第十章 第四节品数展开成幂级数 (Expanding to power series) 两类问题：在收敛域内 笨级数∑a,”.求和 0 和函数S(x) n=0 展开 本节内容：一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 函数展开成幂级数 第十章 (Expanding to power series) 两类问题 : 在收敛域内 和函数 xS )( n n n ∑ xa ∞ = 0 幂级数 求 和展 开 本节内容 : 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数(Taylor series) 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f)=fx)+f(Xx-x)+f"0(x-0)2 21 ++(x-r+R,() n! 此式称为f(x)的n阶泰勒公式，其中 R=aDx-,（传在x与之间 (n+1)川 称为拉格朗日余项. 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、泰勒级数 f x = f x 0 )()( + f ′ − xxx 00 ))(( + 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( "++ − R x)( + n 其中 R n x)( = ( ξ 在 x 与 x 0 之间 ) 称为拉格朗日余项 . 1 0 )1( )( !)1( )( + + − + n n xx n f ξ 若函数 )( 在xxf 0的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 : （Taylor series ）
若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 1n)+f'ox-n)+o）(x-o) 21 ++max-+. n! 为f心)的泰勒级数. 当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数. 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(心)？ 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 f x 0 )( + f ′ x x − x00 ))(( + 2 0 0 )( !2 )( xx f x − ′′ "++ n +− " n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 为f (x ) 的泰勒级数 . 则称 当 x 0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 0 )( 在xxf 待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
定理1设函数fx)在，点x的某一邻域U(x)内具有 各阶导数，则f(心)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是fc)的泰勒公式中的余项满足：lim Rn(x)=0. 拉三. n=( ◆w会-x f(x)=S,+(x)+R(x) lim R (x)=lim[f(x)-S+1(x)]=0,xeU(xo) n->o0 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 各阶导数, )( 0 ∪ x 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件 是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足 : = .0)(lim→ ∞ R x n n 证明 : ,)( ! )( )( 0 0 0 )( n n n xx n xf xf = ∑ − ∞ = 令 )()()( 1 f x S x R x = n + + n = → ∞ R n x)(limn [ )()(lim ] 1 f x S x n n + → ∞ − = ,0 )( 0 ∈ ∪ xx k n k k n xx k xf xS )( ! )( )( 0 0 0 )( 1 = ∑ − = + )( 0 ∈ ∪ xx 设函数 f (x) 在点 x 定理 1 0 的某一邻域 内具有
定理2若fx)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证：设f(心)所展成的幂级数为 f(x)=a+ax+a2x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 ao=f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+nanx"-1+.;a1=f'(0) f"(x)=21a2+.+(n-1)anx”-2+;a2=i,∫"(0) fm(x)=nlan+. an=mfD(0) 显然结论成立· 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一 的 , 且与它的麦克劳林级数相同 . 证 : 设 f (x) 所展成的幂级数为 )( ),(, 2 210 RRxxaxaxaaxf n " n " −∈+++++= 则 2)( ; 1 ′ 21 " n xnaxaaxf n − ++++= " )0( 1 a = f ′ )1(!2)( ; 2 ′′ 2 " n xannaxf n − +−++= " )0( !2 1 2 = fa ′′ " " " ;!)( n)( anxf n += " )0()( ! 1 n n n = fa " " " 显然结论成立 . )0( 0 a = f 定理 2
二、函数展开成幂级数(Expanding to power series) 直接展开法一利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收敛区间(-R,R)内lim R(x)是否为0. n->o∞ 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 xf )( 展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间 ( － R, R) 内 R n x)(limn → ∞ 是否为0. 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 (Expanding to power series)
例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数. 解：fm(x)=e,fm)(0)=1(n=0,1,故得级数 13 1+x+ X2+2X+.+二X 21 +. n! /1 其收敛半径为 =+00 对任何有限数七，其余项满足 Gu n→o0 0 (n+1)川 (5在0与x之间) 故ex=l+x+ 2+ 3++ 2009年7月27日星期一 目录 (上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 x )( = exf 解: ,)()( 展开成 x 的幂级数. n x ∵ = exf ),1,0(1)0( f n)( n == " 1 其收敛半径为 = + ∞ 对任何有限数 x , 其余项满足 n xR )( = ξ e n + !)1( n + 1 x x < e !)1( 1 + + n x n 故 , ! 1 !3 1 !2 1 1 x 32 " x n ++++++= " n xxxe → ∞ = n R lim ! 1 n !)1( 1 n + n → ∞ 0 x ∈ − ∞ + ∞),( (ξ 在 0 与x 之间 ) + x 2 !2 1 + x 3 !3 1 + x " x n +++ " n! 1 故得级数 例1 将函数
例2将f(x)=sinx展开成x的幂级数， 解：fm(x)=sin(x+n:) "owa (k=0,1,2,.） 得级数：x-x+(-)22nm+ 其收敛半径为R=+0,对任何有限数x,其余项满足 Rn () sin(+(n+1) n→00 (n+1)川 sinx=x-3x3+x5-+(-1)m-l2x2m-1+. (2n-x1 X∈（-0，+0） 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 f = sin)( xx 展开成 x 的幂级数 . )( = )( xf n 解: ∵ ⎩ ⎨ ⎧ ∴ )0( = n)( f 得级数 : x sin( ) 2 π nx ⋅+ 其收敛半径为 R = + ∞, 对任何有限数 x , 其余项满足 n xR )( = ))1(sin( 2 π ξ n ++ n + !)1( n + 1 x !)1( 1 + < + n x n n = k +12 k = "),2,1,0( 3 !3 1 − x "+−+ 5 !5 1 x − )1( n − 1 n 1 − !)12( x n −12 + " x ∈ − ∞ + ∞),( ∴ sin x n → ∞ 0 n = 2 k ,)1( k − ,0 1 !3 3 1 !5 xxx 5 " −+−+−= )1( n − 1 n 1 − !)12( x n −12 + " 例2 将
Sinx=x- x2n-1+. 3 (2n-1)！ x∈(-0，+0) 类似可推出：（课本例4） coSx=1- - 2n+ (2n x∈(-∞，+0) 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 " −+−+−= n − x n + " n xxx 42 21 !)2( 1 )1( !4 1 !2 1 1cos 类似可推出 : x ∈ − ∞ + ∞),( x ∈ − ∞ + ∞),( " + " − −+−+−= 53 − 1 −12 !)12( 1 )1( !5 1 !3 1 sin n n x n xxxx (课本 例4)
例3将函数f(x)=(1+x)m展开成x的幂级数，其中m 为任意常数. 解：易求出f(0)=1,f'(0)=m,f"(0)=m(m-1), fm(0)=m(m-10(m-2).(m-n+1),. 于是得级数1+mx+mm-Dx2+ 21 +m(-1）.(m=n+1）x”+. n! 由于R=liman|=limn+1 =1 n→oo an+1 n-→oom-n 因此对任意常数m,级数在开区间(-1,1)内收敛， 2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 10 目录 上页 下页 返回 m += xxf )1()( 展开成 x 的幂级数, 其中 m 为任意常数 . 解 : 易求出 f = ,1)0( f ′ = m,)0( f ′′ = mm − ,)1()0( n)( " nmmmmf +−−−= ,)1()2)(1()0( " 于是得 级数 1 + mx + + " − 2 !2 )1( x mm 由于 1 lim ∞→ + = n n n a a R nm n n − + = → ∞ 1 lim = 1 " " + − − + + n x n nmmm ! )1()1( 因此对任意常数 m, 级数在开区间 ( －1, 1) 内收敛. 例3 将函数