第一章 第九节连续岛数的运算 与初等岛数的连续性 一、连续函数的四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结与思考题 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 第一章 三、初等函数的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 一、连续函数的四则运算的连续性 四、小结与思考题
一、连续函数的四则运算的连续性 定理1如果函数f(x)和g(x)均在，点x连续，则它们 的和（差）x)±8(x)、积f)g(x)、以及商 8(x) (g(x)≠0)都在点x连续. 例如，函数y=Sinx、y=cosx都在区间(-0，+o)内连 续，则y=Sinx+cosx、y=sinx·cosx在区间(-oo,+oo) 内连续，y=tanx=snX在x≠kr+无处连续. coSx 2 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、连续函数的四则运算的连续性 定理 1 如果函数 f ( ) x 和 g( ) x 均在点 0 x 连续，则它们 的和（差） f () () x gx ± 、 积 f () () x gx ⋅ 、以及 商 ( ) ( ) f x g x （ 0 g x()0 ≠ ）都在点 0 x 连续． 例如，函数 y x = sin 、 y x = cos 都在区间(,) −∞ +∞ 内连 续，则 yxx = + sin cos 、y xx = sin cos ⋅ 在区间(,) −∞ +∞ 内连续， sin tan cos x y x x = = 在 2 x k π ≠ + π 处连续．
二、反函数与复合函数的连续性 定理2如果函数y=f(x)在区间I,上单调增加 (或单调减少)且连续，那么它的反函数x=(y)也在 对应的区间I,={y川y=f(x),x∈I}上单调增加（或单 调减少)且连续. 例如，因为函数y=Cosx在区间[0，π上单调减少 且连续，所以它的反函数y=arccosx在闭区间[-1,1]上 也是单调减少且连续的. 同理可知其它的反三角函数在各自的定义域内都 是单调且连续的 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 定理 2 如果函数 y ＝ f ( ) x 在区间 x I 上单调增加 （或单调减少）且连续，那么它的反函数 x y = φ( ) 也在 对应的区间 I y y x == ∈ { | ( ), y f xx I } 上单调增加（或单 调减少）且连续． 例如，因为函数 y x cos 二、反函数与复合函数的连续性 = 在区间[0, π ] 上单调减少 且连续，所以它的反函数 y x = arccos 在闭区间[ 1,1] − 上 也是单调减少且连续的． 同理可知 其它的反三角函数在各自的定义域内 都 是单调且连续的．
定理3 设函数y=f[g(x)](其中x∈D)由函数y=f(u) 与函数u=g(x)复合而成，去心邻域U(x)cD.若 limg(x)=u,而函数y=f(u)在u=山，连续，那么当x趋 于x时，函数y=f[g(x)]的极限存在且等于f(u),即 mf儿8(x]=limf(u)=f4,)=fIim8(x》. 定理4设函数y=f[g(x)](其中x∈D)是由函数y=f(w) 与函数u=g(x)复合而成，U(x)CD.若函数u=g(x)在 x=x连续，且g(x)=4,而函数y=f(0在点u=4连续， 那么复合函数y=f[g(x)]在x=x也连续.即 Iimf儿&(=fa,)=fmgw) 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 定理 3 设函数 y f gx = [ ( ) ] (其中 x ∈ D )由函数 y f = ( ) u 与函数 u gx = ( ) 复合而成， 去心邻域 0 ( ) o Ux D ⊂ . 若 0 0 lim ( ) x x gx u → = ，而函数 y fu = ( ) 在 0 u u = 连续，那么当 x 趋 于 0 x 时，函数 y f gx = [ ( ) ] 的极限存在且等于 0 f ( ) u ，即 [ ] 0 0 0 0 lim li ( ) m () () (lim ( ) ) x x u u x x f f g x x g u f u f → → → = = = ． 定理 4 设函数 y f = [ g( ) x ] (其中 x D ∈ )是由函数 y fu = ( ) 与函数 u gx = ( ) 复合而成， 0 Ux D ( ) ⊂ ．若函数 u gx = ( ) 在 0 x x = 连续，且 0 0 g( ) x u = ，而函数 y fu = ( ) 在点 0 u u = 连续， 那么复合函数 y f = [ g( ) x ] 在 0 x x = 也连续．即 [ ] 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) x x x x f gx f f u g x → → = =
例1求lim, sin 2x 2 x-→0 X 提示：(1)lim sinx-1 sinx x→0 2高数y2 sin2x 可看成是由y=√2-u和 u= in2x复合而成的。 X 注意：熟练后本题可以写为 sin2x sin 2x x =√2-2=0 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 1 求 0 sin 2 lim 2 x x → x − ． 提示： （ 1 ） 0 sin limx x → x ＝1 （ 2）函数 sin 2 2 x y x = − 可看成是由 y = 2 − u 和 sin 2 x u x = 复合而成的。 注意： 熟练后本题可以写为 0 sin 2 lim 2 x x → x − 0 0 li sin lim 2 m 2 x x x → → x = − = 22 0 − =
例2求lim loga(1+x) x→0 X 解：原式=mog。1+)=m1og,1+x) x→0X 例3求1im4-1 =gd时-g,= x→0 x 解：令t=ax-1,则x=log(1+t), t 原式=lim 0 log(1+) =Ina 说明：当a=e,x→0时，有 ln(1+x)~xe'-1~x 2009年7月3日星期五 6 目录 (上页今 下页 、返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 . )1(log lim0 x x a x + → 解 : 原式 0 lim log 1 (1 ) a x x x → = + 例2 求 0 1 limlog (1 ) x a x x → = + 0 1 lo g lim(1 ) a x x x → ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ log e = a ln a 1 = 例3 求 . 1 lim0 x a x x − → 解 : 令 −= ,1 x at 则 x g t ,)1(lo = a + 原式 )1(log lim0 t t a t + = → = ln a 说明 : 当 a = e, x → 0 时, 有 + x)1ln( ~ e 1~ x x − x
例4求lim(1+2x)simx x-0 有某个同学的解法如下 年y刘产 问题出在：f(x)=(1+2x)snx无法直接写成复合函数。 为此必须想办法把它改写成复合函数！ 3 (1+2x)sin*=eln(+2x)sinx 3n(1+2x) 三e sinx 这就是一个复合函数了」 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 3 sin 0 lim(1 2 ) x x x → 例 4 求 + 有某个同学的解法如下： 原式 = 3 sin 0 lim(1 2 ) x x x → ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + = 1 问题出在： 解： 3 sin ( ) (1 2 ) x fx x = + 无法直接写成复合函数 。 为此必须想办法把它改写成复合函数！ 3 sin (1 2 ) x + x 3 sin ln(1 2 ) e x + x = ln 3 (1 2 ) sin e x x + = 这就是一个复合函数了！
例5求lim(3+2x)+2 (补充题) X>0 解：原式=lime(3+2x)y2mn3+2xy22 二er0 x-→0 lim(x2+2)In(3+2x )lim(x2+2).lim In(3+2x) 二e0 0r0 x→0 2xln3 =e =9 一般地，对于形如(x))(u(x)>0,(x)不恒等于1)的 函数（通常称为幂指函数)，如果lim(x)=a>0,limv(x)=b, 那么limu(x))=a°.这里的3个lim都表示在同一自变量 变化过程中的极限. 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 例5 求 2 2 0 lim(3 2 ) x x x + → + 解： 原式 2 2 ln(3 0 2 ) lim e x x x + + → = 0 2 2 lim ln(3 2 ) e x x x → + + = 0 2 li m( 2)ln(3 2 ) e x x x → + + = 0 0 2 lim li ( 2) m ln(3 2 ) ex x （补充题） x x → → +⋅ + = 2 ln3 e × = = 9 ( ) ( )v x u x u x( ) 0, > u x( ) lim ( ) 0, lim ( ) , ux a vx b = > = ( ) lim ( )vx b ux a = lim 一般地，对于形如 ( 不恒等于1) 的 函数（通常称为幂指函数），如果 那么 .这里的 3 个 都表示在同一自变量 变化过程中的极限．
三、初等函数的连续性 可以证明， 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的. 进而可以证明， 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 思考题：判断下列说法是否正确？ 一切初等函数在其定义域内都是连续的， 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 三、初等函数的连续性 可以证明， 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的． 进而可以证明， 一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 定义区间是指包含在定义域内的区间. 思考题：判断下列说法是否正确？ 一切初等函数在其定义域内都是连续的．
答：初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义 域内不一定连续。 例如，y=√C0Sx-1,D:x=0,±2π，±4兀，. 这些孤立点的邻域内没有定义。 又如，y=Vx2(-1)3,D:x=0,及x≥1， 在0，点的邻域内没有定义， 但函数在区间[1，+0)上连续 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 答：初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义 域内不一定连续。 例如， = xy − ,1cos D x = ± π ± π,4,2,0: " 这些孤立点的邻域内没有定义. 又如， ,)1( 2 3 xxy −= Dx x : 0, 1, = 及 ≥ 在0点的邻域内没有定义， 但函数在区间[1, ) + ∞ 上连续．