上次课内容复习 1、无穷级数的定义;无穷级数的部分和数列; 无穷级数收敛及其发散的概念。 2、无穷级数的性质。 3、无穷级数收敛的必要条件。 4、等比级数(几何级数)的敛散性及其条件
上次课内容复习 1、无穷级数的定义;无穷级数的部分和数列; 无穷级数收敛及其发散的概念。 2、无穷级数的性质。 3、无穷级数收敛的必要条件。 4、等比级数(几何级数)的敛散性及其条件
§9.2正项级数 若4n之0,则称∑4为正项级数· 定理1正项级数 》4n收敛部分和序列Sn n=1 (n=1,2,.有界 证:> 若∑4n收敛,则{Sn收敛,故有界。 n=l .un≥0,.部分和数列{Sn}单调递增, 又已知{Sn}有界,故{Sn}收敛,从而∑4n也收敛. n三
§9.2 正项级数 若 0, un 则称 为正项级数 . n=1 un 定理1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证:
0 定理2(比较审敛法)设∑4n,∑yn是两个正项级数, n=l n=1 且存在N∈Z+,对一切n>N,有un≤kyn(常数k>0), 则有 00 00 (1)若强级数∑yn收敛,则弱级数∑4n也收敛; n=l n=l 00 (2)若弱级数入4n发散,则强级数)yn也发散. n=1 n=1
定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, (常数k >0)
例1证明级数 之2”+金 (k>0) 是收敛的。 例2讨论P一级数 1 1+2 立+.+市+.常数n0 1 的敛散性。 例3判断级数 之a+ln+④ 的敛散性
例1 证明级数 ( ) 1 1 0 2 n n k k = + 是收敛的。 1 1 1 1 2 3 p p p n + + + + + 例2 讨论 P— 级数 (常数 p > 0) 的敛散性。 例3 判断级数 的敛散性。 1 1 n ( 1)( 4) n n = + +
定理3 (比较审敛法的极限形式)设两正项级数 ∑4n,∑yn满足1im4n=l,则有 n=l n=l n-→oVn (1)当 0<时0 两个级数同时收敛或发散; 00 (2)当1=0且∑yn收敛时,∑4n也收敛; n=1 n=1 (③)当1=o且∑yn发散时,∑4n也发散. n=1 n=1
定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l 时, (2) 当 l = 0 (3) 当 l =
例4判断级数 ∑sin 的敛散性。 n=1 n 例5判别级数2n1+2]的敛敢性. n=l Ind+
例4 判断级数 的敛散性。 1 1 sin n n = 例5 判别级数 的敛散性. = + 1 2 1 ln 1 n n ln(1 ) 2 1 n + ~ 2 1 n
定理4比值审敛法(D'alembert判别法) 设∑4n为正项级数,且1imn*1=p,则 n-→0ln (1)当p1或P=0时,级数发散; (3)当p=1时,级数可能收敛,也可能发散
定理4 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 lim , 1 = + → n n n u u 则 (1)当 1 (2)当 1 时, 级数收敛 ; 或 = 时, 级数发散 ; (3)当 =1 时,级数可能收敛,也可能发散
例6判断下列级数的敛散性 1、;2 n2.2 例7判断级数 的敛散性
例6 判断下列级数的敛散性 1、 1 ( ) 1 n n 1 ! = − ; 2、 2 1 3 2 n n n n = 。 例7 判断级数 ( ) 的敛散性。 1 1 n 2 2 1 n n = +
定理5根值审敛法(Cauchy判别法) 00 设∑4n为正项级数,且lim/un=p,则 n=l n->oo (1)当p1(或p=0)时, 级数发散; (3)当p=1时,级数可能收敛,也可能发散。 例8判断级数 的收敛性
定理5 根值审敛法 (Cauchy判别法) 设 为正项级 lim = , → n n n 数, 且 u 则 (1)当 时,级数收敛; (2)当 (或 )时,级数发散; (3)当 时,级数可能收敛,也可能发散。 1 1 = + =1 例8 判断级数 的收敛性。 1 2 1 n n n n = +
本次课小结: 作业:EX9-2 1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2.利用正项级数审敛法 必要条件l1imu,=0 n>0 不满足发散 满足 比值审敛法 untl =p lim un 比较审敛法 n→oo P=1不定 部分和极限 根值审敛法lim/un=p 用它法判别 积分判别法 n-→o p1 收敛 发散
本次课小结: 作业:EX 9-2 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim 0 n n u → = 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→ un+1 un = 根值审敛法 = → n n n lim u 1 收 敛 发 散 =1 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 1