有关内容复习： (1)无穷小量、无穷大量； (2)无穷小量与无穷大量的关系； (3)极限存在准则： 准则I单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ夹逼定理
有关内容复习： （1）无穷小量、无穷大量； （2）无穷小量与无穷大量的关系； （3）极限存在准则： 准则Ⅰ 单调有界数列必有极限 . 准则Ⅱ 夹逼定理
(4)两个重要极限： S1n▣ lim 1 ▣-→0 -”-ewo=e
（4）两个重要极限： 0 sin lim 1 → = ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 e or e → → + = + =
无穷小的比较 lima=0,lim B=0 如果1mP=0,就说B是比a高阶的无穷小， a 记作B=o() 如果im形=o, 就说B是比a低阶的无穷小； 如果lm巳=c≠0，就说B是与a同阶无穷小； 如果limB =c≠0，k>0,就说B是关于α的k 阶无穷小：
如果 ，就说 是比 高阶的无穷小， 记作 ； lim 0 = = o( ) 如果 lim ，就说 是比 低阶的无穷小； = 如果 lim 0 c ，就说 是与 同阶无穷小； = lim 0,lim 0 = = 无穷小的比较 lim 0, 0 k c k 如果 = ，就说 是关于 的 k 阶无穷小；
如果mE-l, 就说α与B是等价无穷小， X 记作~B· 例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinx~x;tanx ~x arcsinx~x 又如 lim- 1-cosx 2 2sin lim x→0 x2 x-04() 2 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-C0sx~)x2
lim = 1 ~ 如果 ，就说 与 是等价无穷小， 记作 . 例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ 又如 ， = 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且
例3.证明当x→0时，1+x-1心1x. 证： lim /1+x-1 x→0 a”-b”=(a-b)(a"-1+am-2b++b-l) lim (1+x-1分f=x =1 x-0 x[(1+x)+(1+xy-2+.+1] 当x→0时，1+x-1心1x n
例3. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n b
例4.证明：e-1~x. 证：令y=e-l,则x=ln(1+y),且x→0时，y→0， 因此 e*-1 y 1 lim lim lim x->0 0ln(1+y)”0m(1+y) 1 lim =1 1 y-→01n0+y) 即有等价关系： ex-1~x 说明：上述证明过程也给出了等价关系： In(1+x)~x
例4. 证明: 证: 因此 即有等价关系: 说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
定理5B与是等价无穷小的充分必要条件为 B=a+o(a). 例如，x→0时，sinxx,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x) 定理6设a~d,B~B',且lim存在，则 lim =lim Q. tan 2x 2x2 例如， lim =lim x-→0S1n5x →05x 5
与 是等价无穷小的充分必要条件为 = + o( ) 定理5 ． 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x) ~ ~ lim lim lim 定理6 设 , ,且 存在，则 = . 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 =
常用的等价无穷小有：当x→0时 sinx, tanx-x, arcsinx-x, arctanx -x, e*-1~x,ln(1+x)~x,{ 1+x-1-1x,1-c0sx- n 2 sin 5x 例5求： lim 0x+x3 设对同一变化过程，B为无穷小。 和差取大规则： 若B=o(a,则a士B~ lim sin 5x 5x 解法2 *0x+x3 =1im3x=5 x→0X
常用的等价无穷小有：当 x →0 时 2 sin , tan , arcsin , arctan , 1 1 , ln(1 ) , 1 1 , 1 cos 2 x n x x x x x x x x x e x x x x x x n − + + − − 例5 求： 3 0 sin 5 lim x x → x x + 和差取大规则: 若 = o() , 3 0 sin 5 lim x x → x x + 0 5 lim x x → x = = 5 则 ~ 解法2 设对同一变化过程 , , 为无穷小
例6求：lim 3x+sin2x 和差取大规则 x0 tan2x-x3 tanx-sinx 例7.求：lim x→0 x2 tanx 解：原式=lim tanx(1-cosx) x2 tanx 原式关m产anx x->0 ix2 1 lim x-→0X 2 2 因式代替规则：若~B,且o(x)极限存在或有 界，则 lim ao(x)=lim Bo(x)
2 0 tan sin lim . x tan x x → x x − 2 0 lim x tan x x → x x − 原式 = 1 2 2 2 0 lim x x → x = 例7.求： 解: 原式 因式代替规则: 若 ~ , 且(x) 极限存在或有 界, 则 lim (x) = lim (x) 例6 求： 2 3 0 3 sin lim x tan 2 x x → x x + − 和差取大规则
1+tan x-1-tanx 例8求：lim x→0 e'-1 =1
例8 求： 0 1 tan 1 tan lim . 1 x x x x → e + − − − =1