f x o x y 1 1 2
2、跳跃间断点 若函数f在点x的左、右极限 都存在，但1imf(x)≠limf(x)则称点x,为函数f >X0 的跳跃间断点。 5计论所意=(：5=必的连续整 解f0-0)=0,f(0+0)=1, f(0-0)≠f(0+0), ∴.x=0为函数的跳跃间断点 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。 3、非第一类间断的间断点都称为第二类间断点
2、跳跃间断点 若函数 在点 的左、右极限 都存在，但 则称点 为函数 的跳跃间断点 。 f 0 x 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x → → + − 0 x f 可去间断点和跳跃间断点 统称为第一类间断点。 3、非第一类间断的间断点都称为第二类间断点。 例5 0 . 1 , 0, , 0, 讨论函数 ( ) 在 = 处的连续性 + − = x x x x x f x 解 f (0 − 0) = 0, f (0 + 0) = 1, f (0 − 0) f (0 + 0), x = 0为函数的跳跃间断点. o x y