第五章定积分及其应用 Definite Integrals and its Application 不定积分 积分学 定积分 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 第五章 定积分及其应用 （Definite Integrals and its Application ） 积分学 不定积分 定积分
主要为容 第一节定积分的概念与性质 第二节微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节反常积分 第五节定积分的元素法及其应用 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 主要内容 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 第五节 定积分的元素法及其应用
第五章 第一节定积分的機急与性质 (Conceptions and Properties of Definite Integrals) 一、引例 二、定积分的定义 三、定积分的性质 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 第一节 定积分的概念与性质 第五章 （Conceptions and Properties of Definite Integrals ） 一、引 例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
一、引例 矩形面积=ah 桥形而积-号a+o】 1.曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y↑ y=f(x)(f(x)≥0) 及x轴，以及两直线x=a,x=b A=? 所围成，求其面积A o a b 2009年7月3日星期五 5 目录○ 、上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 一、引 例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 y = f x f x ≥ )0)(()( x轴及 ，以及两直线 = , = bxax 所围成 , 求其面积 A . A = ? y fx = ( ) 矩形面积 a h = ha a h 梯形面积 )( b 2 ba h +=
解决步骤： 1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 a=x0<x1<x2<.<Xn-1<Xn=b 用直线x=x;将曲边梯形分成n个小曲边梯形； 2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取5：∈[xi-1,x] 作以[x-1,x]为底，f(5) 为高的小矩形，并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△A,得 o a xy 1 xi-1xi bx △4≈f(5i)△x1(Ax1=x-x-1)i=1,2,.,n) 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 1 x i x i − 1 a x b x y o 1) 大化小 . 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 bxxxxxa = < < 210 < " < − 1 < nn = ],[ 1 iii x x ξ ∈ − 用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变 . 在第 i 个窄曲边梯形上任取 作以 ],[ 1 ii x x − )( 为底 i , f ξ 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 , ΔA i 得 ( ) ( ) Δ i ≈ i Δ i Δ i = i − i − 1 A f ξ x x x x , i = 1,2,",n ) ξ i 解决步骤 :
3)近似和. A=∑△A,≈∑f(5)△x i=l i=l 4)取极限.令2=max{△x;},则曲边梯形面积 l≤i≤n A=lim∑A4 1→021 =lim∑f(5,)A, →0 i=l o a Xi-1xi bx 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 ∑ = Δ= n i AA i 1 ∑ = Δ≈ n i ii xf 1 ξ )( 4) 取极限 . 令 ,}{max 1 i ni = Δx ≤≤ λ 则曲边梯形面积 ∑ → = Δ= n i A A i 1 0 lim λ 0 1 lim ( ) n i i i f x λ ξ → = = Δ ∑ 3) 近似和 . 1 x i x i − 1 a x b x y o ξ i
2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)∈C[T1,T],且 v(t)≥0，求在运动时间内体所经过的路程s. 解决步骤： 1)大化小.在[T,T2]中任意插入n-1个分点，将它分成 n个小段[t-1,t](i=1,2,.,n),在每个小段上物体经 过的路程为△Si(i=1,2,.,n) 2)常代变.任取5∈[t-1,t],以v(5)代替变速，得 △S,≈v(5i)At1(i=1,2,.,n) 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 设某物体作直线运动, ,],[)( C T T21 = vv t ∈ 且 v t ≥ ,0)( 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤 : 1) 大化小 . ,],[ 1 iii t t 任取 ξ ∈ − 将它分成 ,),2,1(],[ 1 t t i n − ii = " 在每个小段上物体经 2) 常代变 . 以 代替变速 ,)( i v ξ 得 iii Δ s ≈ v ξ )( Δ t ],[ ,1 在 TT 21 中任意插入 n − 个分点 s i n),2,1( Δ i = " = " ni ),2,1( 已知速度 n 个小段 过的路程为 2. 变速直线运动的路程
3)近似和. n s≈∑v(5)△t i=1 4)取极限. s=lim∑v(5)△t (2=max△t;) 元→01 l≤i≤n 上述两个问题的共性： ·解决问题的方法步骤相同： “大化小，常代变，近似和，取极限” ·所求量极限结构式相同：特殊乘积和式的极限 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 i n i i ∑ Δ≈ tvs = 1 ξ )( 4) 取极限 . i n i i = ∑ Δtvs → = 1 0 ξ )(limλ )max( 1 i ni = Δ t ≤≤ λ 上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 3) 近似和
二、定积分定义 设函数f(x)定义在[a,b]上，若对[a,b]的任一种分法 a=x0<<x2<.<Xn=b,令△x1=x;-X;-1,任取 5i∈[x,x-i],只要元=max{△x}→0时∑f(5)△x, l≤i≤n i=1 总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数∫(x)在区间 [a,b]上的定积分，记作f(x)dx 5 中心a-2r”a x-x;bx 此时称f(x)在[a,b]上可积. 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 o a b x 二、定积分定义 设函数 定义在 baxf 上,],[)( 若对 ba ],[ 的任一种分法 , 210 a x x x x b = < < < " < n = , Δ = − iii − 1 令 xxx 任取 ,],[ ∈ iii − 1 ξ xx ξ i 只要 0}{max 时 1 = Δ → ≤≤ i ni λ x i n i i ∑ Δxf = 1 ξ )( 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 f x)( 在区间 ba ],[ 上的定积分, 1 x i x i− 1 x ∫ b a d)( xxf 即 = ∫ b a d)( xxf i n i i ∑ Δxf → = 1 0 ξ )(limλ 记作 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积
积分上限 [a,b]称为积分区间 [()dx=lim ∑f(5)△x →0 i=1 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积 定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分 变量用什么字母表示无关，即 ∫afx)dr=∫af0d=jaf)du 2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 11 目录 上页 下页 返回 = ∫ b a d)( xxf i n i i ∑ Δxf = → 1 0 ξ )(limλ 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 ba ],[ 称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 ∫ b a d)( xxf ∫ = b a d)( ttf ∫ = b a d)( uuf