第七章 第三节全般分(Total Differeia) 一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、小结与思考练习 2009年7月5日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 1 目录 上页 下页 返回 第三节 全微分 第七章 (Total Differential) 一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、小结与思考练习
一、全微分的定义(Definition of Total Differentials) 引例：设一块长方形金属薄片的长和宽分别为x、y, 从而薄片的面积为S=xy,金属薄片受温度变化的影响， 长由x变到x+△x,宽由y变到y+△y,则此薄片面 积的增量为 △y x△y △x△ △S=(x+△x)(y+△y)-xy y A=xy y△x =yAx+xAy+△x△y x △x 关于△x、△y 当p=V(④x)2+(△y)2→0时， 的线性主部 是比P的高阶无穷小 故△S≈y△x+x△y 称为函数S=xy在，点(x,y)的全微分 2009年7月5日星期日 2 目录今 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 2 目录 上页 下页 返回 一、全微分的定义 （Definition of Total Differentials 引例 : 设一块长方形金属薄片的长和宽分别为 x 、 y， ） 从而薄片的面积为 S ＝x y ，金属薄片受温度变化的影响, 长由 x 变到 x x + Δ , 宽由 y 变到 y y + Δ , 则此薄片面 x y A x = y Δx x y Δ y x Δ 积的增量为 Δy Δx yΔ Δ S = ( )( ) x xy y +Δ +Δ −xy = yΔ+Δ x xy + Δ x Δy 关于△x 、 △ y 的线性主部 当 2 2 ρ = () () 0 Δ +Δ → x y 时， 是比 ρ 的高阶无穷小. 故 ΔS y ≈ Δyx x + Δ 称为函数 S ＝ x y在点 (x , y ) 的全微分
一般地，我们有二元函数全微分的定义。 定义函数z=∫(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △z=A△r+B△y+o(p),p=V(Ax)2+(Ay)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各，点都可微，则称此函数在D内可微 2009年7月5日星期日 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 3 目录 上页 下页 返回 定义 函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) Δ z = f + Δxx y + Δy − f x y),(),( 可表示成 Δ z Δ= xA + B Δy + o ρ ,)( 其中 A , B 不依赖于 Δ x , Δ y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f x y),( 在点 (x, y) 的全微分, 记作 z = dd f = ΔxA + B Δy 若函数在域 D 内各点都可微, 22 ρ Δ+Δ= yx )()( 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数 在 D 内可微 . Ax By Δ + Δ 一般地，我们有二元函数全微分的定义
二、全微分存在的条件 由微分定义： (Existence Conditions of Total Differential) lim Az lim [(AAx+BAy)+o(p)]=0 △x-→0 p-→01 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微 2009年7月5日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 4 目录 上页 下页 返回 二、全微分存在的条件 =Δ + Δ + Δ − yxfyyxxfz ),(),( [(lim )() ] 0 ρ ρ = ΔxA + B Δ + oy → 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ),(lim 0 0 f yyxx y x + Δ + Δ →Δ →Δ 得 z y x Δ →Δ →Δ 0 0 lim = 0 = f x y),( 函数在该点连续 即 由微分定义 : (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微 与偏导数的关系 : (1) 函数可微 偏导数存在 函数可微 （Existence Conditions of Total Differential ）
定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点偏导数 0肛0肥必存在，且有 Ox'Oy dz= 8x 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+0(P),令△y=0, 得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) 0z lim △x2=A Ox△x0△x 0z 同样可证 ay =B,因此有dz= Ax+ 8x 02 by y 2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , y y z x x z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ d = z f y f y), (), ( Δ x = − x z ∂ ∂ ∴ 同样可证 B, y z = ∂ ∂ y y z x x z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ d = 证: 由全增量公式 Δ z = ΔxA + B Δy + o ρ ,)( 令 Δ y = ,0 = Δ + ΔxoxA )( 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 + Δxx x 因此有 x z x x Δ Δ = →Δ 0 lim = A 定理 1 (必要条件 )
注意：定理1的逆定理不成立.即： 偏导数存在函数不一定可微！ 反联川+22 易知∫x(0,0)=fv(0,0)=0,但 △z-[fx(0,0)Ax+f,(0,0)Ay= △x△y (+(A) △xAy △x△y PAAAr0 ≠0(P)因此，函数在，点(0,0)不可微 2009年7月5日星期日 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 6 目录 上页 下页 返回 反例: 函数 f x y),( = 易知 = = ,0)0,0()0,0( x y f f 但 z f x f y])0,0()0,0([ Δ − x Δ + y Δ ≠ o ρ )( 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意 : 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 yx )()( x y Δ+Δ Δ Δ 2 2 yx )()( x y Δ+Δ Δ Δ = 22 yx )()( x y Δ+Δ Δ Δ = ρ 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 22 22 ≠+ + yx yx yx ,0 0 22 yx =+
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 Ox'ay 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：A2=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+Ay)-f(x,y+△y〗 +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =fx(x+Ax,y+Ay)Ax+f(x,y+e2Ay)Ay 0<01,02<1) =[fx(x,y)+a]Ax +[fy(x,y)+B]Ay a-0,B-9 △x-→0 Ax→0 △y-→0 Ay-→0 2009年7月5日星期日 7 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 7 目录 上页 下页 返回 = f + Δxx y + Δ y ] ),([ y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 证：Δ z = f + Δxx y + Δ y − f x y),(),( )1,0( < θ θ 21 < f x y x = x + ]),([ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f yyyx = f x + θ1 Δxx y + Δ y),( Δ x + y + θ 2 Δ ),( Δ − f x y + Δ y),( + f x y + Δ y),( − f x y)],( [ f x yy + y + ]),([ Δ 若函数 z = f yx ),( 的偏导数 在点 yx 连续,),( 则函数在该点可微分. α β 0lim 0 0 = →Δ →Δ β y x ,0lim 0 0 = →Δ →Δ α y x 定理2 (充分条件 )
△z=. =fx(x,y)△x+f(x,y)Ay+a△x+BAy lim a=0,lim B=0 △x→>0 △x→0 △y→0 Ay-→0 注这到“刀到5u+9,故有 △2=∫x(x,y)Ax+∫y(x,y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微. 2009年7月5日星期日 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月5日星期日 8 目录 上页 下页 返回 Δ z = " f x y x f x y y = x Δ + y ),(),( Δ z f x y x f x y y =Δ x Δ + y ),(),( Δ βα ρ α β +≤ Δ + Δyx 所以函数 z = f x y),( x y),( + α Δ x + β Δ y 在点 可微. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0lim 0 0 = →Δ →Δ β y x ,0lim 0 0 = →Δ →Δ α y x 注意到 , 故有 + o ρ )(
推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,)的全微分为 du= 8x ∂y 0z 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= udx+ oude 记作dxu dyu d.u dxu,dvu,du称为偏微分.故有下述叠加原理 du=dxu+d,u+d-u 2009年7月5日星期日 9 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 9 目录 上页 下页 返回 +Δ ∂ ∂ x x u 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f x y z),( d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 d x u 故有下述叠加原理 uuuu zyx = + + dddd 称为偏微分. y y u d ∂ ∂ + z z u d ∂ ∂ x + x u d ∂ ∂ u y d d z u 的全微分为 +Δ ∂ ∂ y y u z z u Δ ∂ ∂ 于是 uuu zyx d,d,d 推广:
例 1计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分. 解： 0z =xexy 0z (自学课本例1) 8x Oy 0z )e2 0z ox(2, 02,1)=2e2 .dz =e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1) 例2计算函数u=x+sin+e的全微分 解：du=1dx+(2cos5+zey2)dy+yedz 2009年7月5日星期日 10 目录○ (上页 人下页 、返回
2009年7月5日星期日 10 目录 上页 下页 返回 在点 (2,1) 处的全微分. yx z = e 解 : = ∂ ∂ x z 2 2 2 )1,2( , )1,2( e y z e x z = ∂ ∂ = ∂ ∂ d d2d yexez 2 2 )1,2( ∴ += 例2 计算函数 的全微分. zy e y xu ++= 2 sin 解 : d u = ⋅ d1 x + y y d) cos( 22 1 + zey zy + d = ∂ ∂ y z , yx ey yx ex 例1 计算函数 )d2d( 2 += yxe zy ez （自学课本 例 1 ）