上次内容复习： 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
二、 第二类换元积分法 一、 第一类换元积分法 上次内容复习：
§4.3分部积分法 导数有关内容复习：（乘积的导数求解问题） (u(x)v(x)'=a'(x)v(x)+u(x)p'(x), d(u(x)v(x))=v(x)du(x)+u(x)dv(x) u(x)dv(x)=d(u(x)v(x))-v(x)du(x) 分部积分法 若(x)与v(x)可导，不定积分「u'(x)(x)d存在， 则u(x)v'(x)dx也存在，并有 ∫4(x)v'(x)d=u(x)v(ax)-∫u'(x)r(x)d
§4.3 分部积分法 导数有关内容复习：（乘积的导数求解问题） (u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ) = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d u x v x v x du x u x dv x u x dv x d u x v x v x du x = + = − 分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x dx u x v x dx u x v x dx u x v x u x v x dx = − 若 与 可导，不定积分 存在， 则 也存在，并有
例1求xcosxdx 特点：幂函数与三角函数的乘积 本题小结：幂函数与三角函数乘积的不定积分，幂 函数应设为u(x),三角函数应设为v'(x)。 例2求∫xed 特点：累函数与指 数函数的乘积 本题小结：幂品数与指数品数乘积的不定积分，幂 品数立设为(x)，指数盖数寇设为v'(x)
例1 求 x xdx cos 特点：幂函数与三角函数的乘积 本题小结：幂函数与三角函数乘积的不定积分，幂 函数应设为 u x( ) ，三角函数应设为 v x ( ) 。 例2 求 2 x x e dx 特点：幂函数与指 数函数的乘积 本题小结：幂函数与指数函数乘积的不定积分，幂 函数应设为 u x( ) ，指数函数应设为 v x ( )
例3求x3lnxd 特点：幂函数与对数 函数的乘积 本题小结：幂函数与对数函数乘积的不定积分，幂 函数应设为v'(x),对数函数应设为u(x)o 例4求[xarctan xd 特点：幂函数与反三 角函数的乘积 本题小结：幂函数与反三角函数乘积的不定积分， 幂函数应设为v(x),反三角函数应设为(x)o
例3 求 3 x xdx ln 特点：幂函数与对数 函数的乘积 本题小结：幂函数与对数函数乘积的不定积分，幂 函数应设为 v x ( ) ，对数函数应设为 u x( ) 。 例4 求 x xdx arctan 特点：幂函数与反三 角函数的乘积 本题小结：幂函数与反三角函数乘积的不定积分， 幂函数应设为 v x ( ) ，反三角函数应设为 u x( )
解题技巧：选取u及v的一般方法： 把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂 指 三”的顺序，前者为u后者为v', 反：反三角函数 对：对数函数 幂：幂函数 指：指数函数 三：三角函数
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂 指 顺序, 前者为 u 后者为 v . 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 三” 的
例5求「e*sin xdx 特点：指数函数与三 角函数的乘积 本题小结：指数函数与三角函数乘积的不定积分， 呈现循环性特征。 例6求∫sec3xd 呈现循环性特征。 例7求∫0-acsn1-ah √2x-x2 兼用换元积分法和分布积分法
例5 求 . e sin d x x x 特点：指数函数与三 角函数的乘积 本题小结：指数函数与三角函数乘积的不定积分， 呈现循环性特征。 例6 求 3 sec xdx 呈现循环性特征。 例7 求 2 (1 )arcsin(1 ) 2 x x dx x x − − − 兼用换元积分法和分布积分法
例8已知f(x)的一个原函数是lnx,则 ∫xf"(x)d= 作业：习题4-3，习题4-4
例8 已知 f x( ) 的一个原函数是 ，则 xf x dx ( ) = 2 ln x 作业：习题4-3，习题4-4
§4.4若干特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分 有理函数：R)=Py= a0”+a41x2++an e(x) Boxm+bx+bm m≤n时，R(x)为假分式，m>n时，R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式+真分式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 A Mx+N (k∈N,p2-4q<0) (x-a)’(x2+px+q)
§4.4 若干特殊类型函数的积分 一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1 有理函数: m n 时, 为假分式; m n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 2 ; ( ) ( ) k k A M x N x a x p x q + − + + 2 ( N , 4 0) k p q + − 若干部分分式之和
例1.将下列真分式分解为部分分式： 1 x+3 1 (1) x(x-1)2 (2) (3) x2-5x+6 (1+2x)1+x2) 解：(1)用拼凑法 1 x-(x-1) =-1 x(-12-x(x-1)2(x-1)2x(x-) =1。-x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) 11 (x-1)2 x-1 x
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1)
(2) 用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6 (x-2)(x-3) x-2x-3 ·.A=(x-2)原 =x+3 x=2-x=2-5 B=(x-3)原式 =3-36 6 故 原式=-5 x-2x-3
(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x