§95函数展开成幂级数 作业：EX9-5 上次内容复习： 直接展开法一 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知级数展 开式的函数展开 1、直接展开法 (1)求函数及其各阶导数在x=0处的值； （2)写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; (3)判别在收敛区间(-R,R)内limR,(x)是否为0
§9.5 函数展开成幂级数 上次内容复习： 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知级数展 开式的函数展开 1、 直接展开法 （1） 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; （2） 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; （3） 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为0. 作业：EX 9-5
e=1+x+分2++++x(+o) snr=x-3+号r-+(-2)x21+ X∈(-0，+0) (1+x=1+mx++mm-1)-.m-n+x+. n! (-1<x<1) 2、间接展开法（利用幂级数的分析性质） cs-l分++(- 11 2n+. (2n)川 X∈(-0，+0)
( 1) ( 1) ! m m m n n x n − − + (1 ) 1 + m + = + + + x m x , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x sin x = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + = − + −+ − n− x n + n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 2、间接展开法（利用幂级数的分析性质）
ln(1+x)=x- 31 x +.+（)” 十. 3 n+1 x∈(-1，+1] 例5将函数f(x)=e展开成x的幂级数. 例6将函数=，1 展开成(x-)的幂级数. 3-x 例7将函数f(x)=sinx展开成 的幂级数、 例8将函数f(x)=arctanx展开成x的幂级数
ln (1 ) + x = x x(−1, +1] 2 2 1 − x 3 3 1 + x − 4 + 4 1 x 1 1 ( 1) + + − + n n x n + 例5 将函数 展开成 x 的幂级数. 例6 将函数 展开成 ( x −1) 的幂级数. 例7 将函数 展开成 的幂级数. 4 x − 例8 将函数 展开成 x 的幂级数
三、幂级数的应用 例9计算e的近似值，精确到10~o 注意：3×1010=30000000000 11位 131=6227020800, 14!=87178291200 10位 11位 111 e≈1+1+ 2+3++13 ≈2.7182818285
三、幂级数的应用 例9 计算e的近似值，精确到 。 10 10− 注意： 10 11 13! 6227020800 14! 87178291200 = = 位 位 ， 10 11 3 10 30000000000 = 位 1 1 1 1 1 2.7182818285 2! 3! 13! e + + + + +
例10计算1n2的近似值，要求误差不超过0.0001。 解已知 3 1 Ind+x)=x- +.(-1<x≤1) 2 3 4 ∴.ln(l-x)=-x- 234 -.(-1≤x<1) 故 n-1n0+)-lnl0-到-2(x+写+g+) In 1-x 令2得x分于是有 (-1<x<1)
例10 计算 ln 2 的近似值，要求误差不超过0.0001。 ( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − = − − − − − − x x x x x x 解 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得 = + 3 + 5 + 7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 , 3 1 x = 于是有
在上述展开式中取前四项， -小 <0.2×10-4 78732 ≈0.6931
4 9 3 1 9 1 2 r = 11 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − = + + + 3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2 0.6931 11 3 1 11 1 + + 13 + 3 1 13 1 9 4 3 1 = 4 0.2 10 78732 1 − = 在上述展开式中取前四项
例11计算积分 erd的近似值，精确到10 (取≈0.56419) 解e-1+.交r 0 2! 31 n=0 n! (-0<x<+0) aerw=3-r (-1)” 1 Vπnon!(2n+1)22n+l
( 取 例11 计算积分 的近似值,精确到 0.56419) 1 解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n = = − (− x +) e x x d 2 2 2 1 0 − dx 2 2 1 0 = ! ( 1) 2 0 n x n n n = − = − = 0 ! 2 ( 1) n n n x x n d 2 0 2 1 1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x = − = 0 ! 2 ( 1) n n n 2 1 2 1 n+ (2n +1)
e 欲使截断误差n104→n≥4 取n=4,则所求积分近似值为 erd- 22.324.5.2126.73别 ≈0.5205
( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6 − + − e −x dx = 2 2 1 0 2 + − + = − 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6 n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 + 4 10− 2 4 !(2 +1) 2 10 n 则n应满足 n n e x x d 2 2 1 2 0 − 则所求积分近似值为 欲使截断误差 0.5205
例12计算积分nd的近似值，精确到10 解：由于lim snx=L,故所给积分不是广义积分 x→0 若定义被积函数在x=0处的值为1，则它在积分区间 上连续，且有幂级数展开式 snx=1-+x 2 +.+(-1)” 3!5!71 2n+1)1 [isinx dx=1-1 .1 3.3!5.5到 1 1 <7.7135280 <0.3×104 ≈1-0.05556+0.00167≈0.9461
例12 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 2 4 6 2 sin 1 ( 1) 3! 5! 7! (2 1)! n x x x x x n x n = − + − + + − + + x x x d 1sin 0 =1 − + 5 5! 1 r3 1− 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 : 0.9461 则它在积分区间