经济数学第二次复习课 上次课练习补充： 1、设 求全微分 df(1,2,3)。 2、证明题：设Φ有连续偏导数， 证明由方程 所确定的函数z,cy-bz)=0 z=f(x,y) 满足a+b=c &x
经济数学第二次复习课 上次课练习补充： 1、设 ， 求全微分 z y u x = df (1,2,3) 。 2、证明题：设 有连续偏导数，证明由方程 所确定的函数 满足 ( , ) u v − − = ( , ) 0 cx az cy bz z f x y = ( , ) z z a b c x y + =
3、设x+y?求=e 0z 0z &x'Oy 4、设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和 y(千件)，利润函数为 L(x,y)=6x-x2+16y-4y2-2 已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原 材料2000公斤，现有原材料12000公斤，问两种产品 各生产多少件时，总利润最大？最大利润为多少？ 第七章各节习题
3、设 x y z e + − = 2 ，求 z 。 , z z x y 4、设某工厂生产A和B两种产品，产量分别为x和 y(千件)，利润函数为 已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原 材料2000公斤，现有原材料12000公斤，问两种产品 各生产多少件时，总利润最大？最大利润为多少？ 2 2 L x y x x y y ( , ) 6 16 4 2 = − + − − 第七章各节习题
一、第八章主要内容 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分 为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 1、关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个 方面来考虑
二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分 为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 1、关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个 方面来考虑 一、第八章主要内容
积分区域为圆形、扇形、圆环形被积函数呈 fx2+y2,f白 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2、关于积分次序的选择 选序原则〈 ①能积分，②少分片，③计算简 3、关于积分限的确定 二重积分的面积元do=c(do=rdrd0)为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限
被积函数呈 ( ), ( ) 2 2 x y f x + y f 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2、关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简 3、关于积分限的确定 二重积分的面积元 d = dxdy (d = rdrd ) 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形
4、关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的， 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不 过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 对I=∬fc,y ①若D关于x轴对称 (I)当f(x,-y)=-f(x,y)时I=0 2)当fx,y)=f(x,y)时1=2fx,y) D2={x,y)∈Dy≥0} D
4、关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的， 它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不 过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾 被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 对 = D I f (x, y)dxdy ①若D关于 x 轴对称 (1)当f (x,− y) = − f (x, y)时 I = 0 = 2 2 ( , ) D I f x y dxdy D2 = (x, y) D, y 0 (2)当 f (x, -y) = f (x, y)时
②若D关于y轴对称 (1)当f(-x,y)=-f(x,y)时I=0 (2)当f(-x,y)=f(x,y时1=2∬f(x,y)c D1=(x,y(x,y)∈D,x≥0} ③若D关于原点对称 (1)当f(-x,-y)=-f(x,y时I=0 (2)当f(-x,-y)=f(x,Jy)时I=2f(x,y)dd D3={(x,y)∈D,x≥0，y≥0}
②若 D 关于 y 轴对称 (1)当f (−x, y) = − f (x, y)时 I = 0 (2)当f (−x, y) = f (x, y)时 = 1 2 ( , ) D I f x y dxdy D1 = (x, y)(x, y) D, x 0 ③若D关于原点对称 (1)当f(−x,− y) = − f(x, y)时 I = 0 (2)当f (−x,− y) = f (x, y)时 = 3 2 ( , ) D I f x y dxdy ( , ) , 0, 0 D3 = x y D x y
④若D关于直线y=x对称 ∬fx,=∬f0,xc 称为关于积分变量的轮换对称性 ①、②、③简单地说就是 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于 对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍， 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
= D D f (x, y)dxdy f ( y, x)dxdy ——称为关于积分变量的轮换对称性 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于 对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍， 完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质 ①、②、③简单地说就是 ④若 D 关于直线 y = x 对称
例1计算 ∬x2-2x+3y+2)doD:x2+y2≤m D 解 D关于x,y轴及原点及y=x对称 故∬(-2x+3y)do=0 ∬ag=∬a-2cx2+y2a -20jra-g12=2 ∬r-2++2加=+2me
− + + D (x 2x 3 y 2)d 2 2 2 2 D : x + y a 解 D关于 x , y 轴及原点及 y = x 对称 故 − + = D ( 2x 3 y)d 0 = + D (x y )d 2 1 2 2 = D D x d y d 2 2 = = 2 0 0 4 3 2 4 1 a a d r dr = D d a 2 2 2 故 − + + D (x 2x 3 y 2)d 2 2 4 2 4 a a = + 例1 计算
填空题 1、设D={(x,y)1≤x≤2,1≤y≤e} 二重积分 2、设D={(x,y)l0≤x≤1，-1≤y≤0} 二重积分∫xedid= 3、设D={(xyx2+y≤a}a>0) ∬Va-x2-yk=n，则a=
填空题 1、设 D x y x y e = ( , 1 2,1 ) 二重积分 2 D dxdy x y = 2、设 D x y x y = − ( , 0 1, 1 0 ) 二重积分 xy D xe dxdy = 3、设 ( ) 2 2 2 D x y x y a a = + , ( 0) 2 2 2 D a x y dxdy − − = ，则 a =
计算题： 4、求∬(x+y其中x D:y=2,y=x,所®x 区域。 5、计算二重积分1=sin(+yd s家小ll 其中D:y=xy=-1,x=1所围区域
计算题： 4、求 其中 所围 区域。 ( ) 2 2 D x y x dxdy + − D y y x y x : 2, , 2 = = = 5、计算二重积分 2 1 1 2 2 0 0 sin( ) y I dy x y dx − = + 6、求 ( ) 1 2 2 2 1 x y D y xe dxdy + + 其中 D y x y x : , 1, 1 = = − = 所围区域